七年级数学下册7.3三元一次方程组及其解法三元一次方程组的应用

七年级数学下册

三元一次方程组解法

一、概述

三元一次方程组是指同时包含三个未知数的一次方程组。解决这类问题需要运用代数知识和线性方程组的解法，对于初学者来说可能会比较复杂。在七年级数学下册中，我们将学习如何解决三元一次方程组，下面将逐步介绍三元一次方程组的解法。

二、基本概念

1. 三元一次方程组的一般形式

三元一次方程组的一般形式为：

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

其中，a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃为已知系数。

2. 三元一次方程组的解

三元一次方程组的解即为满足所有方程的一组有序数对 (x, y, z)，使得代入各方程均成立。

三、解法步骤

1. 方法一：代入法

对于三元一次方程组，我们可以先通过其中两个方程解出其中两个未知数的值，然后代入第三个方程中，求解出第三个未知数的值。

2. 方法二：化为二元方程组求解

将三元一次方程组中的一个方程化为关于一个未知数的表达式，然后代入其他方程中，将其化为二元方程组，通过解二元方程组得到两个未知数的值，最后代入原方程组求解出第三个未知数的值。

3. 方法三：矩阵法

将三元一次方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵，通过行初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵或最简形矩阵，从而求解出未知数的值。

四、实例分析

举例来说明三元一次方程组的解法：

已知方程组：

2x + 3y + 4z = 20

3x - y + z = 10

x + 2y - 3z = 3

我们可以通过代入法、化为二元方程组求解或者矩阵法来解决这个实例，依次列出解法步骤和计算过程。

五、总结

通过上述例子的分析和解法步骤的介绍，我们可以发现解决三元一次方程组需要熟练掌握代数知识和解方程的方法，尤其需要注意运用代入法、化为二元方程组求解和矩阵法中的细节。对于特殊情况的处理也需要谨慎对待。希望同学们在学习过程中能够多加练习，提高解决三元一次方程组的能力。

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三元一次方程组的解法 例题与讲解

1.三元一次方程及三元一次方程组

(1)三元一次方程：

含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程.

(2)三元一次方程组：

①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.如：

 x＋y＝1，y＋z＝3，x－2z＝5， x＋3y＋2z＝2，3x＋2y－4z＝3，2x－y＝7等都是三元一次方程组.

②拓展理解：

a.构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程；

b.三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数.

【例1】 下列方程组中是三元一次方程组的是( ).

A. x2－y＝1，y＋z＝0，xz＝2 B. 1x＋y＝1，1y＋z＝2，1z＋x＝6

C. a＋b＋c＋d＝1，a－c＝2，b－d＝3 D. m＋n＝18，n＋t＝12，t＋m＝0

解析：A，B选项中有的方程不是三元一次方程，C中含有四个未知数，只有D符合三元一次概念内涵，故选D.

答案：D

2.三元一次方程组的解

(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，人教版数学七年级下册-打印版

叫做三元一次方程的解.

和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解.

(2)三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解.它也是三个数.

(3)检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解.

释疑点 检验三元一次方程组的解

三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解.

【例2】 判断 x＝2，y＝－3，z＝－3是不是方程组 x＋y－2z＝5，2x－y＋z＝4，2x＋y－3z＝10的解.

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7.3.1 三元一次方程组及其解法1

学 习

目 标 1、了解三元一次方程组的概念。2、能用解二元一次方程组的消元思想试着解三元一次方程组。

3、会用代入消元法解三元一次方程组。

学 习

流 程 自主学习 合作探究 总结归纳

自 学 指 导 知 识 形 成 及 应 用 随堂笔记，同步演练

学

习

进

程 1、回忆上节知识：解二元一次方程组有哪几种解法？其思想方法是什么？

2、问题：

思路引导：

（1）在第二轮比赛中，勇士队参加了 场比赛；

（2）计分规则是胜一场记

分，平一场记 分，负一场记 分，勇士队共得 分；

（3）胜负平的场数之间的关系是 。

设胜、平、负的场数分别为x、y、z，则可把上面三个关系“翻译”成方程，并列出方程组为：

怎么解呢？

观察方程③，它可以看着是用含 这两个字母的代数式表示 ，这与上节用代入法解二元一次方程组有类似吗？可否由此消去字母x，变为关于y、z的二元一次方程组呢？试着找出这个二元一次方程组为：

解这个方程组可得：

怎样求出x呢？请看一下方程③，已求出y、z，应该能求出x了吧。

故这个三元一次方程组的解为：

能检验一下是否正确吗？ 1、三元一次方程及三元一次方程组的定义：

（1）三元一次方程：含有 个未知数，并且未知数的指数是 次的整式方程。

（2）三元一次方程组：

①每个方程是 次方程②方程组中共 个未知数

2、三元一次方程组的解法1：

法。

例1解方程组：

1、随堂笔记：怎样用代入法解三元一次方程组？

（1）把其中一个方程变形为 ；

§7.3《三元一次方程组及其解法解析》

教学设计

一、教学目标

知识与技能：

1.理解三元一次方程、三元一次方程组的概念；

2.探寻解三元一次方程组的方法：“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”，进一步体会“消元”思想；

过程与方法：运用类比的思想方法，由已知推未知，总结得到新知识；

情感态度与价值观：让学生通过自己的探索、尝试、比较等活动去发现一些规律，体会一些数学思想，从而激发学生的求知欲望和学习兴趣。

二、教学内容

就学生的知识掌握情况来看，在此之前，他们已经学习了如何求解一元一次方程；如何运用带入消元法、加减消元法求解二元一次方程组。因此具备了学习三元一次方程以及求解三元一次方程组的能力。

在这样的情况下: 1.新课前先回顾、复习之前学习过的二元一次方程和二元一次方程组的相关知识；引导学生回忆起解二元一次方程组得方法和思想；

2.用一道应用题引出本节课需要解决的问题；

3.类比二元一次方程（组）得到三元一次方程（组）的定义；

4.引导学生分析得到求解三元一次方程组的方法——消元法；

5.课堂小结，布置课后学习任务。

三、教学重点、难点

教学重点：类比二元一次方程（组）得到三元一次方程（组）的定义

教学难点：多次运用“类比”的思想方法，得到相关定义及求解三元一次方程组的方法）——消元法

四、教学材料

教学工具：应用题中提到的实物

五、课时安排 15分钟

六、教学过程与方法 教学

步骤 师生活动 设计意图

复习

回顾

问题1：什么叫二元一次方程？

问题2：可否举出一个二元一次方程组？

问题3：求解二元一次方程组有哪些方法？

主要步骤有哪些？

问题4：解二元一次方程组的基本思路是什么？

通过复习二元一次方程组的有关知识，为三元一次方程组的学习做好铺垫.

活动一：

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

(多媒体展示)

小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币与5元纸币数量和的2倍。