分式易错题(易错点)专题(学生版超全版)讲课稿

第10章《分式》考点+易错整理知识梳理重难点分类解析考点1 分式的概念及性质【考点解读】分式的概念主要内容包括分式的定义、分式有意义的条件、分式的值等;分式的性质包括分式的基本性质、通分和约分.中考中对该知识点要求较低，多以基础题的形式出现.例1 (2018·盐城)要使分式12x -有意义，则x 的取值范围是 . 分析:当分母20x -≠，即2x ≠时，分式12x -有意义.答案: 2x ≠【规律·技法】若分式有意义，则分母不等于零. 【反馈练习】 1.分式29x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 . 点拨:当分母不为0时，分式有意义.2.在代数式21331,,,2x xy a x y mπ+++中，分式的个数有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个点拨:根据分式是分母中含有字母的式子进行判断即可. 考点2 分式的运算 【考点解读】分式的运算包括分式的加减和分式的乘除，分式的基本性质是解决分式运算问题的关键，在中考中分式的运算多以计算题出现，属于简单题.例2 (2018·泰州)化简: 22169(2)11x x x x x -++-÷+-. 分析:本题考查分式的化简，先算括号内的减法，把除式分子和分母中多项式因式分解，同时把除法变为乘法再约分化简. 解答:原式= 222(1)1(1)(1)3(1)(1)1[]11(3)1(3)3x x x x x x x x x x x x x x +-+-++---⋅=⋅=++++++【规律·技法】整式与分式进行运算时，常把整式化为分式形式后再进行通分. 【反馈练习】3.化简：11(2)()a a a a++÷-.点拨:先算括号内加减法，再利用除法法则把除法运算变为乘法运算，并且因式分解分式中复杂的因式最后约分化为最简分式. 4. (2018·淮安)先化简，再求值: 212(1)11a a a -÷+-，其中3a =-.点拨:先把括号中的式子通分，再把除法转化为乘法进行化简，最后把a 的值代入化简后的式子计算求值. 考点3 分式方程【考点解读】分式方程的解法主要利用转化的数学思想，即把分式方程转化为整式方程，再进行求解，转化过程中可能会出现增根，故在解分式方程时一定要检验.中考中常以简单的计算题出现，遗忘检验是失分的主要原因. 例3 (2018·镇江)解方程:2121x x x =++-. 分析:两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后解答，检验后确定方程的解.解答:两边同时乘(2)(1)x x +-，得(1)2(2)(2)(1)x x x x x -=+++-.去括号，得22242x x x x x -=+++-.移项、合开同类项，得42x =-.系数化为1,得12x =-.检验:当12x =-时，(2)(1)0x x +-≠.故12x =-是原分式方程的解.【规律·技法】分式方程的解法主要用到转化的数学思想，通过方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程后再进行求解，检验是解分式方程必不可少的步骤. 【反馈练习】5.若关于x 的分式方程1244m xx x-=---有增根，则实数m 的值是 . 点拨:先去分母转化为整式方程，利用方程有增根，使分式方程的分母为0的x 的值，代入整式方程即可解决问题. 6.解方程:14555x x x-+=--.点拨:先去分母化为整式方程，再解方程，最后检验方程的根是否是增根. 考点4 列分式方程解决问题 【考点解读】列分式方程解决问题的关键是要找出问题的等量关系，根据等量关系列出方程从而解决问题，在解方程时要注意进行检验.例4 (2018·徐州)徐州至北京的高铁里程约为700 km ，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A 与“复兴号”高铁B 前往北京.已知A 车的平均速度比B 车的平均速度慢80 km/h, A 车的行驶时间比B 车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少? 分析:解题关键是找出解决问题的等量关系列出方程.设B 车行驶的时间为t h ，则A 车行驶的时间为1.4t h ，根据速度=路程÷时间得出关于t 的分式方程，解此分式方程并检验即可得出结论.解答:设B 车行驶的时间为t h ，则A 车行驶的时间为1.4t h.由题意，得700700801.4t t-=，解得t = 2.5.经检验，t = 2.5是所列方程的解.则1.4t = 3.5.故A 车行驶的时间为3.5h ,B 车行驶的时间为2.5h .【规律·技法】行程问题的等量关系主要体现在速度、时间和路程的关系，如速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，掌握基本的等量关系是解题的关键. 【反馈练习】7.某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原 来每天多50%，结果提前10天完成任务，原来每天制作多少件?点拨:本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意列出符合等量关系的分式方程并正确求解检验。

（易错题精选）初中数学分式知识点总复习含答案解析一、选择题1．斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克．将0.0000005用科学记数法表示为（ ）A ．5×107B ．5×10﹣7C ．0.5×10﹣6D ．5×10﹣6【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】2．化简21644m m m+--的结果是( ) A ．4m -B ．4m +C ．44m m +-D ．44m m -+ 【答案】B【解析】【分析】根据分式的加减运算法则计算，再化简为最简分式即可.【详解】 21644m m m+-- =2164m m -- =(4)(4)4m m m +-- =m+4.故选B.【点睛】 本题考查分式的加减.同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.熟练掌握运算法则是解题关键.3．在下列四个实数中，最大的数是( )A ．B ．0C ．12-D ．13【答案】C【解析】【分析】根据实数的大小比较法则即可得．【详解】1122-=则四个实数的大小关系为11023-<<< 因此，最大的数是12-故选：C ．【点睛】本题考查了实数的大小比较法则，掌握大小比较法则是解题关键．4．0000025=2.5×10﹣6，故选B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．数字0.00000005m ，用科学记数法表示为( )m ．A ．70.510-⨯B ．60.510-⨯C ．7510-⨯D ．8510-⨯ 【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】将0.00000005用科学记数法表示为8510-⨯．故选D ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．6．下列运算错误的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．()()422ab ab ab ÷-=C ．()222424ab a b -=D ．3322a a -= 【答案】B【解析】【分析】 直接运用同底数幂的乘法运算法则、单项式除以单项式运算法则、积的乘方与幂的乘方运算法则以及负整数指数幂的意义分别计算得出答案再进行判断即可．【详解】A ． 235a a a ⋅=，计算正确，不符合题意；B ． ()()4222ab ab a b ÷-=，原选项计算错误，符合题意；C ． ()222424ab a b -=，计算正确，不符合题意； D ． 3322a a-=，计算正确，不符合题意． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．如果2220m m +-=，那么代数式2442m m m m m +⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭的值是()n n A ．2-B ．1-C ．2D ．3【答案】C【解析】 分析：先把括号内通分，再把分子分解后约分得到原式22m m =+，然后利用2220m m +-=进行整体代入计算． 详解：原式2222244(2)(2)222m m m m m m m m m m m m m +++=⋅=⋅=+=+++， ∵2220m m +-=，∴222m m ，+= ∴原式=2.故选C.点睛：考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键.注意整体代入法的应用.8．若b a b -=14，则a b 的值为（ ） A ．5B ．15C ．3D ．13【答案】A因为b a b -=14， 所以4b=a-b ．，解得a=5b ， 所以a b ＝55b b=. 故选A.9．在等式[]209()a a a ⋅-⋅=中，“[]”内的代数式为（ ）A ．6aB ．()7a -C ．6a -D ．7a【答案】D【解析】【分析】 首先利用零指数幂性质将原式化简为[]29a a ⋅=，由此利用同底数幂的乘除法法则进一步进行分析即可得出答案.【详解】()01a -=Q ，则原式化简为：[]29a a ⋅=， ∴[]927a a -==，故选：D ．【点睛】本题主要考查了零指数幂的性质与同底数幂的乘除法运算，熟练掌握相关概念是解题关键.10．如果把2x x y -中的x 与y 都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值（ ） A ．不变 B ．扩大为原来的5倍 C ．扩大为原来的10倍 D ．缩小为原来的110【答案】A【解析】 由题意，得525x 5y x ⨯-=()525x y x ⨯-=2x x y- 故选：A.11．若115a b =，则a b a b -+的值是（ ） A ．25 B ．38 C ．35 D ．115【解析】【分析】直接根据已知用含x 的式子表示出两数，进而代入化简得出答案．【详解】 解：∵115a b = ∴设11a x =，5b x = ∴11531158a b x x a b x x --==++ 故选：B【点睛】 此类化简求值题目，涉及到的字母a 、b 利用第三个未知数x 设出，代入后得到关于x 的式子进行约分化简即可．将两个字母转化为一个字母是解题的关键．12．x 的取值范围是（ ） A ．x≥76 B ．x ＞76 C ．x≤76 D ． x ＜76【答案】B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】∵67x -是被开方数，∴670x -≥，又∵分母不能为零，∴670x ->，解得，x ＞76； 故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是熟练掌握其意义的条件.13．化简22a b b a +-的结果是（ ） A ．1a b - B ．1b a - C ．a ﹣b D ．b ﹣a【答案】B【解析】原式分子分母提取公因式变形后，约分即可得到结果．【详解】原式= a+b )()b a b a +-（= 1b a- 故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是约分，解题的关键是熟练的掌握约分.14．下列各数中最小的是（ ）A ．22-B ．C ．23-D 【答案】A【解析】【分析】先根据有理数的乘方、算术平方根、立方根、负整数指数幂进行计算，再比较数的大小，即可得出选项．【详解】解：224-=-，2139-=2=-， 14329-<-<-<Q ， ∴最小的数是4-，故选：A ．【点睛】本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．15．计算22222a b a b a b a b a b ab ⎛⎫+---⨯ ⎪-+⎝⎭的结果是 ( ) A ．1a b - B ．1a b + C ．a －b D ．a ＋b【答案】B【解析】【分析】先算小括号里的，再算乘法，约分化简即可．【详解】解： 2222a b a b a b a b a b ab⎛⎫+---⨯ ⎪-+⎝⎭=()()()2222a b a b a b a b a b ab +---⨯+-=1a b + 故选B ．本题考查分式的混合运算．16．分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据分式的基本性质进行变形即可.【详解】=.故选B.【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确利用分式的基本性质求出是解题关键．17．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁【答案】D【解析】【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【详解】∵22211x x x x x -÷--=2221·1x x x x x ---=() 2212·1xx xx x----=()()221·1x x xx x----=()2x x -- =2x x -， ∴出现错误是在乙和丁，故选D ．【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.18．00519=5.19×10-3．故选B ．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1||10a ≤<，n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．19．500米口径球面射电望远镜，简称FAST ，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为( )A ．-20.51910⨯B ．-35.1910⨯C ．-451.910⨯D ．-651910⨯【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，其中1≤a <10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】20．测得某人一根头发的直径约为0.000 071 5米，该数用科学记数法可表示为（ ） A ．0.715×104B ．0.715×10﹣4C ．7.15×105D ．7.15×10﹣5【答案】D【解析】。

分式运算误区警示分式是在整式运算、多项式因式分解、一元一次方程的解法基础上学习的。

分式的运算与整式的运算相比，运算步骤明显增多，符号更加复杂，解法更加灵活；因而更容易出现这样或那样的错误，为帮助同学们弄清分式运算中的错误所在，本文归纳小结几种错误原因如下，供同学们学习时参考．一、忽视隐含条件例1 当x=______时，分式145422-+-x x x 的值为零。

错解：当x 2－4＝0，即x=±2时，上述分式的值为零．评析：由于x=2时，分母x 2+5x －14=0，因此分式无意义．故正确答案为：x=－2．二、轻易约分 例2．a 为何值时，分式34222++--a a a a 无意义？ 错解：因为32)1)(3()1)(2(34222+-=+++-=++--a a a a a a a a a a ,由a+3=0得a ＝－3，∴当a=－3时分式没有意义．评析：分析：讨论分式有无意义及分式的值是否为零，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．误解的原因是轻易的约掉分子、分母中的公因式(a ＋1)，相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式，扩大了分式中字母的取值范围，即放宽了分式成立的条件。

正确答案应为：a ＝－3或a=－1．三、符号上的错误：例3 化简mm -+-21442的结果是（ ） A 、21+-m B 、21+m C 、462-+m m D 、21+-m 错解：原式=46)2)(2()2(421)2)(2(42-+=++++=-+-+m m m m m m m m ，选C 评析：错误的原因是由于把(2-m)变形为（m-2）时没有改变分式的符号。

正解应为214)2()2)(2()2(421)2)(2(42+-=---=+++-=---+m m m m m m m m m ，故应选A 。

四、通分时误去分母例4．计算：1123----x x x x 错解：原式=1)1()1)(1()1(1332323=--=++--=----x x x x x x x x x x 评析：错解把分式的化简与解方程去分母混同一体，分式化简的每一步变形的依据都是依靠分式的基本性质，通分要保留分母，而不是去分母；正解应为：原式=111)1(33-=---x x x x 五、违背运算顺序例5．计算：2)(1222223322a b b ab a b ab a b a b a -⨯+-+-÷+- 错解：原式=)()(1)())(())((2222222222b ab a bab a b a b a b ab a b a b ab a b a b a b a +-⨯+--=-⨯+--÷+-+-+ =b a -.评析：乘除法是同级运算，谁在前先作谁，而不应违反运算顺序。

第06讲分式易错点梳理易错点梳理易错点01分式值为0时，忽略分母不为0的条件分式的值为0，必须同时满足两个条件，即分子的值为0，分母不等于0，两者缺一不可。

易错点02在分式约分过程中出现乱约分或约分不彻底的错误分式的约分是对分式的分子与分母整体进行的，分子或分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约为要彻底，使分子、分母没有公因式。

易错点03分式运算时忽视分数线的括号作用在分式的运算中遇到减法，并且减式的分子是一个多项式，当分子相减时必须给分子加上括号，因为分数线有括号的作用。

易错点04解分式方程去分母时出现漏乘现象解分式方程去分母时，方程两边的每一部分都要乘以最简公分母，当单独一个整数作为一项时，容易出现漏乘现象。

易错点05解分式方程忘记检验检验所得的解是否为增根是解分式方程的必要步骤，不可忽略。

例题分析考向01分式有意义的条件和分式值为0的条件例题1：（2021·广西贵港·中考真题）若分式15x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ≠－5B ．x ≠0C ．x ≠5D ．x ＞－5【答案】A【思路分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．例题2：（2021·广西桂林·中考真题）若分式23x x -+的值等于0，则x 的值是（）A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣3【答案】A【思路分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解．【解析】由题意可得：20x -=且30x +≠，解得2,3x x =≠-．故选A ．【点拨】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．考向02分式的基本性质例题3：（2021·河北安次·二模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（）A ．3322m m =--B ．55n nm m -=-C ．3377m mn n-=--D ．3344m mn n=--【答案】C【思路分析】根据分式的基本性质进行判断即可．【解析】解：A 、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；B 、改变分式分子和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；C 、改变分式分母的符号，其分式的值变为原来的相反数，此选项错误，符合题意；D 、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意，故选：C ．【点拨】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，熟记分式符号变化规律是解答的关键．例题4：（2021·广东·广州市第十六中学二模）下列计算正确的是（）A ．()22239pq p q -=-B ．22a ab b-=-C 0=D ．933b b b ÷=【答案】C【思路分析】A 、根据积的乘方运算法则判断；B 、根据分式的基本性质判断；C 、根据二次根式的性质判断；D 、根据同底数幂的除法法则判断．【解析】解：A 、222(3)9pq p q -=，故本选项不合题意；B 、当a b ¹时，22a ab b-≠-，故本选项不合题意；C 、由题意可得0a =0=，故本选项符合题意；D 、936b b b ÷=，故本选项不合题意；故选：C ．考向03分式的运算例题5：（2021·山东济南·中考真题）计算22111m m m m ----的结果是（）A ．1m +B ．1m -C ．2m -D ．2m --【答案】B【思路分析】根据分式的减法法则可直接进行求解．【解析】解：()2221212111111m m m m m m m m m m ---+-===-----；故选B ．【点拨】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．例题6：（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列计算正确的是（）A ．11b aa b ab--=B ．222323y x y x+=C ．()326339a b a b -=-D ．22(2)4x x -=-【答案】A【思路分析】根据分式的计算法则，积的乘方计算法则和完全平方公式对每个选项进行计算即可．【解析】A ：11b a b a a b ab ab ab --=-=，符合题意．B ：22222222929323333y y x y x x y x x x x++=+=≠，不符合题意．C ：()()()()333322636333279a b a b a b a b -=-=-≠-，不符合题意．D ：222(2)444x x x x -=-+≠-，不符合题意．故选：A ．【点拨】本题考查分式的计算法则，积的乘方计算法则和多项式的乘法法则，熟练掌握这些运算法则是解题关键．考向04分式方程的概念例题7：（2021·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程2m xx+--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（）A ．m ＝﹣2B ．m ≠﹣2C ．m ＝2D ．m ≠2【答案】B【思路分析】解分式方程得：63m x x +=-即46x m =-，由题意可知2x ≠，即可得到68m -≠.【解析】解：302m xx+-=-方程两边同时乘以2x -得：630m x x +-+=，∴46x m =-，∴68m -≠，∴2m ≠-，故选B.【点拨】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.例题8：（2021·广西百色·中考真题）方程1x ＝233x -的解是（）．A ．x ＝﹣2B ．x ＝﹣1C ．x ＝1D ．x ＝3【答案】D【思路分析】根据解分式方程的方法求解，即可得到答案．【解析】∵1x ＝233x -∴332x x -=∴3x =经检验，当3x =时，x 与33x -均不等于0∴方程1x ＝233x -的解是：x ＝3故选：D ．【点拨】本题考查了解分式方程的知识点；解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，从而完成求解．考向05分式方程的应用例题9：（2021·四川内江·中考真题）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙进价（元/件）m10m -售价（元/件）260180若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当6070a <<时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当70a =时，所有方案获利都一样；当7080a <<时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【思路分析】（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；（2）根据题意列不等式组解答；（3）设总利润为w ，表示出w 与x 的函数解析式，再分三种情况：①当6070a <<时，②当70a =时，③当7080a <<时，分别求出利润的最大值即可得到答案．【解析】解：（1）依题意得：3000270010m m =-，整理，得：3000(10)2700m m -=，解得：100m =，经检验，100m =是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）设购进甲种衬衫x 件，乙种衬衫(300)x -件，根据题意得：(260100)(18090)(300)34000(260100)(18090)(300)34700x x x x -+--⎧⎨-+--⎩，解得：100110x，x 为整数，110100111-+=，答：共有11种进货方案；（3）设总利润为w ，则(260100)(18090)(300)(70)27000(100110)w a x x a x x =--+--=-+ ，①当6070a <<时，700a ->，w 随x 的增大而增大，∴当110x =时，w 最大，此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；②当70a =时，700a -=，27000w =，（2）中所有方案获利都一样；③当7080a <<时，700a -<，w 随x 的增大而减小，综上：当6070a <<时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当70a =时，（2）中所有方案获利都一样；当7080a <<时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【点拨】此题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意熟练应用各知识点解决问题是解题的关键．例题10：（2021·山东济南·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子【思路分析】（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．【解析】解：（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，由题意得：1200800502x x+=，解得：4x =，经检验4x =是原方程的解，答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，由（1）及题意得：()842001150m m +-≤，解得：87.5m ≤，∵m 为正整数，∴m 的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．【点拨】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．微练习一、单选题1．（2021·重庆八中二模）函数y ＝3xx-中自变量x 的取值范围是（）A ．x ≠﹣3B ．x ≠3C ．x ≤3D ．x ≤﹣3【答案】B【分析】解：由题意，得3﹣x ≠0，解得x ≠3．故选：B ．2．（2021·江苏·南京市金陵汇文学校一模）PM 2.5是指大气中直径小于或等0.0000025m 的颗粒物，将数据0.0000025科学记数法表示为（）A ．72510-⨯B ．60.2510-⨯C ．62.510-⨯D ．52.510-⨯【答案】C【分析】解：0.0000025=2.5×10-6，故选：C ．3．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）化简2()b b a a a -÷-的结果是（）A ．－a －1B ．a －1C ．－a ＋1D ．－ab ＋b【答案】B【分析】原式=(1)(1)1(1)b b b a a a a a a a a b -⎛⎫⎛⎫-÷=-⨯--=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故选B ．4．（2021·四川省成都市七中育才学校一模）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；方程4102x -=+的根为x=2，故②正确；方程11=的最简公分母为2x(x-2)，故③错误；5．（2021·重庆八中二模）若数a使关于x的不等式组3124(2)53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程31222y ay y++--＝1有正整数解，则满足条件的a的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【分析】解：解不等式组3124(2) 53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩，解得：435xax≥-⎧⎪+⎨<⎪⎩，∵不等式组3124(2)53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩有且仅有4个整数解，∴﹣1＜35a+≤0，∴﹣8＜a≤﹣3．解分式方程31222y ay y++--＝1，得y＝102a+，∵y＝102a+≠2为整数，∴a≠﹣6，∴所有满足条件的只有﹣4，故选：B．6．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）若关于x的分式方程232x bx-=-的解是非负数，则b的取值范围是（）A．4b≠B．b≤6且b≠4C．b＜6且b≠4D．b＜6【答案】B【分析】解：去分母得，2x－b＝3x－6，∴x＝6－b，∵x≥0，∴6－b≥0，解得，b≤6，又∵x－2≠0，∴x≠2，即6－b≠2，b≠4，则b的取值范围是b≤6且b≠4，故选：B．7．（2021·甘肃庆阳·二模）关于x的分式方程32x a x=-的解为2x=，则常数a的值为（）A．-1B．1C．2D．5【答案】A8．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若解关于x的方程522x mx x-+--＝1时产生增根，那么常数m的值为（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【答案】D【分析】解：方程两边都乘以x﹣2，得：x﹣5﹣m＝x﹣2，∵方程有增根，∴x＝2，将x＝2代入x﹣5﹣m ＝x﹣2，得：m＝﹣3，故选D．9．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（）A．18018032x x-=+B．18018032x x-=+C．18018032x x-=-D．18018032x x-=-【答案】D【分析】解：设实际参加游览的同学共x人，根据题意得：18018032x x-=-，故选：D．10．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x小时，据题意可列出方程为（）A．1.2 1.216x+=B．1.2 1.213x+=C．1.2 1.2162x+=D．1.2 1.2132x+=【答案】C【分析】解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半，∴甲队的工作效率为16，设乙队单独完成此项工程需要x小时，∴甲队的工作效率为1x，由题意可得，1.2 1.2162x+=，故选：C．11．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（）A．10406x x=-B．10406x x=+【分析】解:设第二次分钱的人数为x 人,则第一次分钱的人数为(6)x -人,依据题意:10406x x=-,故选A ．12．（2021·内蒙古东胜·二模）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x 万份，据题意可列方程（）A ．400500510x x =-+B ．400500510x x =+-C ．400500510x x =+-D ．400500510x x=--【答案】B【分析】解：设更新技术后每天生产x 万份疫苗，则更新技术前每天生产（x -10）万份疫苗，依题意得，400500=510x x+-，故选：B ．二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若分式16x x --+有意义，则x 的取值范围是_________．【答案】6x ≠-【分析】解：∵分式16x x --+有意义，∴60x +¹，解得：-6x ≠，故答案为：x ≠-6．14．（2021·北京·101中学三模）242x x --分式的值等于0，则x ＝_______．【答案】-2【分析】解：根据题意，得x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2）＝0且x ﹣2≠0．所以x +2＝0．所以x ＝﹣2．故答案是：﹣2．15．（2021·广东实验中学三模）代数式||11x x +-有意义时，x 应满足的条件为______．【答案】x ≠1【分析】解：根据题意得：x −1≠0，解得：x ≠1．故答案为：x ≠116．（2021·福建·模拟预测）化简1(1)(11m m +-+的结果是_____．【答案】m【分析】1(1)(1)1m m +-+11(1)()11m m m m +=+-++(1)1mm m =++m =．故答案为：m ．17．（2021·湖北青山·一模）计算22168x -+的结果是______．【分析】解：221688164x x x x-+-+-()()()244844x x x x +-=---4844x x x +=---44x x -=-1=．18．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校一模）分式方程2152x x =+-的解是______．【答案】9x =【分析】解：2152x x =+-，方程两边同乘(5)(2)x x +-，得2(2)5x x -=+，去括号，得245x x -=+，移项得：9x =，经检验，9x =是原方程的解，故答案为：9x =．19．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）已知关于x 的方程2222x m m x x +=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】解：①当方程有增根时，方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =，故m 的值是1，②当方程没有增根时，方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221m x m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.20．（2021·广东·江门市第二中学二模）方程511x x x =+-的解是______．【答案】3【分析】解：511x x x =+-，两边同乘(x +1)(x -1)得：x (x -1)=5(x +1)，解整式方程得，x=3经检验，x=3是原分式方程的解．故答案为：x=3三、解答题21．（2021·安徽·三模）解方程：24111x x x -=--．【答案】x ＝3【分析】解：方程的两边同乘x −1，得：()214x x --=，解这个方程，得：x ＝3，检验，把x ＝3代入x −1＝3－1＝2≠0，∴原方程的解是x ＝3．22．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）解分式方程：11222x x x -=---．【答案】无解知购进一次性医用外科口罩的单价比N 95口罩的单价少8元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N 95口罩的单价各是多少元?（2）该药店计划再次购进两种口罩共1800只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次外科口罩多少只?【答案】(1)一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元；(2)至少购进一次性医用外科口罩1000只．【分析】解：(1)设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则N95口罩的单价是(x +8)元，由题意可知：2000100008x x =+，解得：2x =，经检验，2x =是原方程的解，x +8=2+8=10，故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元；(2)设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有2y +10(1800-y )≤10000，解得y ≥1000，故至少购进一次性医用外科口罩1000只．24．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）为提升青少年的身体素质，我市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的45．（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？（2）学校计划购买篮球、足球共60个，总费用不多于5200元，并且要求篮球数量不能低于15个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？【答案】（1）篮球每个100元，足球每个80元；（2）当篮球购买15个，足球购买45个时，费用最少，最少为5100元．【分析】解：（1）设篮球每个x 元，足球每个45x 元，由题意得：800800245x x =-，解得：x =100，经检验：x =100是原方程的解且符合题意，则足球的单价为：45x ＝45×100＝80（元），答：篮球每个100元，足球每个80元；（2）足球m 个，总费用为w 元，则篮球（60-m ）个，由题意得，w =80m +100（60-m ）=-20m +6000，再由题意可得，20600052006015m m -+≤⎧⎨-≥⎩，解得，40≤m ≤45，由w =-20m +6000，∵-20＜0，∴w 随m 的增大而减小，。