2018高考数学(文理通用版)一轮复习课件：第五章 数列 第2讲

分组转化法求和的常见类型 1．若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求
{an}的前 n 项和． 2．通项公式为 an＝cbnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
Sn＝na12＋an＝_n_a_1_＋__n_n_－2__1__d___.
(2)等比数列的前 n 项和公式： Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1_a，_11_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1_._ 2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项 和公式即是用此法推导的．
1．必会结论 常用求和公式
前 n 个正整数之和 前 n 个正奇数之和
前 n 个正整数的平方和
前 n 个正整数的立方和
1＋2＋…＋n＝nn2＋1 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
nn＋12n＋1 12＋22＋…＋n2＝________6_______
13＋23＋…＋n3＝nn＋2 12
2.必知联系 (1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论． (2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1 的式子应进行合并． (3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后 剩多少项．
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝211－－2210＋1＋102×10 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.

—[悟· 技法]— 解决等差数列与等比数列的综合问题， 关键是理清两个数列 的关系． 如果同一数列中部分项成等差数列， 部分项成等比数列， 要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究； 如果两个数列 通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开， 弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
—[通· 一类]— 1．(2017· 石家庄市第一次模考)已知等差数列{an}中，2a2＋ a3＋a5＝20，且前 10 项和 S10＝100. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)若 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和． anan＋1
2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d＝20 解析：(1)由已知得 10×9 10a1＋ 2 d＝10a1＋45d＝100
a1＝1 解得 d＝2
，
∴{an}的通项公式为 an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 1 1 1 1 (2)bn＝ ＝2×( － )， 2n－12n＋1 2n－1 2n＋1 1 1 1 1 1 1 ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn＝2×[(1－3)＋(3－5)＋…＋( 2n－1 1 1 1 n － )]＝2×(1－ )＝ . 2n＋1 2n＋1 2n＋1
[解析] (1)设数列{an}的公比为 q. 1 1 2 由已知，有a －a q＝a q2， 1 1 1 解得 q＝2 或 q＝－1. 1－q6 又由 S6＝a1· ＝63，知 q≠－1， 1－q 1－26 所以 a1· ＝63，得 a1＝1. 1－2 － 所以 an＝2n 1.
1 (2)由题意，得 bn＝2(log2an＋log2an＋1) 1 1 n－1 n ＝2(log22 ＋log22 )＝n－2， 1 即{bn}是首项为2，公差为 1 的等差数列． 设数列{(－1)nb2 n}的前 n 项和为 Tn，则 2 2 2 2 2 2 T2n＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－b2n－1＋b2n) ＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n 2nb1＋b2n 2 ＝ ＝ 2 n . 2

2
2
5.(2016·九江模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,
a1=1,a2=2,且对于任意n>1,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1
=2(Sn+1),则S10的值为 ( )
A.91
B.90
C.55
D.54
【解析】选A.当n=2时,S3+S1=2(S2+1),即3+a3+1=2× 解得a3=4;当n>1,n∈N*时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),Sn+2+Sn =2(Sn+1+1),两式相减得an+2+an=2an+1,故数列{an}从第 二项起是首项为2,公差为2的等差数列,所以S10=1+2 ×9+ 9×8 2=91.
2
考向一 已知数列的前几项求通项
【典例1】(1)已知数列 3， 5 ， 7 ， 9 ， a b ，，根据
2 4 6 a b 10
前三项给出的规律,则实数对(a,b)可能是 ( )
A．19,3 B．(19， 3) C.(19，3 ) D.(19， 3 )
22
22
(2)根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公
式.
①3,5,9,17,33,…
② 1，8， 15，24， 5 79
③1, 0，1，0，1，0，1 ，0， 357
④ 3，1，7 ，9 ， 2 10 17
【解题导引】(1)根据前几项规律写出其通项公式后再 列方程组求解. (2)观察项与项数之间的关系,项与前后项之间的关系, 分子与分母的关系以及符号规律.
1.(必修5P31例3改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+ 1

S6 1 1 2 1 由 知S6= S3,则 S3 =S3·(S9-S6), S3 2 4 2 S9 3 3 所以S9= S3,所以 . S3 4 4 答案: 3 4
感悟考题
试一试
3.(2016·滨州模拟)已知等比数列{an}的公比q大于1,
a3a7=72,a2+a8=27,则a12= ( A.96 B.64 C.72 ) D.48
(n}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n 项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列,则 an=________.
【解题导引】(1)根据a3+a5+a7与a1+a3+a5的联系求解. (2)将已知条件转化为a2的方程组,求得a2,再利用S3=7 求得公比q,进而求解.
(2)由an+1=qan(q≠0),并不能断言{an}为等比数列,还 要验证a1≠0.
(3)等比数列中奇数项的符号相同,偶数项的符号相同.
2.等比数列{an}的单调性 (1)满足
a1 0, q 1 0 q 1 a1 0, 或 a1 0, 时,{a }是递减数列. (2)满足 n q 1 0 q 1 a1 0, 时,{a }为常数列. (3)当 n q 1 a1 0, 或
解得a2=2.设数列{an}的公比为q,由a2=2,可得a1= 2 ,
q
a3=2q.又S3=7,可知 2 +2+2q=7,即2q2-5q+2=0,解得
q1=2,q2= 1 .由题意得q>1,所以q=2,所以a1=1.
所以插入的两个数分别为3×4=12,12×4=48.
答案:12,48
2.(必修5P62习题2.5B组T2改编)设等比数列{an}的前n 项和为Sn,若 S6 1 , 则 S9 =________________.