初二数学分式应用题辅导资料

人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析《分式》知识点复习及典例解析一、复习目标1.理解并记住分式的乘法法则、除法法则，会进行简单的分式乘除法计算．能解决一些与分式的乘除运算有关的简单的实际问题.2.了解同分母分式的加减法法则，会进行同分母分式的加减运算，理解通分的意义，会通过通分把异分母的分式加减转化为同分母的分式加减.3.能熟练地进行分式的加减乘除混合运算，提高类比的能力和代数化归的能力.4.了解分式方程的概念，掌握解一元一次方程的分式方程的方法，了解产生增根的原因，会检捡一个数是不是分式方程的增根．5.能够列出可化为一元一次方程的分式方程解简单实际问题．二、重点难点重点：分式乘除法、加减法法则的应用. 分式方程的概念，分式方程的解法难点：异分母分式加减法. 解分式方程时，去分母可能会出现增根。

三、知识概要1. 分式的乘除乘法法则：分式乘分式时，分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘. 式子表示：.;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? 2. 分式的加减（1）分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.（2）法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.式子表示：;c b a c b c a ±=±.bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式方程的概念分式是一种表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量关系之间相等关系的模型，分式方程是分母中含有未知数的方程．4.分式方程的解法分式方程是转化为一元一次方程来求解，它是通过去分母实现转化的．主要步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根．5.去分母的技巧解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母，当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解，再确定最简公分母，然后再去分母．6.验根的方法因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的，验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误，另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，这种方法比较简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误．7.列分式方程解决实际问题的方法步骤（1）、审：分析问题，寻找已知、未知及相相等关系，（2）、设：设恰当的未知数（3）、列：根据相等关系列出分式方程（4）、解：求出所列方程的解（5）、验：首先检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验所求的解是否与实际符合（6）、答：写出答案．四、典例解析考点一、分式概念的运用例1．若分式||33x x --的值为零，则x 的值等于。

分式综合应用课前预习1. 在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母____________________．分式的乘除要__________，加减要___________，最后的结果要化成______________．2. 解分式方程时，根据__________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生_______．增根产生的原因是方程两边同乘了一个使分母_____的整式．增根是整式方程的根，但不是分式方程的根．3. 若分式方程61(1)(1)1m x x x -=+--有增根，则它的增根是 _____________．知识点睛1. 分式方程无解包含两种情况：①化为整式方程后，整式方程无解；②化为整式方程后，整式方程有解，但是增根．2. 化简求值：解有条件的分式化简求值题目，既要盯准目标，又要抓住条件；既要根据目标变换条件，又要根据条件来调整目标．常用的方法技巧有：①_____________，适用于分母中两因式之差相同；②_____________，适用于已知与所求中含有相同的部分；③_________，适用于已知条件为连比的形式；④_____________，适用于分式的取值分析等．精讲精练1. 下列关于x 的分式方程无解，求k 的值．（1）122x k x x +=++； （2）225111k x x x +=+--；（3）311x k x x --=-； （4）223242kx x x x +=--+．2. 化简下列分式．（1）111(1)(3)(3)(5)(2015)(2017)x x x x x x +++++++++；（2）222211113256712a a a a a a a a ++++++++++．3. 若210x y xy +=，则4224x xy y x xy y++=-+____________．4. 若118x y +=，则2322x xy y x xy y-+=++___________．5. 若m 为正实数，且1m m -=3，则221m m -=______________．6.若2310a a -+=，则241a a =+_____________． 7. 若345x y z ==，则222z y x xz yz xy ++++的值为__________． 8. 若438324x y z +++==，且12x y z ++=，则x z y z -=+________． 9. 阅读下面的材料，并解答问题． 分式282x x ++（0x ≥）的最大值是多少？ 解：282442(2)44222222x x x x x x x x ++++==+=++++++， 因为x ≥0，所以x +2的最小值是2，所以12x +的最大值是12，所以422x ++的最大值是4，即282x x ++（x ≥0）的最大值是4． 解答下列问题：（1）分式371x x +-（x ≥3）的最大值是_______________； （2）分式22251x x ++的最大值是_______________； （3）分式22251x x +--的最小值是_______________．10. 若分式2424x x x -+-的值为整数，则整数x 的值为__________．【参考答案】课前预习1. 因式分解，约分，通分，最简分式或整式2. 等式的基本性质，整式方程，检验，增根，为03. x =1知识点睛2．①裂项相消；②整体代入；③设参法；④分离整式法 精讲精练1. （1）k 的值为-2（2）k的值为-10或-4 （3）k的值为1或-2 （4）k的值为-4，6或12.（1）21008 20182017x x ++（2）24 4a a+3.7 24.13 105.3136.1 77.47 508.1 79.（1）8（2）5（3）-5 10.2，3，5，6。

分式相关专题总结及应用一、识性专题专题1 分式基本性质的应用【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题.例1 化简(1) 2610xy x ; (2) 21xy yx --； 解：(1)26233.10255xy x y yx x x x==(2)2(1)1(1)(1)1xy y y x yx x x x --==-+-+. 【解题策略】化简一个分式时，主要是根据分式的基本性质，把分式的分子与分母同时除以它们的公因式，当分式的分子或分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式.例2 计算2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪---+⎭⎭⎝⎝解：2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪---+⎭⎭⎝⎝3(2)122(2)2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)3186(2)(2)(2)(2)3.a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤++-=+÷-⎢⎥⎢⎥+-+-+-+-⎣⎦⎣⎦++=÷+-+-= 【解题策略】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.专题2 有关求分式值的问题【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给出其中字母的值,而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法.例3 已知13x x+=,求2421x x x -+的值.解: 因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母. 原式22221111113361()21x x x x====--++--. 例4 已知22230x xy y --=，且x y ≠-，求2x x y x y--的值.解: 因为22230x xy y --=， 所以()(23)0,x y x y +-= 所以0x y +=或230x y +=,又因为x y ≠-,所以0x y +≠,所以230x y -=,所以2,3y x = 所以223.2727323333x x x x x x x x x y x x yx x ====------- 例5 已知345,x y y z z x ==+++求()()()xyzx y y z x z +++的值. 解: 设3451,x y y z z x k===+++ 则3,4,5,x y k y z k z x k +=+=+= 解得x =2k ，y =k ，z =3k ，所以332361()()(3456010xyz k k k k x y y z x z k k k k ===+++）.例6 已知,,x z a c y z x y ==++且abc o ≠,求111a b c a b c +++++的值. 解: 由已知得1,y za x+= 所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y za x+++=,所以1a xa x y z=+++,同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 例7 已知1,x y zy z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值. 解: 因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++） 即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y ++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y +++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【解读策略】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.例8 已知,345x y z==求23x y x y z +-+的值. 分析 根据已知条件,可把,,x y z 用含有一个字母的代数式表示出来,再分别代入到所求式子中化简即可.解: 设,345x y zk ===则3,4,5x k y k z k ===. 所以34773324351010x y k k k x zy z k k k k ++===-+-⨯+⨯.【解题策略】 当代数式中的字母的比值是常数时，一般情况下都采用这种方法求分式的值.例9 已知,a b b c a c k c a b +++===求21kk +的值. 分析 只要求出k 的值就可以了,由已知条件可得,,,a b ck b c ak a c bk +=+=+=将这三个等式可加后得到2()()a b c k a b c ++=++,再通过讨论得到k 的值.解: 由已知到,,a b ck b c ak a c bk +=+=+=.三式相加得2()(),a b c k a b c ++=++即(2)()0k a b c -++=, 所以20k -=,或0a b c ++=. 即2k =,或0a b c ++=. 当0a b c ++=时,a b c +=-,此时1,a bc+=-即1k =-. 所以2k =,或1k =-. 当2k =时,2222;1215k k ==++ 当1k =-时,22111(1)12k k -==-+-+. 【解题策略】在得到2()(),a b c k a b c ++=++时，因为a b c ++可以等于零，所以两边不能同时除以a b c ++，否则分丢解，应进行整理，用分解因式来解决.例10 已知111,a b a b +=+求b a a b+的值. 分析 观察已知条件和所示的分式,可将它们分别进行整理,从中得到某种关系,然后求值.解: 由111,a b a b +=+得1,a b ab a b+=+ 所以2(),a b ab +=即22a b ab +=-.所以221b a a b aba b ab ab+-+===-. 例11 已知14x x+=,求下列各式的值. (1)221x x+; (2)2421x x x ++. 分析 观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.解: (1)因为14x x +=,所以2214x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.即221216x x ++=.所以22114x x+=. (2)4242222222111114115x x x x x x x x x x ++=++=++=+=, 所以2421115x x x =++.32430a -⨯+=专题3 与增根有关的问题 例12 如果方程11322xx x-+=--有增根, 那么增根是 . 分析 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母20x -=或20x -=可得2x =.所以增根是2x =.答案: 2x =例13 若关于x 的方程2403x x ax -+=-有增根, 则a 的值为 ( ) A.13 B. –11 C. 9 D.3分析 因为所给的关于x 的方程有增根,即有30x -=, 所以增根是3x =.而3x =一定是整式240x x a -+=的根, 将其代入得32430a -⨯+=,所以3x =.答案: D例14 a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 分析 因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.解: 方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x +=- 整理得(1)10a x -=-. 当a = 1 时,方程无解. 当1a ≠时,101x a =--.如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 .所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根. 专题4 利用分式方程解应用题【专题探究】 列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题.检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.例15 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元. 信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的45. 信息3 : 甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元. 解: 设甲班平均每人捐款x 元,则乙班平均每人捐款45x 元. 根据题意, 得300232245x x =+,解这个方程得5x =. 经体验,5x =是原方程解.例16 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元.（1）求第一批购进书包的单价是多少？（2）若商店销售这两批书包，每个售价都是120元，全部售出生，商店共盈利多少元？ 分析 设第一反批购进书包的单价为x 元，则第二批购进的书包的单价为(4)x +，第一批购进书包2000x 个，第二批购进书包63004x +个. 解: 设第一批购进书包的单价为x 元. 依题意,得2000630034x x ⨯=+, 整理,得20(4)21x x +=, 解得80x =.答: 第一批购进书包的单价为80元.解法1: (2)20006300(12080)(12084)1000270037008084⨯-+⨯-=+=(元).答: 商店共盈利3700元.解法2 : 2000(13)120(20006300)120008300370080⨯+⨯-+=-=(元)答: 商店共盈利3700元.二、规律方法专题专题5 分式运算的常用讨巧（1）顺序可加法.有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很烦琐.如果先把两个分式相加减,把所提结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法,当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法.对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n=-++进行裂项.(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法.有些分式的分子.、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.(6)倒数法求值（取倒数法）.(7)活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.例17 化简324 11241111x x x x x x+++-+++解: 原式=33 222422411242241111111 x x x x x x x x x x x x x x+-+++=++-+++-++2233322444343474482(1)2(1)444(1)(1)1114(1)4(1)8.(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x ++-=+=+-++-+++-==-+-例18 计算422a a -++. 解：原式24(2)(2)41222a a a a a a -+-=+=++++ 2(2)(2)422a a a a a +-+==++例19 计算3211x x x x +-+-. 解：原式3232(1)(1)1111x x x x x x x x x x -++=++-=---- 331111x x x x --==---.例20 计算1111.(1)(1)(2)(2)(3)(2005)(2006)a a a a a a a a +++++++++++解: 原式111111111122320052006a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++-⎪ ⎪⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111111111223200520061120062006(2006)(2006)2006.2006a a a a a a a a a a a a a a a a a a=---+-++-+++++++=-++=-++=+【解题策略】要注意裂项法解分式是，常用分式111(1)1n n n n =-++.例21 计算22221111.23243x x x x x x x x x +--+++++++解: 原式22221111322143x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭2222221111(1)(1)(2)(1)(1)(3)(2)(3)(1)(1)(2)(1)(3)22(1)(2)(1)(3)2(1)(3)2(2)(1)(2)(3)2(263).(1)(2)(3)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦+-+-+=+++++=++++++++=+++++=+++ 例22已知x =求2111.242x x x +-+-- 解: 原式222111(2)(2)122444x x x x x x x --+=-+=++---- 222413444x x x --=+=---.当x =原式2== 例23 计算22223652.3256x x x x x x x x ++++-++++ 解: 原式2244113256x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭2244325644(1)(2)(2)(3)4(3)4(1)(1)(2)(3)(2)(3)(1)816(1)(2)(3)8.(1)(3)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++++=++++++++=+++=++ 例24 已知271xx x =-+,求2421x x x ++的值.解: 因为271xx x =-+,所以0a ≠,所以2117x x x -+=,即187x x +=, 所以 242222111151149x x x x x x x ++⎛⎫=++=+-= ⎪⎝⎭ 所以 24215149x x x =++.【解题策略】 在求代数式的值时，有时所给条件或所求代数式不易化简变形，当把代数式的分子、分母颠倒后，变形就容易了，这样的问题通常采用倒数法（把分子、分母倒过来）求值.例25 已知2510x x -+=和0x ≠,求441x x+的值. 解: 由2510x x -+= 和0x ≠ ,提15x x+=, 所以24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--= 【解题策略】 若能对分式进行熟练的变形运用，可给解题带来极大的方便. 例26 已知,b c c a a ba b c +++==求()()()abc a b b c c a +++的值. 解: 设b c c a a b k a b c+++===, 所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+= 所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-= 即2k =或()0,a b c ++=当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-. 即所求代数式等于18或1-. 【解题策略】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解.例27 已知111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=求abc ab bc ac++的值. 解:因为 111111111,,,6915a b b c a c +=+=+= 各式可加得1111112,6915a b c ⎛⎫++⨯=++⎪⎝⎭ 所以11131180a b c ++=， 所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b÷===++++÷++ 例28 若4360,27,x y z x y z --=+-求232232522310x y z x y z ----的值. 分析 消元法首选方法，即把其中一个未知数视为常量.解：以x, y 为主元，将已知两等式化为所以原式222222592413293410z z z z z z⨯+⨯-==-⨯-⨯-.三、思想方法专题专题6 整体思想【专题解读】在进行分式运算时要重视括号的作用，即在计算时括号内的部分是一个整体，另外在分式的运算以及解方程时要注意符号的作用.例29 (08·宜滨) 请先将下列代数式化简，再选择一个你喜欢又使原式有意义和数代入求值.436,27,x y z x y z -=+=所以3,2,x y y z ==21111121a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭ 分析 先化简，再代入使10a -≠的数a 求值. 解原式22111(1)(1)111(1)1a a a a a a a a a --⎛⎫-÷=+=- ⎪--+-⎝⎭. 取10a =，则原式= 9 .【解题策略】将1化为11a a --进行减法运算，计算时要注意分子1a -是一个整体.。

问乙队单独完成这项工程需要多少天？
解:设乙队单独完成这项工程需要x天
1 20+( 1 + 1 ) 24=1
60
60 x
解得:x 90
经检验:x 90是原方程的解
x+3 原计划
由题意可得:
1800 1.51800 1x8003
实际上
x3
x
18x00
x
1800 1800
18
同步练习
2.某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯 净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍， 结果比原计划提前3天完成了生产任务．
2.求原计划每天生产多少吨纯净水？
分式方程的应用
宜宾市高县胜天中学
李诗富
1
教学目标：
1、了解用分式方程的数学模型反映现 实情境中的实际问题.
2、能用分式方程来解决现实情境中的 问题
重点：理解“实际问题”——分式方程模 型的过程。
难点：实际问题中的等量关系的建立。
关键：分析实际问题中的量与量之间的关
系，正确列出分式方程。
2
回顾与思考
解:设原计划每天铺设管道x米， 则实际上每天铺设（ 1+10%）x米
550 5 550
x
(1 10%) x
24
例4.工作总量看成单位 1 的类型
预备知识
1.一项工程，甲工程队单独完成需要10天，则每天完成多少?
每天完成整个工程的 1 ，即甲队的工效为 1
10
10
2.一项工程，甲工程队单独完成需要a天，则每天完成多少?
分析：设骑车同学速度为v千米/时
（提示：20分= 1 小时） 3