2015年成人高考专升本高数一真题

2015年成人高等学校专升本招生全国统一考试

高等数学（一）

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内. 1. 当0≠b ，当0→x 时，bx sin 是2

x 的 （ ）

A. 高阶无穷小量

B. 等价无穷小量

C. 同阶但不等价无穷小量

D. 低阶无穷小量

2. 设函数)(x f 可导，且2)

1()1(lim 0

=-+→f x f x

x ，则=')1(f

（ ）

A. 2

B. 1

C.

2

1

D. 0

3. 函数112)(3

+-=x x x f 的单调减区间为 （ ）

A. ),(+∞-∞

B. )2,(--∞

C. )2,2(-

D. ),2(+∞

4. 设0)(0='x f ，则0x x = （ ）

A. 为)(x f 的驻点

B. 不为)(x f 的驻点

C. 为)(x f 的极大值点

D. 为)(x f 的极小值点

5. 下列函数中为x

e x

f 2)(=的原函数的是 （ ）

A. x

e B.

x

e 22

1 C. x

e 2

D. x

e 22

6.

⎰

=dx x x 2

cos （ ）

A. C x +-2

sin 2 B. C x +-2sin 2

1

C. C x +2

sin 2

D.

C x +2sin 2

1

7. ⎰=02

x t dt te dx

d （ ）

A. 2

x xe

B. 2

x xe - C. 2

x xe

-

D. 2

x xe

--

8. 设y

x z =，则=∂∂x

z （ ）

A. 1

-y yx

B. x x y

ln C. 1

-y x

D. x x

y ln 1-

9. 设3

2

y x z +=，则=)

1,1(dz

（ ）

A. dy dx 23+

B. dy dx 32+

C. dy dx +2

D. dy dx 3+

10. 级数

∑∞

=-1

2

)1(n n

n k

（k 为非零常数） （ ）

A. 绝对收敛

B. 条件收敛

C. 发散

D. 收敛性与k 的取值有关

二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分. 把答案填在题中横线上.

11. =+→220)

1ln(lim x

x x _________. 12. 函数2

2

)(-+=

x x x f 的间断点为=x _________. 13. 设x

e x y +=2

，则=dy _________. 14. 设100

)2(x y +=，则='y _________.

15.

⎰=-x dx

3_________. 16. ⎰-=+112

1dx x x

_________. 17.

⎰

=1

3dx e x _________.

18. 设x y z sin 2

=，则

=∂∂x

z

_________. 19. 微分方程x y 2='的通解为=y _________.

20. 级数

∑∞

=1

n n

x

的收敛半径=R _________.

三、解答题：21～28小题，共70分. 解答应写出推理、演算步骤. 21. （本题满分8分） 计算1

)

1sin(lim

21--→x x x .

22. （本题满分8分） 设曲线方程为x e y x

+=，求0

='

x y 以及该曲线在点)1,0(处的法线方程.

23. （本题满分8分） 计算

⎰

-

dx x

e x

.

24. （本题满分8分） 计算⎰+e

dx x x 1ln 1.

25. （本题满分8分）

求曲线3

x y =与直线x y =所围图形（如图中阴影部分所示）

的面积S .

26. （本题满分10分） 设二元函数52

2--+++=y x y xy x z ，求z 的极值.

27. （本题满分10分） 求微分方程x y x

y =+

'1

的通解.

28. （本题满分10分） 计算

⎰⎰D

ydxdy x 2，其中D 是由直线x y =，1=x 及x 轴围成的有界区域.

2015年高等数学（一）试题参考答案

一、选择题：每小题4分，共40分. 1. D 2. C 3. C 4. A 5. B

6. D

7. B

8. A

9. B 10. A

二、填空题：每小题4分，共40分. 11. 1 12. 2 13. dx e x x

)2(+ 14. 99

)2(100x + 15. C x +--3ln 16. 0 17.

)1(3

13

-e 18. x y cos 2

19. C x +2

20. 1

三、解答题：共70分. 21. 解：x

x x x x x 2)

1cos(lim 1)1sin(lim

121-=--→→ 2

1=. 22. 解：1+='x

e y ，20='=x y .

曲线在点)1,0(处的法线方程为)0(2

1

1--=-x y ， 即022=-+y x .

23. 解：设t x =，则2

t x =，tdt dx 2=.

⎰

⎰⋅=--

tdt t e dx x

e t

x

2

⎰-=dt e t 2

C e t +-=-2 C e x

+-=-

2.

24. 解：

⎰⎰⎰+=+e

e e dx x x dx x dx x x 111ln 1ln 1 e

e

x x 121)(ln 21ln +=

2

3=.