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三角形培优训练题集锦

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三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 EDFCB

A

PQC

B

A

1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 4、以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系

及数量关系． （1）如图①当ABC为直角三角形时，探究：AM与DE的位置关系和数量关系； （2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 5、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC. 6、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。 7、如图，已知在△ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 8、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CA 9、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC 10、 11、AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为AP，△EBC周长记为BP.求证BP＞AP. 12、已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM． （1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是； （2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

13、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分

线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD 14、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长. 15、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量

关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

16、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数. 17、D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 （1） 当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。 18、如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求AMN

的周长。 19、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABCo∠，60MBNo∠，

O P A

M

N E B

C D F A C

E F

B D 图① 图② 图③

_ N_ M _ E_ F_ D_ C_ B

_ A

ME

A

BCDMBN∠绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，． 当MBN∠绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF． 当MBN∠绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

20、已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长; (2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小. 21、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABCV外一点，且60MDN,120BDC

,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、

MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系． 图1图2图3 （I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时LQ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用x、L表示）． 22、如图2-7-1，△ABC和△DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。求证：①AE=BD;②CF=CG.

23、如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MN⊥MD，

（图1） （图2） （图3） BN平分∠CBE。求证：MD=MN。 24、如图2-7-3，△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D。求证：AB+BD=AC 25、如图2-7-4，△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。求证：PC-PB＜AC-AB。 26、如图2-7-5，从等腰Rt△ABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE。 求证：∠CDF=∠ADE。 27、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。 28、已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60o角的顶点E在BC上滑动，（点E不与B、C重合），斜边和∠ACM的平分线CF交于点F （1）如图（1）当点E在BC边中点位置时 1)猜想AE与EF满足的数量关系是。 2)连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是 3)请证明你的上述猜想 （２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时： 此时ＡＥ和ＥＦ有怎样的数量关系，并说明你的理由？

29、已知AC平分∠MAN，∠MAN=120o， （1）在图（1）中，若∠ABC=∠ADC=90o，求证：AB+AD=AC。 （2）在图（2）中，若∠MAN=120o，∠ABC+∠ADC=180o，则（1）中的结论还成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？ 30、如图1，在ABC△中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点BP、在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接.PMPN、 （1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：BPMCPE△≌△；②求证：PMPN； （2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点BP、在直线a的同侧，其它条件不变.此时PMPN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断PMPN还成立吗？不必说明理由.

31、如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AEGC，． （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论. （2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE

和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. 32、已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h。“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0,可得结论h1+h2+h3

＝h”

请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证 33、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．

34、如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三

题图1 题图2 题图3 A B C E F G

A E D C A M P B M A F E D P C B P D M C B F E

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全等三角形培优竞赛训练题

全等三角形培优竞赛训练题

全等三角形培优竞赛训练题全等三角形是初中几何中的重要内容，它不仅是证明线段和角相等的重要工具，也是解决许多几何问题的基础。

在培优竞赛中，全等三角形的题目往往具有较高的难度和综合性，需要我们熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，并具备灵活运用知识的能力。

下面我们就来一起探讨一些全等三角形培优竞赛训练题。

一、基础巩固1、已知：如图 1，AB ＝ AC，AD ＝ AE，求证：∠B ＝∠C。

证明：在△ABD 和△ACE 中，AB ＝ AC，∠A ＝∠A，AD ＝ AE，所以△ABD≌△ACE（SAS）所以∠B ＝∠C2、如图 2，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB ＝ AC，AD ＝ AE。

求证：BE ＝ CD。

证明：在△ABE 和△ACD 中，AB ＝ AC，∠A ＝∠A，AE ＝ AD，所以△ABE≌△ACD（SAS）所以 BE ＝ CD二、能力提升1、已知：如图 3，在△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，AC ＝ BC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CF⊥AE 于 F，过 B 作 BD⊥BC 交 CF 的延长线于 D。

求证：（1）AE ＝ CD；（2）若 BD ＝ 5cm，求 AC 的长。

证明：（1）因为 CF⊥AE，所以∠DCB ＋∠DBC ＝ 90°，又因为∠ACB ＝ 90°，所以∠EAC ＋∠AEC ＝ 90°，而∠AEC ＝∠DCB（对顶角相等），所以∠EAC ＝∠DBC。

在△CBD 和△CAE 中，∠DBC ＝∠EAC，BC ＝ AC，∠DCB ＝∠ECA ＝ 90°，所以△CBD≌△CAE（ASA）所以 AE ＝ CD（2）因为△CBD≌△CAE，所以 BD ＝ CE。

因为 AE 是 BC 边上的中线，所以 CE ＝ 1/2BC。

又因为 AC ＝ BC，BD ＝ 5cm，所以 AC ＝ 10cm2、如图 4，在△ABC 中，∠B ＝ 60°，△ABC 的角平分线 AD、CE 相交于点 O。

新人教版八上第十一章《三角形》培优练习

新人教版八上第十一章《三角形》培优练习

第十一章三角形习题集第1课时三角形的边——三边关系姓名：___________☆知识导学1．若三角形的两边长分别为a，b(a＞b)，则第三边长x的取值范围是_______________________．2．三角形具有___________，四边形具有_____________．☆习题演练1．已知三角形ABC三边a、b、c满足（a-b）2+|b-c|=0，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上都不对2．不能组成一个三角形的三条线段的长度是（）A．3，3，3 B．3，6，2 C．3，4，3 D．3，5，73．（2012•海南）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm4．（2013•南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．18 C．20 D．16或206．下列说法中正确的是（）A．三角形的内角中至少有两个锐角B．三角形的内角中至少有两个钝角C．三角形的内角中至少有一个直角D．三角形的内角中至少有一个钝角7．图中有______个三角形，用符号表示这些三角形：__________________________．第7题图第13题图8．在△ABC中，已知两条边a=6，b=7，则第三条边c的取值范围是_________________．9．若三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，则第三边可以是________（只填符合条件的一个即可）．10．（2012•哈尔滨）一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是________________．11．若三角形的两边长分别为3和5，则它的周长l的取值范围是________________．12．（提高题）△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有________个．13．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），这样做的数学道理是_____________________________．14．用一条长为20cm的铁丝围成一个等腰三角形能围成有一边长为6cm的等腰三角形吗？为什么？第2课时三角形的高、中线与角平分线姓名：___________ ☆知识导学如图，完成下面几何语言的表达：（1）∵AD是△ABC的高（已知）∴AD⊥BC，∠______=∠______=90º．（2）∵AE是△ABC的中线（已知）∴______=______=21______，______=2______=2______．（3）∵AF是△ABC的角平分线（已知）∴∠______=∠______=21∠______，∠______=2∠______=2∠______．☆习题演练1．如图所示的△ABC中，线段BE是三角形AC边上的高的是（）A．B．C．D．2．下列说法正确的是（）①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．A．①②③B．①②C．②③D．①③3．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2 B．3 C．6 D．不能确定4．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD 的中线；③DE是△ADC的中线；④S△ADE= S△CDE，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．三角形中的角平分线、中线、高都是三条特殊的__________（填直线、射线、线段）．6．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点B的坐标是（1，-4），过点B作AC边上的高线，则垂足D点的坐标是________．AB CD EF第3题图第4题图第6题图8．如图，在△ABC中，已知CD是角平分线，∠A=70°，∠B=50°，求∠BCD的度数．9．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．10．如图，△ABC的边BC上的高为AD，且BC=9cm，AD=2cm，AB=6cm．（1）画出AB边上的高CE；（2）求CE的长．11．如图，D，E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE 的周长相等．设BC=a，AC=b，AB=c．求AE，BD的长（用含a，b，c的代数式表示）．AB CD第3课时 三角形的内角 姓名：___________☆知识导学如图，延长BC 至D ，过点C 作CE//AB ∵CE//AB∴∠ECD=∠______（_________________________________________） ∠ECA=∠______（_________________________________________）∵∠ECD+∠ECA+∠ACB=180°（___________________） ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换） 归纳：三角形的内角和等于____________． ☆习题演练 1．在△ABC 中，（1）若∠A=40°，∠C=35°，则∠B=_______，△ABC 是__________三角形． （2）若∠A=70°，∠B=∠C ，则∠B=_______°．（3）若∠A ∶∠B ∶∠C=1∶1∶2，则△ABC 是__________三角形．2．如图，AD 是△ABC 的角平分线，点O 在AD 上，且OE ⊥BC 于点E ，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．10°D ．15°第2题图 第4题图 第5题图 3．在△ABC 中，∠B 与∠C 的角平分线交于O 点，若∠A=50°，则∠BOC=（ ） A ．130° B ．50° C ．25° D ．115°4．将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°5．（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ） A ．150° B ．210° C ．105° D ．75°6．（2005•长沙）在△ABC 中，若∠A=38°36′，∠B=57°36′，则∠C=_________度． 7．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C ），则∠A 的度数为________度．8．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内ABC DE9．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C ，BD 平分∠ABC ，∠A=36º，求∠BDC 的度数．10．如图，在△ABC 中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，求∠ABE 、∠ACF 和∠BHC 的度数．11．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ．求证：∠CFE=∠CEF ．12．如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA 的度数． EFABCD13．如图，B岛在A岛的南偏西45°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向．从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？14．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α，∠C=β，（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）15．已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°．（1）求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系？并说明理由．第4课时 三角形的外角 姓名：___________☆知识导学1．如图，延长QR 至T ，∵∠PRQ+∠P+∠Q=180º（__________________________） 又∵∠PRQ+∠PRT=180º（__________________________） ∴∠PRT =∠P+∠Q可得：三角形的一个外角等于__________________的两个内角的和．∵∠PRT =∠P+∠Q∴∠PRT ＞∠P ，∠PRT ＞∠Q可得：三角形的一个外角大于_______________________________．2．如图，∵∠1=∠XYZ+∠YZX ，∠2=_______+_______，∠3=_______+_______．∴∠1+∠2+∠3=（∠XYZ+∠YZX ）+（______+______）+（______+______） =2（_____+______+______）=2×_____°=_____°．归纳：三角形的外角和等于____________． ☆习题演练1．如图，（1）若∠A=50º，∠B=70º，则∠ACD=_________． （2）若∠A=40º，∠ACD =130º，则∠B =_________． （3）若∠B=80º，∠ACD =135º，则∠A =_________． 2．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ） A ．75° B ．90° C ．105° D ．120°第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ） A ．165° B ．120° C ．150° D ．135°4．如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A 的度数是（ ） A ．61° B ．60° C ．37° D ．39° 5．如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（ ）A ．∠2＞∠1＞∠3B ．∠1＞∠3＞∠2C ．∠3＞∠2＞∠1D ．∠1＞∠2＞∠3 6．如图，直线MA ∥NB ，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=_______度．第6题图 第7题图 第8题图 第9题图PQRTαABC DN A BM PEAB DCABCDXYZ 12 38．三角形三个内角之比为3∶4∶5，则它的三个外角之比为____________．9．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边BC 上E 处，折痕为CD ，则∠EDB=_________°．10．如图，在△ABC 中，∠A=α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； …；∠A 2011BC 与∠A 2011CD 的平分线相交于点A 2012，得∠A 2012，则∠A 2012=____________．11．如图，已知D 为△ABC 边BC 延长线一点，DF ⊥AB 于F ，且交AC 于E ，∠A=34°，∠D=42°．求∠ACD 的度数．12．一个零件的形状如图中阴影部分．按规定∠A 等于90°，∠B 、∠C 应分别等于29°和21°． （1）检验人员度量得∠BDC=141°，就断定这个零件不合格．你能说明理由吗？（2）你知道∠B 、∠C 、∠BDC 三个角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）13．如图，在△ABC 中，∠1=100°，∠C=80°，∠2=21∠3，BE 平分∠ABC ．求∠4的度数．14．如图，已知∠BAD=∠CBE=∠ACF ，∠FDE=48°，∠DEF=64°，求△ABC 各内角的度数．15．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且BE 、CE 交于E 点． 求证：∠E=21∠A ．16．如图①，A 、B 两点同时从原点O 出发，点A 以每秒m 个单位长度沿x 轴的正方向运动，点B 以每秒n 个单位长度沿y 轴正方向移动．（1）若|m+2n-5|+|2m-n|=0，试分别求出1秒后，A 、B 两点的坐标；（2）如图②，设∠4的邻补角和∠3的邻补角的平分线相交于点P ．试问：在点A 、B 运动的过程中，∠P 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．17．已知：在△ABC 和△XYZ 中，∠A=40°，∠Y+∠Z=95°，将△XYZ 如图摆放，使得∠X 的两条边分别经过点B 和点C ．（1）当将△XYZ 如图1摆放时，则∠ABX+∠ACX=_______度；（2）当将△XYZ 如图2摆放时，请求出∠ABX+∠ACX 的度数，并说明理由；（3）能否将△XYZ 摆放到某个位置时，使得BX 、CX 同时平分∠ABC 和∠ACB ？为什么？ ABXA ZCX ZYB图1图24 A3OAx1 2 BB Px y y O 图2第5课时 多边形的内角和、外角和 姓名：___________☆知识导学1．过点A 作出下列多边形的对角线，各将多边形分成几个三角形？完成表格：归纳：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引_______条对角线，把n 边形分成________个三角形． （2）n 边形的内角和等于___________．（其中n ≥3）2．从与每个内角相邻的两个外角中分别取1个相加，得到的和称为多边形的外角和．∠1＋∠2＋∠3=________°， ∠1＋∠2＋∠3＋∠=________°归纳：n 边形的外角和等于__________． ☆习题演练1．八边形的内角和是（ ）A ．540°B ．720°C ．900°D ．1080° 2．一个多边形的内角和等于720°，这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 3．下列各角不是多边形的内角和的是（ ）A ．1800°B ．540°C ．1900°D ．1440° 4．正六边形的每个内角都是（ ）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120° 5．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形 7．一个多边形的各个内角都等于108°，它是_______边形．8．一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形是______边形，过其中一个顶点可以作_______条对角线，AAAA123 12349．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加_______，外角和__________．10．（2013•乐山）如图，在四边形ABCD中，∠A=45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2=_________．第9题图第10题图11．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出______个三角形．12．已知一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的边数．13．若两个多边形的边数之比为1∶2，内角和的度数之比为1∶3，求这两个多边形的边数．14．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．15．如图，四边形ABCD中，如果∠A与∠C互为补角，求证：∠B与∠D也互为补角．16．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4，求x的值．17．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和．18．已知一个多边形的最小的一个内角是120°，比它稍大的一个内角是125°以后依次每一个内角比前一个内角多5°，且所有内角的和与最大的内角的度数之比是63∶8，试求这个多边形的边数．19．如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，（1）整个行走路线是什么图形？（2）一共走了多少米？20．如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=70°，∠5=∠6．（1）求证：AC⊥BD；（2）求四边形ABCD各内角的度数；（3）若AC=8，BD=6，求四边形ABCD的面积．。

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三角形培优练习题1已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD2 已知：BC=DE，/ B= / E,/ C= / D , F 是CD 中点，求证:A 3 已知：/ 1 = / 2, CD=DE , EF//AB，求证：EF=AC4 已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD，求证：/ B=2 / C5 已知：AC 平分/ BAD , CE 丄 AB ，/ B+ / D=1806如图，四边形 ABCD 中，AB // DC , BE 、CE 分别平分/ ABC 、/ BCD ,且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

7 已知：AB=CD ，/ A= / D ，求证：/ B= / C8.P 是/ BAC 平分线 AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB，求证：AE=AD+BE9 已知，E 是AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7，求DC10.如图，已知AD // BC ,Z PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于E, CE的连线交AP 于D .求证：AD + BC=AB.11如图，△ ABC中，AD是/ CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：/ C=2/ B12 如图：AE BC交于点M F 点在AMk, BE// CF, BE=CF求证：人皿是厶ABC的中线。

E13已知：如图，AB=AC , BD AC , CE AB ，垂足分别为 D 、E , BD 、CE 相交于点F 。

求证：BE =CD .C14在厶ABC 中，ACB 90 , AC BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN 于D ,BE MN 于E •⑴ 当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ① ADC 也 CEB :②DE AD BE ;(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立,15 如图所示，已知 AE! AB, AF 丄 AC, AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF ( 2) EC 丄BF请给出证明；若不成立，说明理由B C16.如图，已知AC // BD , EA、EB分别平分/ CAB和/ DBA , CD过点E,贝U AB与AC+BD 相等吗？请说明理由17.如图9所示，△ ABC是等腰直角三角形，/ ACB = 90°, AD是BC边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC = Z BDE .图9全等三角形证明经典(答案)1. 延长AD 至U E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52 证明：连接BF 和EF。

全等三角形专题培优(带答案)

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全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（）A.与互为余角B.C.D.4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（）A.个B.个C.个D.个7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图，是的角平分线，则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（）A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得第1页，共7页第2页，共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段（旋转角为），连接．特例分析：如图．若，则图中与全等的一个三角形是________，的度数为________．类比探究：请从下列，两题中任选一题作答，我选择________题． ：如图，当时，求的度数； ：如图，当时，①猜想的度数与的关系，用含的式子表示猜想的结果，并证明猜想；②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”，其余条件不变，请直接写出的度数（用含的式子表示，不必证明）12.如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为________．13.在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为________．14.在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于________．15.如图，平分，于，于，，则图中有________对全等三角形．16.如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． 当________时，；请添加一个条件：________，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：；②如图，当点运动到线段之外时，其它条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．17.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，．如果，，那么弦的长是________．18.如图，在中，，，是的平分线，平分交于，则________．19.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图，在中，，平分，， 求的长．小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图）． 请回答：是________三角形．的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图，已知中，，，平分，，．求的长．20.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：________．三、解答题（共 7 小题 ，每小题 10 分 ，共 70 分 ）21.如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．22.尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）如图，作①的平分线；②边上的中线；22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块，请你用尺规作图作一个三角形，使所得的三角形和原来的三角形全等．（不要求写作法，保留作图痕迹．不能在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列画图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格，再向上平移格后的．23.平行四边形中，，点为边上一点，连结，点在边所在直线上，过点作交于点．如图，若为边中点，交延长线于点，，，，求；如图，若点在边上，为中点，且平分，求证：；如图，若点在延长线上，为中点，且，问中结论还成立吗？若不成立，那么线段、、满足怎样的数量关系，请直接写出结论．24.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与直线关于轴对称，已知直线的解析式为，求直线的解析式；过点在的外部作一条直线，过点作于，过点作于，请画出图形并求证：；沿轴向下平移，边交轴于点，过点的直线与边的延长线相交于点，与轴相交于点，且，在平移的过程中，①为定值；②为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．25.如图：，，过点，于，于，．求证：．第3页，共7页第4页，共7页26.如图，点，在上，，，，与交于点．求证：；试判断的形状，并说明理由．27.如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、吗？为什么？是的垂直平分线吗？为什么？ 答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “；” ][ "添加一个条件，可得为等边三角形； 故答案为：；①∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴；②成立，理由如下； ∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴．" ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解：是等腰三角形， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴是等腰三角形；" ][ "的长为， ∵中，，， ∴， ∵平分， ∴，在边上取点，使，连接， 则，∴， ∴， ∴，在边上取点，使，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，∴．" ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明：∵为等边三角形，∴，，即，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴，∴为等边三角形．22.解：如图所示：；如图所示：即为所求；；①如图所示：即为所求；②如图所示：即为所求；．．23.解：如图，在平行四边形中，，∴，∵在中，为的中点，，∴，又∵，∴，故可设，，则中，，解得，∴，又∵，，∴为的中点，∴；如图，延长交的延长线于点，则，∵，∴，又∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，又∵为的中点，∴，∴，∴，∵，∴；第5页，共7页第6页，共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上，为中点，且，则中的结论不成立，正确结论为：． 证明：如图，延长交的延长线于点，则，∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．24.解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，，∵直线与直线关于轴对称， ∴∴直线的解析式为：；如图．．∵直线与直线关于轴对称， ∴，∵与为象限平分线的平行线， ∴与为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，，∴；①对，过点作轴于，直线与直线关于轴对称∵，， 又∵， ∴， 则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴．25.证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，∴．26.证明：∵，∴，即．又∵，，∴，∴．解：为等腰三角形理由如下：∵，∴，∴，∴为等腰三角形．27.解：．理由：∵是的平分线，且，，∴，∴；是的垂直平分线．理由：∵，在和中，，∴，∴，由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，从而是线段的垂直平分线．第7页，共7页。