典型例题一
例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．
（１）如图1，已知l A l ∈=⋂,βα．在α内作l PA ⊥于A ，在β内作l QA ⊥于A ．
（２）如图２，已知l A A l ∉∈=⋂,,αβα．作β⊥AP 于P ，在α内作l AQ ⊥于Q ，连结PQ ．
（３）已知βαβα∉∉=⋂A A l ,,．作α⊥AP 于P ，β⊥AQ 于Q ，⋂l 平面
H PAQ =，连结PH 、QH ．
作图与证明在此省略．
说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．
典型例题二
例 2. 如图，在立体图形ABC D -中，若E CD AD CB AB ,,==是AC 的中点，则下列命题中正确的是（ ）.
（A ）平面ABC ⊥平面ABD （B ）平面ABD ⊥平面BDC
（C ）平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE （D ）平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE
分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.
解：因为,CB AB =且E 是AC 的中点，所以,AC BE ⊥同理有AC DE ⊥，于是⊥AC 平面BDE .因为⊂A
C 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于⊂AC 平面AC
D ,所以平面ACD ⊥平面BD
E .所以选C.
说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.
典型例题三
例３．如图，P 是ABC ∆所在平面外的一点，且⊥PA 平面ABC ，平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．
分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．
证明：在平面PAC 内作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ，
⊂AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以PBC AD 平面⊥．又因为⊂BC 平面PBC ，于是
有BC AD ⊥①．另外⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD = ，可知⊥BC 平面PAC ．因为⊂AC 平面PAC ，所以AC BC ⊥． 说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
典型例题四
例４．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．
分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于C 点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．
证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有AC BC ⊥①． 因为⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，则BC PA ⊥②． 由①②及A PA AC = ，得⊥BC 平面PAC ． 因为⊂BC 平面PBC ，有平面PAC ⊥平面PBC ．
说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．
典型例题五
例５．如图，点A 在锐二面角βα--MN 的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与
MN 所成的角PAM ∠为 45，与面β所成的角大小为 30，求二面角βα--MN 的大小．
分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．
解：在射线AP 上取一点B ，作β⊥BH 于H ，连结AH ，则BAH ∠为射线AP 与平面β所成的角，
30=∠∴BAH ．再作MN BQ ⊥，交MN 于Q ，连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面β内的
射影．由三垂线定理的逆定理，MN HQ ⊥，BQH ∠∴为二面角βα--MN 的平面角．
设a BQ =，在BAQ Rt ∆中，a AB BAM BQA 2,45,90=∴=∠=∠ ,在Rt △BHQ
中，
,22,,90a BH a BQ BHQ ===∠ 2222sin ===
∠a a
BQ BH BQH , BQH ∠ 是锐角， 45=∠∴BQH ,即二面角βα--MN 等于 45．
说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，
二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．
典型例题六
例６．如图，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'．
（１）指出这个二面角的面、棱、平面角；
（２）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长； （３）求C A '与平面CD C '所成的角；
（４）若二面角C AD C --'的平面角为
120，求二面角D C C A -'-的平面角的正切
值．
分析：根据问题及图形依次解决．
解：（１）∴'⊥⊥∴⊥,,,C D AD DC AD BC AD 二面角C AD C --'的面为ADC 和面C AD '，棱为AD ，二面角的平面角为C CD '∠．
（２）若
90='∠C CD ，a C C a C D DC a AC 2
2
,21,='∴=
'=∴= ． （３）⊥∴⊥'⊥AD DC AD C D AD ,, 平面C C D '，D C A '∠∴为C A '与平面CD
C '
