加法原理和乘法原理

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加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理
【教学目标】
1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题
3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力
【教学重点与难点】
1、重点：加法原理和乘法原理
2、难点：加法原理和乘法原理的准确应用
【教学用具】
多媒体、投影仪
【教学方法】
启发、引导式
【教学过程设计】：
一、导入新课
从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合。

它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般。

虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关。

至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它。

今天我们就来学习本章的两个基本原理。

(这是排列、组合的第一节课，把这一章的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为本章的学习研究打下思想基础。

)
二、新授知识
1. 介绍两个基本原理
请大家先考虑下面的问题(见屏幕)。

问题(1) 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。

那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
分析：从甲地到乙地有3类方法：第一类方法，乘火车，有4种方法；第二类方法，乘汽车，有2种方法；第三类方法，乘轮船，有3种方法；所以，从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。

由以上问题(1)得出加法原理：
做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。

那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。

问题(2) 如图,由A村去B村的道路有2条，由B村去C村的道路有3条。

从A村经B 村去C村，共有多少种不同的走法？
分析: 从A村经B村去C村有2步,(见多媒体动画)
第一步, 由A村去B村有2种方法,
第二步, 由B村去C村有3种方法,
所以从A村经B村去C村共有2×3 = 6 种不同的方法。

由以上问题(2)得出乘法原理：
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。

学生阅读“两个原理”思考下面的问题：
(1) 两个基本原理是干什么用的呢？
答：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数。

(2) 比较两个基本原理，它们有什么区别？
答：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”。

2.应用举例
例1. 某班级有男学生5人，女学生4人。

(1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？
(2) 从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？
分析：(1) 完成从学生中任选一人去领奖这件事，共有2类办法，
第一类办法，从男学生中任选一人，共有m1 = 5 种不同的方法；
第二类办法，从女学生中任选一人，共有m2 = 4 种不同的方法所以, 根据加法原理,
得到不同选法种数共有N = 5 + 4 = 9 种。

(2) 完成从学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事, 需分2步完成,
第一步，选一名男学生，有m1 = 5 种方法；
第二步，选一名女学生，有m2 = 4 种方法；
所以，根据乘法原理, 得到不同选法种数共有N = 5 × 4 = 20 种
由例1.可知：解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”，还是“分步完成”。

“分类完成”用“加法原理”；“分步完成”用“乘法原理”。

三、巩固练习
练习1、书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书。

(1) 从中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？
（由学生分析并作答）
解：(1)从书架上任取一本书，有两种方法：第一类可从6本数学书中任取一本，有6
种方法；第二类可从5本语文书中任取一本，有5种方法；根据加法原理可得共有5+6=11 种不同的取法。

(2) 从书架上任取数学、语文书各一本，可以分成两步完成：第一步任取一本数学书，有6种方法；第二步任取一本语文书，有5种方法。

根据乘法原理可得共有5×6=30种不同取法。

练习2、一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？
分析：按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位, 需分为三步完成;
第一步，m1 = 10；第二步，m2 = 10；第三步，m2 = 10。

根据乘法原理, 共可以设置N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。

请大家思考：首位数字不为0的密码数是多少种？首位数字是0的密码数又是多少种？(答案：9×10×10=900；1×10×10=100)
练习3、由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数(各位上的数字允许重复)？
(由学生作答：4×5×5=100)
练习4、如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。

从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
(结合屏幕分析再由学生作答：2×3＋4×2=14)
四课堂思考讨论题
1 、如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？(详细分析由屏幕即可知)
五、归纳小结
1、加法原理和乘法原理的内容，它们的异同怎样？
2、什么时候用加法原理，什么时候用乘法原理？
六、布置作业
P 222 练习：第3, 4, 6, 7题
课堂教学设计说明
两个基本原理一课是排列、组合的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，可排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题。

对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的。

基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题。

正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件；分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类和分步。

教学中给出的练习均在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就在于帮助学生对这一知识的理解与应用。

为了使学生能进一步理解和运用两个原理，特设计一道课堂思考题和一道自编讨论题；同时这两个题也为将要学习的排列组合内容打下了一个基础。

两个基本计数原理加法原理和乘法原理

两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。

当我们需要计算完成某件事情的方法数时，就会用到两个基本的计数原理：加法原理和乘法原理。

这两个原理看似简单，但却在解决各种计数问题时发挥着关键作用。

先来说说加法原理。

加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m₁种不同的方法，在第二类方式中有m₂种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。

举个简单的例子，假如你要从A 地去B 地，有两种交通方式可选，一是坐火车，有 3 趟不同的车次；二是坐汽车，有 2 趟不同的班车。

那么你从 A 地去 B 地一共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种选择。

再比如，你周末想出去玩，有三个选择：去公园散步、去商场购物或者去电影院看电影。

去公园散步有 2 条不同的路线，去商场购物有 3 家不同的商场可去，去电影院看电影有 5 部不同的影片可选择。

那么你周末出去玩的方式就有 2 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 10 种。

加法原理的核心在于“分类”，每一类方法都是相互独立的，彼此之间没有交叉和重叠，最终将每一类的方法数相加就能得到总的方法数。

接下来谈谈乘法原理。

乘法原理是说，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m₁种不同的方法，做第二步有 m₂种不同的方法，……，做第 n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。

比如说，你要从你的家去一个朋友家，需要先坐公交车到地铁站，有 4 路公交车可选择；然后再从地铁站坐地铁到朋友家附近的站点，有 3 条地铁线路可选择；最后从地铁站走到朋友家，有 2 条不同的路可走。

那么你去朋友家的路线就有 4 × 3 × 2 ＝ 24 种。

加法原理,乘法原理

加法原理,乘法原理运算是现代社会不可缺少的一种基本技能，它不仅在学校教育中被广泛的使用，在实际的日常生活中同样也被广泛的使用。

基本的运算有加法、减法、乘法和除法，加法和乘法是其中最重要的。

加法原理指：加法是求和，两数相加，求它们之和。

乘法原理指：乘法是求积，两数相乘，求它们之积。

加法原理的核心思想是“多位一体”，即可以把多个小的数字合并成一个大的数字。

它的标准形式是“两个数字相加，求它们之和”，其具体步骤如下：1、从个位开始，对两位数相加，如果其结果大于等于10，则将其十位数记录在结果中，将十位数和个位数相加，得出最终的结果。

2、从十位开始，对两位数相加，如果其结果大于等于10，则将其百位数记录在结果中，将百位数和十位数相加，得出最终的结果。

3、以此类推，不断对两位数相加，如果其结果大于等于10，则将其余位数记录在结果中，将余位数和相邻位数相加，得出最终的结果。

乘法原理的核心思想是“重复加法”，即可以连续的进行加法运算来进行乘法运算。

它的标准形式是“两个数相乘，求它们之积”，其具体步骤如下：1、将乘数乘以被乘数的每一位，得到一个临时结果，然后把所有的临时结果相加，得到最终的结果。

2、如果某一位的结果大于等于10，则将其结果的十位数加到下一位中，将其个位数留在当前位中，然后将所有的结果相加，得到最终的结果。

以上就是加法原理和乘法原理的基本概念，只要掌握了这两个原理的基本概念，我们就可以轻松的完成加法和乘法的运算。

在数学学习和实际应用中，加法和乘法原理是不可缺少的必修课程，能够帮助我们理解和掌握运算，有助于我们日常生活的更科学、更高效的运用。

乘法原理和加法原理

乘法原理和加法原理加法原理:完成一件工作有几种不同的方法，每种方法又有很多种不同的方法，而且这些方法彼此互斥，那么完成这件方法的总数就是等于各类完成这件工作的综合。

这类方法称为加法原理，也叫分类计数原理。

乘法原理:如果完成一件工作需要很多步骤，每个步骤又有很多种方法，那么完成这件工作的方法就是把每一步骤中的不同方法乘起来，这类方法称为乘法原理，也叫分步计数原理。

例题:例1. 小军、小兰和小红三个小朋友排成一排照相，有多少种不同的排法, 例2. 书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书。

如果从中各取一本科技书、一本故事书、一本英语书，那么共有多少种取法,例3.一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有的这些小球的颜色各不相同。

(1)从两个盒子任取一个球，有多少种不同的取法,(2)从两个盒子里各取一个球，有多少种不同的取法,例4.四个数字3、5、6、8可以组成多个没有重复数字的四位数,例5.用四种不同的颜色给下面的图形涂色，使相邻的长方形颜色不相同，有多少种不同的涂法,BACD当堂练:1. 五一前夕，学校举行亲子活动，玲玲有红、白、黄、花四件上衣和蓝、黄、青共三种颜色的裙子，找出来搭配着穿，一共有多少种不同的搭配方法,2.甲、乙、丙三个组，甲组6人，乙组5人，丙组4人，如果从三组中选出一个代表，有多少种不同的选法,3.有7、3、6三个数字卡片，能组成几个不同的三位数,课堂作业:1. 春节期间，有四个小朋友，如果他们互相寄一张贺卡，一共寄了多少张,2. 有8,0,2,4,6五个数字可以组成几个不同的五位数,3. 一个袋子里装有6个白色乒乓球，另一个袋子里装有8个黄色乒乓球。

(1).从两个袋子里任取一个乒乓球，共有多少种不同取法?(2).从两个袋子里各取一个乒乓球，有多少种不同取法,4. 南京到上海的动车组特快列车，中途只停靠常州、无锡、苏州三个火车站，共要准备多少种不同的车票,有多少种不同的票价,(考虑往返)5.在A、B、C、D四个长方形区域中涂上红、黄、蓝、黑这四种颜色，使任何相邻两个长方形颜色不同，一共有多少种不同的涂法,ABC D6.有6个不同的文具盒，4支不同的铅笔，4支不同的钢笔，2把不同的尺子。