高一数学必修1第三章测试题

专题6：人教A 版第三章函数的应用综合测试题（解析版）一、单选题1．设()ln 2f x x x =+-，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)1．B【分析】根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.【详解】 ()ln 2f x x x =+-在(0,)+∞单调递增，且(1)10,(2)ln20f f =-<=>，根据零点存在性定理，得()f x 存在唯一的零点在区间(1,2)上.故选：B【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题. 2．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )A ．B ．C ．D ． 2．B【解析】依题设可知，蜡烛高度h 与燃烧时间t 之间构成一次函数关系，又∵函数图象必过点(0,20)、(4,0)两点，且该图象应为一条线段．∴选B.3．利用二分法求方程3log 5x x =-的近似解，可以取得一个区间（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．D【分析】根据零点存在定理判断．【详解】设3()log 5f x x x =-+，则函数单调递增由于3(3)log 35310f =-+=-<，33(4)log 454log 410f =-+=->，∴()f x 在(3,4)上有零点．故选：D.【点睛】本题考查方程的解与函数零点问题．掌握零点存在定理是解题关键．4．若函数()27x f x x =+-的零点所在的区间为(,1)()k k k +∈Z ,则k =( )A ．3B ．4C ．1D ．24．D【分析】结合零点存在性定理和函数()f x 的单调性，求得k 的值.【详解】 ∵(2)4270,(3)8370,f f =+-<⎧⎨=+->⎩且()f x 单调递增,∴()f x 的零点所在的区间为（2,3）,∴2k =. 故选：D【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，考查函数的单调性，属于基础题.5．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 45．C【解析】 观察图象可知：点x 3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x 3不能用二分法求，故选C.6．函数21()f x x x =+，(0,)x ∈+∞的零点个数是（ ）. A ．0B ．1C ．2D ．36．A【分析】 根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解.【详解】由于20x >，10x>， 因此不存在(0,)x ∈+∞使得21()0f x x x=+=， 因此函数没有零点.故选：A .【点睛】本题考查函数零点的求解，属简单题. 7．用二分法求函数()f x 的一个正实数零点时，经计算：()()0.640,0.720f f <>，()0.680f <，()0.740f >，则函数()f x 的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为A ．0.64B ．0.8C ．0.7D ．0.67．C【分析】由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（0.68，0.72），从而得出结论．【详解】因为()0.680f <，()0.720f >，即()()0.680.720f f ⋅<，所以函数()f x 的零点在区间()0.68,0.72内．又0.720.680.040.1-=<，观察各选项可知函数()f x 的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为0.7．故选C ．【点睛】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．8．已知函数()221,11,1x x f x log x x ⎧-=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为（ ）A ．1,02B ．2-，0C ．12D ．08．D【分析】函数()f x 的零点，即令()0f x =分段求解即可.【详解】函数221,1()1,1x x f x log x x ⎧-=⎨+>⎩当1x 时，令()210x f x =-=，解得0x =当1x >时，令2()1log 0f x x =+=，解得12x =（舍去） 综上函数的零点为0故选：D ．【点睛】本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题.9．设f （x ）=3x +3x –8，用二分法求方程3x +3x –8在x ∈（1，2）内方程的近似解，则方程的根落在区间（参考数据31.25≈3.95）A ．（1，1.25）B ．（1.25，1.5）C ．（1.5，2）D ．不能确定9．B【分析】显然函数单调递增，然后利用二分法求（1，2）的中间值f （1.5）0>，再将范围限制（1，1.5），再利用二分法继续下次知道和选项逼近即可【详解】显然函数单调递增，f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）=31.5+3×1.5–8=323 4.58+-=4.58->4.580->，f （1.25）=31.25+3×1.25–8<0，∴f （1.25）•f （1.5）<0，∴方程的根落在区间（1.25，1.5），故选B ．【点睛】利用二分法判断函数零点的区间，首先确保函数在所给区间内连续，然后利用二分法算出所给区间的中间值，进而一步步将区间范围缩小10．已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克（ ） A ．5730B ．11460C ．17190D ．22920 10．B【分析】根据由题意可知再经过2个半衰期可消耗到0.125克.【详解】由题意可得：碳14的半衰期为5730年，则再过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克．故选：B.【点睛】本题考查指数函数的应用，属于基础题.11．已知二次函数22()(5)6(0)f x ax a x a a =+-+-≠的图象与x 轴交于()1,0M x ，()2,0N x 两点，且12112x x -<<<<，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,1+B ．()1C ．()1++∞D ．(,2-∞- 11．B【分析】讨论0a >、0a <，根据零点的范围，结合二次函数的性质列不等式组求解即可得a 的取值范围.【详解】若0a >，则(1)0(1)0(2)0f f f ->⎧⎪<⎨⎪>⎩，即2221021106160a a a a a ⎧->⎪+-<⎨⎪+->⎩，解得21a <<；若0a <，则(1)0(1)0(2)0f f f -<⎧⎪>⎨⎪<⎩，即2221021106160a a a a a ⎧-<⎪+->⎨⎪+-<⎩，不等式组无解.故a的取值范围是()1.故选：B 12．已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()2y f x f x m =+--()m R ∈恰有2个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．(),2-∞12．A【分析】求得函数()()2y f x f x =+-的解析式，画出()()2y f x f x =+-的图象，由此求得m 的取值范围.【详解】 由()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩得()()()2,02,0x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨<⎪⎩， 所以()()()()()222,022,0234,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩，所以函数()()2y f x f x m =+--恰有2个零点等价于函数y m =与函数()()2y f x f x =+-的图象有2个公共点，由图象可知2m >.故选：A二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y a =与函数2y x a a =-+-的图象有且只有一个公共点，则实数a 的值为______.13．1【分析】在同一坐标系中作出函数y a =与函数2y x a a=-+-的图象，根据只有一个公共点，利用数形结合法求解.【详解】在同一坐标系中作出函数y a =与函数2y x a a =-+-的图象，如图所示：因为只有一个公共点，所以2a a -=，解得1a =.故答案为：114．已知函数()1,2,x x x a f x x a+≤⎧=⎨>⎩，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是__________．14．01a <<【分析】根据1y x =+与2xy =交于(0,1)和(1,2)点，即可求解结论．【详解】解：因为存在两个不相等的实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，故函数不是单调函数，又因为1y x =+与2x y =交于(0,1)和(1,2)点，故须01a <<．故答案为：(0,1)．15．方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围为_________. 15．()3,1-【分析】 方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点，作出函数图象可得实数m 的取值范围．【详解】 方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点 作出22243,04343,0x x x y x x x x x ⎧-+>=-+=⎨++≤⎩的函数图象如图所示：当2x =时，1y =-；0x =时，3y =，∴13m -<-<，()3,1m ∈-故答案为：()3,1-16．已知1x ，2x 是函数()()2221f x x k x k =-++的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k 的取值范围是___________.16．02k <<【分析】根据二次函数的零点分布情况，得到()10f >，求解对应不等式，即可得出结果.【详解】因为1x ，2x 是函数()()2221f x x k x k =-++的两个零点且一个大于1，一个小于1， 二次函数()()2221f x x k x k =-++开口向上， 所以只需()()2211012f k k -++<=，即220k k -<， 解得02k <<.故答案为：02k <<.三、解答题17．已知函数32()2()3x f x x ax a R =--∈．（1）若()y f x =在()3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）若12a =-，设()ln(1)()g x x f x =-+，且方程3(1)(1)3xb g x x --=+有实根，求实数b 的最大值．17．（1）32a ≤（2）0 【解析】试题分析：（1）求导()'2220fx x x a =--≥在区间（3，+∞）上恒成立，从而转化为最值问题求解即可；（2）化简方程可得2ln b x x x x+-=，从而化为2(ln )b x x x x =+-在（0，+∞）上有解，从而讨论函数2()(ln )p x x x x x =+-的值域即可试题解析：（1）∵()f x 在区间()3,+∞上为增函数， ∴2'()220f x x x a =--≥即222a x x ≤-在区间()3,+∞上恒成立． ∵在()3,+∞内223x x -< ∴23a ≤即32a ≤（2）方程3(1)(1)3x b g x x --=+可化为2ln b x x x x +-=． ∴条件转化为2(ln )b x x x x =+-在()0,+∞上有解， 令2()(ln )p x x x x x =+-，∴即求函数2()(ln )p x x x x x =+-在()0,+∞上的值域． 令2()ln h x x x x =+-， 则1(21)(1)'()12x x h x x x x +-=+-=，∴当01x <<时'()0h x >，从而()h x 在()0,1上为增函数， 当1x >时'()0h x <，从而()h x 在()1,+∞上为减函数， 因此()(1)0h x h ≤=．又∵0x >，故()()0p x x h x =⋅≤，∴0b ≤因此当1x =时，b 取得最大值0．考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性18．已知函数()lg f x kx =，()()lg 1g x x =+．（Ⅰ）当=1k 时，求函数()()y f x g x =+的单调区间；（Ⅱ）若方程()2()f x g x =仅有一个实根，求实数k 的取值集合．18．（1）单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（2）0k <或4k =；【解析】试题分析：（1）由题可知，将=1k 代入，可得()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+，由于真数x （x+1）>0,可知x （x+1）在定义域上始终递增，外层对数函数始终递增，即单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（2）由题可知，由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+，根据真数大于0，真数相等，可列出不等式组，对k 进行讨论，即可得出k 的取值； 试题解析：（Ⅰ）当=1k 时，()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+ （其中0x >），由复合函数单调性可知内层函数x （x+1）在定义域上始终递增，外层对数函数始终递增，所以，()()y f x g x =+的单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（Ⅱ）由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+．该方程可化为不等式组 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩（1）若0k >时，则0x >，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(0,)+∞上有根，解得4k =；（2）若0k <时，则10x -<<，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(1,0)-上有根，解得0k <．综上可得0k <或4k =为所求．考点：①复合函数的单调性②对数函数单调性的应用19．已知函数221()11x m f x x x x x -=----- (Ⅰ)若函数()f x 无零点，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)若函数()f x 在(2,2)-有且仅有一个零点，求实数m 的取值范围．19．(Ⅰ) 47|{<m m 或2}m =；(Ⅱ)7{|4m m =或48}m ≤<。

专题5：人教A 版第三章函数的应用基础测试题（解析版）一、单选题1．已知函数()2f x ax bx c =++满足()20f <且()30f >，则()f x 在()2,3上的零点（ ）． A ．至多有一个 B ．有1个或2个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有1．C 【分析】由零点存在定理可判定出结果. 【详解】由题意知：()f x 在R 上至多有两个零点.由零点存在定理知：若()()230f f ⋅<，则()f x 在()2,3上有且仅有一个零点. 故选：C .2．函数()ln 4f x x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,52．B 【分析】计算区间端点处的函数值，根据零点存在定理判断． 【详解】(1)30f =-<，(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->，∴零点在区间(2,3)上． 故选：B ．3．函数()6ln f x x x =-+的零点所在区间应是（ ） A ．()2,3 B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,63．C 【分析】分别计算()2f ，()3f ，()4f ，()5f ，()6f ，根据零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】因为()6ln f x x x =-+，所以()226ln 24ln 20f =-+=-+<，()336ln33ln30f =-+=-+<，()446ln 422ln 20f =-+=-+<， ()556ln51ln50f =-+=-+>，()666ln6ln60f =-+=>，由零点存在性定理，可得函数()6ln f x x x =-+的零点所在区间应是()4,5， 即C 正确，ABD 错误. 故选：C.4．下列函数中，没有零点的是（ ）A ．2()log 7f x x =-B ．()1f xC ．()1f x x= D ．()2f x x x =+4．C 【分析】分别解函数对应的方程，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，由2()log 70f x x =-=可得72x =，即函数2()log 7f x x =-有零点；B 选项，由()10f x =得1x =，即函数()1f x 有零点；C 选项，由()10f x x ==解得，x 不存在，即函数()1f x x=没有零点； D 选项，由()20f x x x =+=解得1x =-或0，即函数()2f x x x =+有零点. 故选：C.5．函数()228f x x x =--零点是（ ）A ．2和4-B ．2-和4C ．()2,0和()4,0-D ．()2,0-和()4,05．B 【分析】解方程()0f x =，即可得出函数()f x 的零点. 【详解】解方程()0f x =，即2280x x --=，解得2x =-或4x =.因此，函数()228f x x x =--的零点是2-和4.故选：B.6．为了求函数()237x f x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如表所示：x1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 ()f x－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115则方程237x x +=的近似解（精确到0.1）可取为（ ） A ．1.2 B ．1.3C ．1.4D ．1.56．C 【分析】根据二分法结合零点存在定理求解. 【详解】因为(1.375)0,(1.4375)0f f <>， 所以方程的解在区间()1.375,1.4375内， 又精确到0.1， 所以可取1.4 故选：C7．把函数2()log f x x =的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的零点是（ ）A ．3B ．5C ．34-D ．547．A 【分析】根据平移变换得到()g x ，令()g x 0=，解方程可得结果. 【详解】依题意得2()log (1)2g x x =+-，由()0g x =得2log (1)2x +=，得14x +=，得3x =. 故选：A【点睛】关键点点睛：掌握函数零点的概念是本题解题关键.8．“道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家，可恨法身无坐位，当时行动念头差，”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是（ ）A ．10y x =，0x >B ．110y x =，0x > C ．10y x =+，0x > D ．=9y x +，0x >8．A 【分析】根据一丈等于十尺，即可得出结果. 【详解】因为一丈等于十尺，所以“道高一尺魔高一丈”更适合用10y x =，0x >来表示； 故选：A.9．若32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A ．1.2 B ．1.3C ．1.41D ．1.59．C 【分析】利用零点存在性定理，判断根的较小区间，即可求得近似解. 【详解】因为(1.438)0.1650f =>，(1.4065)0.0520f =-<，(1.438)(1.4065)0f f ⨯<，所以方程的近似根在()1.4065,1.438，则近似根为1.41 故选：C10．已知函数()351f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,210．C 【分析】计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】()351f x x x =-+，()32252130f ∴-=-+⨯+=>，()31151150f -=-+⨯+=>，()010f => ()31151130f =-⨯+=-<，()32252110f =-⨯+=-<，根据零点存在性定理可得一定包含()f x 零点的区间是()0,1. 故选：C.11．已知函数()25xf x ex --=-的零点位于区间(),1m m +，m ∈Z 上，则42log m m +=（ ）A ．14-B ．14C ．12D ．3411．D 【分析】利用零点存在定理求得整数m 的值，进而可求得42log mm +的值. 【详解】易知函数()f x 单调递减，又因为()2210f e -=->，()130f e -=-<，由零点存在定理可知，函数()f x 的零点在区间()2,1--内，则2m =-. 所以2441132log 2log 2424mm -+=+=+=． 故选：D. 【点睛】本题考查利用零点存在定理求参数值，同时也考查指数式与对数式的计算，考查计算能力，属于基础题.12．我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系.声音的强度常用I (单位：瓦/米2，即2/m W )表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L (单位：分贝)表示，它们满足换算公式：010lgI L I =(0L ≥，其中1220110/m I W -=⨯是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应变为原来的（ ） A ．15B ．1100C ．110D ．12012．C 【分析】设该小区内公共场所声音的强度水平为1L ，2L ，相应声音的强度为1I ，2I ，代入可得选项. 【详解】设该小区内公共场所声音的强度水平为1L ，2L ，相应声音的强度为1I ，2I ， 由题意，得1210L L -=，即120010lg 10lg 10I II I -=， 解得21110I I =. 故选：C. 【点睛】本题考查函数模型的应用，关键在于理解生活中的数据在数学应用中的表达，属于基础题.二、填空题13．函数()22f x x x =+-的零点为______________.13．2-和1 【分析】解方程220x x +-=，即可得出函数()y f x =的零点. 【详解】令()0f x =，得220x x +-=，解得1x =或2x =-. 因此，函数()22f x x x =+-的零点为2-和1.故答案为：2-和1.【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.14．若二元一次方程37x y -=，231x y +=，9y kx =-有公共解，则实数k =_____________. 14．4 【分析】由题意建立关于x ，y 的方程组，求得x ，y 的值，再代入9y kx =-中，求得k 的值． 【详解】解37231x y x y -=⎧⎨+=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，代入9y kx =-得129k -=-， 解得4k =． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 15．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数25log 10Ov =，单位是m/s ，其中O 表示燕子的耗氧量.则当燕子静止时的耗氧量是______个单位. 15．10 【分析】当燕子静止时，速度为0，由此列方程，解方程求得O 的值. 【详解】若燕子静止，则0v =，即25log 0,11010O O==，所以10O =. 故填：10. 【点睛】本小题主要考查阅读理解能力，考查已知函数值以及函数解析式求自变量的值，属于基础题.16．已知函数3,0()1,0x x x f x x a x x ⎧+≤⎪=⎨-->⎪⎩有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为_______． 16．()2,+∞ 【分析】当0x ≤时，即()f x 恒有1个零点；当0x >时，得到相切时a 的值，即可求解。

函数的性质测试题一、选择题：1.在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋1 2.函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253.函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5) 4.函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 21，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5.函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内 （ ）A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根 6.若q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ，则)1(f 的值是 （ ）A 5B 5-C 6D 6-7.若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=，且Φ≠B A ，则实数a 的集合（ ）A }2|{<a aB }1|{≥a aC }1|{>a aD }21|{≤≤a a8.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．若 函 数()()2212f x x a x =+-+在区间 (]4,∞-上是减 函 数，则 实 数a 的 取值范 围 （ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311. 函数c x x y ++=42，则（ ）A )2()1(-<<f c fB )2()1(->>f c fC )2()1(->>f f cD )1()2(f f c <-<12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，且在区间[0,4]上是减函数则（ ） A ．(10)(13)(15)f f f << B ．(13)(10)(15)f f f << C ．(15)(10)(13)f f f << D ．(15)(13)(10)f f f <<二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数f （x ）＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f （1）＝ 。

第三章综合测试考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( C )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．R[解析]要使函数有定义，则⎩⎨⎧1＋x ≥0x ≠0，解得x ≥－1且x ≠0，故选C ．2．下列函数中，与函数y ＝x (x ≥0)有相同图象的一个是( B ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝(x )2 C ．y ＝3x 3D ．y ＝x 2x[解析]A 、C 、D 选项中函数的定义域与题目中的定义域不同，故不是同一个函数． 3．(2021·某某某某高一期中测试)已知函数y ＝f (x )的部分x 与y 的对应关系如下表：则f [f (4)]A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．3[解析]由图表可知，f (4)＝－3，∴f [f (4)]＝f (－3)＝3.4．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，12)，则函数g (x )＝(x －2)f (x )在区间[12，1]上的最小值是( C )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4[解析]由已知得2α＝12，解得α＝－1，∴g (x )＝x －2x ＝1－2x 在区间[12，1]上单调递增，则g (x )min ＝g (12)＝－3，故选C ．5．已知函数f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若f (－3)＝－2，则不等式f (x )≥－2的解集为( B )A ．[－3，0]B ．[－3，3]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)[解析]f (x )为偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝－2，所以f (x )≥－2的解集为[－3，3]．6．(2021·全国高考甲卷文科)设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1＋x )＝f (－x )．若f (－13)＝13，则f (53)＝( C ) A ．－53B ．－13C ．13D ．53[解析]由题意可得：f (53)＝f (1＋23)＝f (－23)＝－f (23)，而f (23)＝f (1－13)＝f (13)＝－f (－13)，故f (53)＝13.故选C ．7．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且对任意x 1，x 2∈(－∞，0]，当x 1≠x 2时总有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则满足f (1－2x )－f (－13)>0的x 的X 围是( A )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)[解析]由题意可知，f (x )在(－∞，0]上为增函数，又f (x )为偶函数，故f (x )在(0，＋∞)上为减函数，由f (1－2x )>f (－13)可得－13<1－2x <13，解得13<x <23.故选A ．8．函数f (x )的定义域为[－1，1]，图象如图(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2，2]，图象如图(2)所示，方程f [g (x )]＝0有m 个实数根，方程g [f (x )]＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( C )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析]f [g (x )]＝0，令t ＝g (x )，则t 1＝－1，t 2＝0，t 3＝1，令g (x )＝－1，x 有2个根；令g (x )＝0，x 有3个根，令g (x )＝1，x 有2个根，∴f [g (x )]＝0共有7个根．g [f (x )]＝0，令f (x )＝t ，g (t )＝0，则t ＝0，即f (x )＝0，x 有3个值，所以m ＋n ＝10.故选C ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．关于函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的结论正确的是( CD ) A ．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞) B ．单调增区间是(－∞，1]C ．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2]D ．单调增区间是[－1，1][解析]要使函数有定义，则－x 2＋2x ＋3≥0，即(x －3)(x ＋1)≤0，－1≤x ≤3.所以函数的定义域为[－1，3]，值域为[0，2]，在[－1，1]上单调增，故选CD ．10．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列命题中是正确命题的是( ABD ) A ．f (0)＝0B ．若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1C ．若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数D ．若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x[解析]奇函数在对称的区间上单调性相反，故C 错误，其余都正确．11．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）（若f （x ）≥g （x ））f （x ）（若f （x ）<g （x ）），则F (x )( BC )A ．最小值－1B ．最大值为7－27C ．无最小值D ．无最大值[解析]作出F (x )的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选BC ．12．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.若a ，b ∈R ，且f (a )＋f (b )的值为负值，则下列结论可能成立的有( BC )A ．a ＋b >0，ab <0B ．a ＋b <0，ab >0C ．a ＋b <0，ab <0D ．以上都可能[解析]由函数f (x )为幂函数可知m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或mm ＝－1时，f (x )＝1x 3；当m ＝2时，f (x )＝x 3.由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，因此f (x )＝x 3，在R 上单调递增，且满足f (－x )＝－f (x )．结合f (－x )＝－f (x )以及f (a )＋f (b )<0可知f (a )<－f (b )＝f (－b )，所以a <－b ，即b <－a ，所以a ＋ba ＝0时，b <0，ab ＝0；当a >0时，b <0，ab <0；当a <0时，ab >0(b <0)或ab <0(0<b <－a )，故BC 都有可能成立．故选BC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．(2021·某某黄陵中学高一期末测试)函数f (x )＝4－2x ＋1x ＋1的定义域是{x |x ≤2且x ≠－1}．[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ≥0x ＋1≠0，解得x ≤2且x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤2且x ≠－1}．14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f (－43)＋f (43)等于4．[解析]∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，∴f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，f (43)＝2×43＝83，∴f (－43)＋f (43)＝43＋83＝4.15．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9，3)，则f (12)2f (1x －1)的定义域为(0，1]．[解析]幂函数f (x )的图象经过点(9，3)，所以3＝9α，所以α＝12，所以幂函数f (x )＝x ，故f (12)＝22，故1x－1≥0，解得0<x ≤1. 16．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数：f (x )＝x －[x ]，则下列说法正确的是①②③．①f (－0.8)＝0.2；②当1≤x <2时，f (x )＝x －1；③函数f (x )的定义域为R ，值域为[0，1)； ④函数f (x )是增函数，奇函数．[解析]①f (－0.8)＝－0.8－[－0.8]＝－0.8＋1＝0.2，正确． ②当1≤x <2时，f (x )＝x －[x ]＝x B 正确．③函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝x －[x ]表示x 的小数部分，所以值域为[0，1)，正确． ④x ＝0.5时，f (0.5)＝0.5，x ＝1.5时，f (1.5)＝0.5，所以f (x )不是增函数；且f (－1.5)＝f (1.5)，所以f (x )也不是奇函数．故填①②③.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax ＋b ，且f (1)＝2，f (2)＝－1. (1)求f (m ＋1)的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明．[解析](1)由f (1)＝2，f (2)＝－1，得a ＋b ＝2，2a ＋b ＝－1，即a ＝－3，b ＝5， 故f (x )＝－3x ＋5，f (m ＋1)＝－3(m ＋1)＋5＝－3m ＋2.(2)f (x )在R 上是减函数．证明：任取x 1<x 2(x 1，x 2∈R )，则f (x 2)－f (x 1)＝(－3x 2＋5)－(－3x 1＋5)＝3x 1－3x 2＝3(x 1－x 2)，因为x 1<x 2，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即函数f (x )在R 上单调递减．18．(本小题满分12分)已知f (x )在R 上是单调递减的一次函数，且f [f (x )]＝9x －2. (1)求f (x )；(2)求函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈[－1，a ]上的最大值．[解析](1)由题意可设f (x )＝kx ＋b (k <0)，由于f [f (x )]＝9x －2，则k 2x ＋kb ＋b ＝9x －2，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝1，故f (x )＝－3x ＋1. (2)由(1)知，函数y ＝－3x ＋1＋x 2－x ＝x 2－4x ＋1＝(x －2)2－3， 故函数y ＝x 2－4x ＋1的图象开口向上，对称轴为x ＝2， 当－1<a ≤5时，y 的最大值是f (－1)＝6， 当a >5时，y 的最大值是f (a )＝a 2－4a ＋1，综上，y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧6（－1<a ≤5），a 2－4a ＋1（a >5）.19．(本小题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30(t ∈N *)．设商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大时是第几天．[解析]设日销售金额为y 元，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800（0<t <25，t ∈N *），t 2－140t ＋4 000（25≤t ≤30，t ∈N *）.当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900.①当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125.②结合①②得y max ＝1 125.因此这种商品日销售金额的最大值为1 125元，且在第25天日销售金额最大．20．(本小题满分12分)函数f (x )＝x ＋a x 2＋bx ＋1是定义在[－1，1]上的奇函数．(1)确定函数f (x )的解析式； (2)用定义证明f (x )的单调性； (3)解不等式f (t －1)＋f (t )<0.[解析](1)因为f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f (0)＝0，f (x )＝－f (－x )，即x ＋a x 2＋bx ＋1＝－－x ＋ax 2－bx ＋1，所以a ＝0，b ＝0，所以f (x )＝xx 2＋1.(2)取－1≤x 1<x 2≤1，则x 1x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，所以f (x )在[－1，1]上单调递增．(3)因为f (t －1)＋f (t )<0，所以f (t －1)<f (－t )． 因为f (x )在[－1，1]上单调递增， 所以－1≤t －1<－t ≤1，解得0≤t <12.所以不等式的解集为{t |0≤t <12}．21．(本小题满分12分)如果函数y ＝f (x )(x ∈D )满足： ①f (x )在D 上是单调函数；②存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在区间[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]． 那么就称函数y ＝f (x )为闭函数．试判断函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a ，b ]；如果不是闭函数，请说明理由．[解析]设x 1，x 2是[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x 1<x 2，则有f (x 2)－f (x 1)＝(x 22＋2x 2)－(x 21＋2x 1)＝(x 22－x 21)＋2(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)． ∵－1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2＋2>0. ∴(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．∴函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是增函数． 假设存在符合条件的区间[a ，b ]，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝a f （b ）＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＝ab 2＋2b ＝b.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1.又∵－1≤a <b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0.∴函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是闭函数，符合条件的区间是[－1，0]．22．(本小题满分12分)已知函数y ＝x ＋tx 有如下性质：如果常数t >0，那么该函数在(0，t )上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0，1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0，1]，总存在x 2∈[0，1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，某某数a 的值．[解析](1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0，1]，∴1≤u ≤3，则y ＝u ＋4u －8，u ∈[1，3]．由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减，所以单调减区间为[0，12]；当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增，所以单调增区间为[12，1]；由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]．(2)g (x )＝－x －2a 为减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0，1]．由题意知，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≤－4，－2a ≥－3，∴a ＝32.。