第三讲函数与不等式问题的解题技巧

第三讲 函数与不等式问题的解题技巧

【命题趋向】

高考函数试题有这样几个特点：

1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象． 2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现． 3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查． 4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的． 5．涌现了一些函数新题型．

6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导．

函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分． 不等式试题则有这样几个特点：

1．在选择题中会继续考查比较大小，可能与函数、方程、三角等知识结合出题.

2．在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值应用题.

3．解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法. 分值在27---32分之间，一般为2个选择题，1个填空题，1个解答题．

可以预测在20XX 年的高考试题中，会有与导数结合的函数单调性－函数极值－函数最值问题；选择题与填空题中会出现一些与函数、方程、三角等知识结合的不等式问题，在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题，这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。 【考点透视】

考点1.函数的定义域及其求法

函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例1．（20XX 年广东卷理）已知函数()

f x =

的定义域为M ，g(x )=ln(1)x +的定义域为N ，则M∩N=

（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅ 例2. ( 20XX 年湖南卷）函数

y ( )

（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞) 考点2.复合函数问题

复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求

复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.

例3．（20XX 年北京卷文）对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：

命题甲：(2)f x +是偶函数； 命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②

Ｂ．①③

Ｃ．②

Ｄ．③

例4．（20XX 年安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()

12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.

考点3.函数的单调性、奇偶性和周期性

函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 例5．（20XX 年全国卷） 已知函数1

21

)(+-=x

a x f ，若()f x 为奇函数，则a =________.

例6．（20XX 年全国卷理I ）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件

B ．充分而不必要的条件

C ．必要而不充分的条件

D ．既不充分也不必要的条件

考点4. 函数的图象与性质

函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.

例7.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )

例8．.当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax 的图象只可能是( )

例9. 如图，函数的图象由两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式。

例10.函数f (x )＝b x a x a ax +-+-+)2(48)1(2

3

的图象关于原点成中心对称, 则f (x )在] ,[44- 上的单调性是 ( )

A. 增函数

B. ] ,[04-上是增函数, ] ,[40上是减函数

C. 减函数

D. ] ,[04-上是减函数, ] ,[40上是增函数

例11.函数)(x f y =的图象过原点且它的导函数)(x f y '=的图象

是如图所示的一条直线, 则)(x f y =的图象的顶点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

例12.不等式0c x ax )x (f 2

>--=的解集为}1x 2|x {<<-, 则函数)x (f y -=的图象为 ( )

考点5. 函数综合问题

函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力.

例13．（20XX 年浙江卷文）已知.|1|)(22kx x x x f ++-= （Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；

（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k

的取值范围，并证明.4112

1

<+x x

O

x

y 1 1

2 2

3

4