第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
知识点一 同角三角函数基本关系式
1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1，其等价形式为：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝________.
2．商数关系：__________，其等价形式为：sinα＝____________，cosα＝sinαtanα.
答案
1．1－sin2α 2.sinαcosα＝tanα cosαtanα
1．已知cosα＝1213，且α是第四象限角，则sinα的值为________．
解析：由于α是第四象限角，故sinα＝－1－cos2α＝－513.
答案：－513
2．已知sinα－2cosα3sinα＋5cosα＝－5，那么tanα的值为________．
解析：由sinα－2cosα3sinα＋5cosα＝－5，知cosα≠0，分子分母同时除以cosα可得tanα－23tanα＋5＝－5，解得tanα＝－2316.
- 2 - 答案：－2316
3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝( )
A.6425 B.4825
C．1 D.1625
解析：通性通法：由tanα＝sinαcosα＝34，cos2α＋sin2α＝1，得 sinα＝35cosα＝45或 sinα＝－35，cosα＝－45，则sin2α＝2sinαcosα＝2425，则cos2α＋2sin2α＝1625＋4825＝6425.
光速解法：cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαcosαcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝1＋31＋916＝6425.
答案：A
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- 1 - / 11 第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
命题分析预测 学科核心素养
从近五年的考查情况来看，本节的命题重点是同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用，单独命题的概率较低．本讲知识多作为工具考查三角恒等变形或研究三角函数的图像与性质，以选择题和填空题为主． 本节通过同角三角函数基本关系及诱导公式考查考生的数学运算核心素养及分类讨论思想的应用．
授课提示：对应学生用书第63页
知识点一 同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
（2）商数关系：tan α＝sin αcos α．
•温馨提醒•
同角三角函数关系式的常用变形
（sin
α±cos α）2＝1±2sin αcos α；
sin α＝tan α·cos α．
1．已知α为第二象限角，化简：cos α1－sin α1＋sin α＋sin
α1－cos α1＋cos α＝（ ）
A．sin α＋cos α B．sin α－cos
α
C．1＋sin α D．1－sin α
解析：原式＝cos α（1－sin α）2cos2α＋sin α（1－cos α）2sin2α
＝cos α1－sin α|cos α|＋sin α1－cos α|sin α|
＝cos α·1－sin α－cos α＋sin α·1－cos αsin α
＝sin α－cos α．
答案：B
2．若sin α＝55，π2
- 2 - / 11 解析：因为π2
所以tan α＝sin
αcos α＝－12．
答案：－12
3．已知tan
α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos
α的值为_________．
解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3．
答案：3
知识点二 诱导公式
组数 一
二 三 四 五 六
角 2kπ＋α
（k∈Z） π＋α －α π－α π2－α π2＋α
20211
第三章 三角函数、解三角形
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
[考纲解读］ 1。了解任意角的概念及弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化．(重点)
2.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等．(重点、难点)
[考向预测］ 从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2021年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.
1．任意角的概念
（1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着错误!端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类 20211
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．
2．弧度制的定义和公式
（1)定义：把长度等于错误!半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
(2)公式
3．任意角的三角函数 20211
定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y）,那么sinα＝错误!y,cosα＝错误!x，tanα＝错误!错误!.
1．概念辨析
（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )
（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( )
（3)不相等的角终边一定不相同．（ ）
（4)三角形的内角必是第一、第二象限角．( ）
答案 （1）× （2）√ （3）× (4）×
2．小题热身
(1)下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是( ）
A．2kπ＋45°(k∈Z） B．k·360°＋错误!（k∈Z）
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4（k∈Z）
答案 C
解析 角度制与弧度制不能混用,排除A,B；因为错误!＝2π＋π4，所以与错误!终边相同的角可表示为k·360°＋45°(k∈Z)或k·360°－315°等，故选C。
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式
第四章 (对应学生用书(文)、(理)49～50页)
考情分析 考点新知
掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．
能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用.
1. (必修4P105例1改编)已知sinα＝－45，α∈－π2，π2，则sin2α＝__________．
答案：－2425
解析：∵ sinα＝－45，α∈－π2，π2，
∴ α∈－π2，0，cosα＝35.
∴ sin2α＝2sinαcosα＝－2425.
2. (必修4P108习题3.2第5(2)题改编)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝________．
答案：－53
解析：∵ sinα＋cosα＝33， ∴ (sinα＋cosα)2＝13，
∴ 2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23.
∵ α为第二象限角且sinα＋cosα＝33>0，
∴ 2kπ＋π2
∴ cos2α＝－1－sin22α＝－53.
3. (必修4P108习题3.2第3题改编)若sin(π2＋θ)＝35，则cos2θ＝________．
答案：－725
解析：∵ sinπ2＋θ＝35，∴ cosθ＝35，
∴ cos2θ＝2cos2θ－1＝－725.
4. (必修4P106练习第1(1)题改编)函数f(x)＝sinxcosx的最小正周期是________．
答案：π
解析：∵ f(x)＝sinxcosx＝12sin2x，∴ T＝2π2＝π.
5. (必修4P108习题3.2第5(3)题改编)若5π2≤α≤7π2，则1＋sinα＋1－sinα＝________．
答案：－2sinα2
解析：∵ 5π2≤α≤7π2，∴ 5π4≤α2≤7π4.
