初中数学_二次函数和一元二次方程_习题及解析

初一数学一元二次方程试题答案及解析1.（若n（n≠0）是关于x方程x2+mx+2n=0的根，则n+m+4的值为（）A．1B．2C．-1D．-2【答案】B【解析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．利用方程解的定义找到相等关系n2+mn+2n=0，然后求得m+n=-2，最后将其代入所求的代数式求值即可．解：∵n（n≠0）是关于x方程x2+mx+2n=0的根，∴n2+mn+2n=0，即n（n+m+2）=0，∵n≠0，∴n+m+2=0，即n+m=-2；∴n+m+4=-2+4=2．【考点】一元二次方程的解．2. 1）（2）【答案】⑴2或-6 ⑵【解析】⑴；x+2=±4.解得x=2或-6（2），所以3x-2=-3，解得x=【考点】实数运算点评：本题难度较低，主要考查学生对实数运算知识点的掌握。

注意立方根开方后符号不变。

3.分解因式时应该提取公因式是．【答案】【解析】分解因式时应该提取公因式是2ab，根据系数最大公因数及未知数最大指数可得。

【考点】因式分解点评：本题难度较低，主要考查学生对因式分解知识点的掌握。

判断系数最大公因数及未知数最大指数为解题关键。

4.先化简，再求值：，其中，．【答案】；【解析】=2a2-4ab+2b2-4a2+b2+6ab-2a2+3b2+ab=把，代入=-12【考点】整式运算点评：本题难度中等，主要考查学生对整式运算知识点的掌握。

运用完全平方根及平方差公式辅助即可。

5.已知，则a2－b2－2b的值为A．4B．1C．3D．0【答案】B【解析】a2－b2－2b =(a+b)(a-b)-2b=a+b-2b=a-b=1【考点】整式运算点评：本题难度较低，主要考查学生对整式运算中平方差公式知识点的掌握。

分解因式后化简为解题关键。

初二数学一元二次方程试题答案及解析1.解一元二次方程：2x2+4x+1=0．【答案】【解析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．试题解析：这里a=2，b=4，c=1，∵△=16﹣8=8，∴．【考点】解一元二次方程-公式法．2.若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，∴b2﹣4ac=22﹣4m≥0，解得：m≤1，则m的取值范围是m≤1．故选：C．【考点】根的判别式3.若x=2是关于x的方程x2﹣x﹣a2+5=0的一个根，则a的值为．【答案】±【解析】把x=2代入方程x2﹣x﹣a2+5=0得：4﹣2﹣a2+5=0，解得：a=±．【考点】一元二次方程的解4.解下列一元二次方程（1）（2）【答案】（1）x1=4，x2=0；（2）x1=2，x2=5．【解析】（1）利用分解因式法即可．（2）去括号、移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．试题解析：（1），x 1=4，x2=0；（2），，，x 1=2，x2=5．【考点】解一元二次方程．5.如图，两个边长均为2的正方形ABCD和正方形CDEF，点B、C、F在同一直线上，一直角三角板的直角顶点放置在D点处，DP交AB于点M，DQ交BF于点N．（1）求证：△DBM≌△DFN；（4分）（2）延长正方形的边CB和EF，分别与直角三角板的两边DP、DQ（或它们的延长线）交于点G和点H，试探究下列问题：①线段BG与FH相等吗？说明理由；（4分）②当线段FN的长是方程的一根时，试求出的值．（4分）【答案】（1）证明见解析；（2）①BG=FH．理由见解析；②．【解析】（1）如图1，根据正方形的性质就可得出BD=FD，∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，由直角三角形的性质就可以得出∠1=∠ADM，进而得出∠3=∠4，由ASA就可以得出结论；（2）①如图1，根据正方形的性质及直角三角形的性质就可以得出△GCD≌△HED就有CG=EH，由等式的性质就可以得出结论；②先解方程x2+2x﹣3=0就可以求出FN=1，得出CN=1，如图2，就可以得出△CND≌△FNH，得出CD=FH=2，就可以得出GB=2，GN=5，由勾股定理就可以求出NH的值，进而得出结论．试题解析：（1）如图1，∵四边形ABCD和四边形CDEF是正方形，∴BC=FC，BD=FD，∠ABD=∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，∠DCB=∠DEF=∠E=∠HFN=∠ADC=90°．∴∠ADM+∠CDM=90°，∵∠PDQ=90°，∴∠CDM+∠CDN=90°．∴∠ADM=∠CDN．∴∠ADB﹣∠ADM=∠CDF﹣∠CDN，∴∠MDB=∠NDF．在△DBM和△DFN中，，∴△DBM≌△DFN（ASA）；（2）①四边形ABCD和四边形CDEF是正方形，∴BC=FC=EF，BD=FD，∠ABD=∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，∠DCB=∠DEF=∠CDE=∠E=∠HFN=∠ADC=90°．∴∠EDH+∠1=90°，∵∠PDQ=90°，∴∠CDM+∠1=90°．∴∠CDM=∠EDH．在△CDG和△EDH中，，∴△CDG≌△EDH（ASA），∴CG=EH，∴CG﹣CB=EH﹣EF，∴BG=FH．②∵x2+2x﹣3=0，∴x1=1，x2=﹣3．∵FN的长是方程x2+2x﹣3=0的一根，∴FN=1．∴CN=1，∴CN=FN．如图2，在△CND和△FNH中，，∴△CND≌△FNH（ASA），∴CD=FH=2，∴GB=2，∴GN=5．在Rt△FNH中，由勾股定理，得NH=．∴．【考点】四边形综合题．6.商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是（）A．0.64B．0.8C．8D．6.4【答案】C．【解析】根据已知中连续的打折问题，注意在打a折的基础上再打a折销售，可以得出等式方程，进而求出a的值．根据题意得：200××=128，即a 2=64，解得：a=8．故选C．【考点】一元二次方程的应用．7.如图，在一次函数的图象上取点P，作PA⊥轴于A，PB⊥轴于B，且长方形OAPB的面积为6，则这样的点P个数共有（）A．4B．3C．2D．1【答案】A.【解析】设点P的坐标为（x，y），由图象得|x||y|=6，再将y=-x+5代入，得x（-x+5）=±6，则x2-5x+6=0或x2-5x-6=0，∴每个方程有两个不相等的实数根故选A．【考点】一次函数综合题．8.用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】∵x2﹣6x﹣7=0，∴x2﹣6x=7，∴x2﹣6x+9=7+9，∴（x﹣3）2=16．故选C．【考点】解一元二次方程-配方法．9.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）16；（2）；（3）.【解析】（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16．（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图示，由题可得：BP=10-3t，DQ=2t，所以可以列出方程10-3t=2t，解得t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12，在△CBQ中，根据勾股定理，求出BQ即可．（3）此题要分三种情况进行讨论：即①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P 在线段CD上，根据三种情况点的位置，可以确定t的值．（1）如图，过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴．∴CD=16.（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图，由题知：BP=10-3t，DQ=2t，∴10-3t=2t，解得t=2．此时，BP=DQ=4，CQ=12，∴.∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=.（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图，，解得.②当点P在线段BC上时，即时，如图，BP=3t-10，CQ=16-2t，∴，化简得：3t2-34t+100=0，△=-44＜0，∴方程无实数解．③当点P在线段CD上时，若点P在Q的右侧，即，则有PQ=34-5t，，解得＜6，舍去.若点P在Q的左侧，即，则有PQ=5t-34，，解得.综上所述，满足条件的t存在，其值分别为.【考点】1.双动点问题；2.平行四边形的性质；3.一元二次方程的应用；4.直角梯形的性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．10.六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送1035份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意列出方程为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】全班有x名同学，则每人送（x-1）份小礼品，共送x（x-1）份小礼品，进而可列出方程：.故选C．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．11.根据下面表格中的取值，方程有一个根的近似值（精确到0.1）是（）A.1.5B.1.2C.1.3D.1.4【答案】C【解析】由表格可得：当x的值是1.3时，的值与0最接近．因而方程的解是1.3．故选C．【考点】方程的近似解.12.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0的解是，所以或者.以为例，设=y,则，解得.则，从而求出.【考点】①一元二次方程的解；②根的判别式.13.解下列方程与不等式(1)3x(7-x)=18-x(3x-15)；（2） (x+3)(x-7)+8＞(x+5)(x-1).【答案】（1）x=3;（2）x＜－1.【解析】解方程与不等式的步骤是先化简方程,去括号,移项,合并同类项,系数化为1,值得注意的是不等式两边同时乘以或除以负数时,不等式方向要改变,（1）先去括号,21x-3x2=18-3x2+15x,移项, 21x-3x2+3x2-15x =18,合并同类项,6x="18," x=3;（2）先去括号,x2-7x+3x-21+8＞x2-x+5x-5,移项,x2-7x+3x -x2+x-5x＞-5+21-8,合并同类项,-8x＞8,系数化为1,注意要改变不等式的方向,x＜－1.试题解析：（1）先去括号,21x-3x2=18-3x2+15x,移项, 21x-3x2+3x2-15x =18,合并同类项,6x=18,x=3;（2）先去括号,x2-7x+3x-21+8＞x2-x+5x-5,移项,x2-7x+3x -x2+x-5x＞-5+21-8,合并同类项,-8x＞8,系数化为1,注意要改变不等式的方向,x＜－1.【考点】解方程与不等式.14.关于的一元二次方程有一个根为0，则．【答案】【解析】由题意把代入方程即可得到关于a的方程，再结合一元二次方程的二次项系数不为0求解即可.解：由题意得，，则．【考点】方程的根的定义点评：解题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值．15.解下列一元二次方程：（1）；（2）【答案】（1），；（2），【解析】（1）先把方程移项整理为一般式，再根据公式法解一元二次方程即可；（2）先移项，再提取公因式即可根据因式分解法解一元二次方程.解：（1）△=∴∴，；（2）∴或∴，.【考点】解一元二次方程点评：解一元二次方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.16.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元。

章节测试题1.【答题】抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），那么m=______．【答案】－2【分析】把点的坐标代入解析式解答即可.【解答】因为抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），所以m﹣2=﹣4，解得m=﹣2．故答案为﹣2．2.【答题】若函数的图像与轴有公共点，则实数a的取值范围______．【答案】a≥-1【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】因为二次函数的图像与x轴有公共点,所以,解得: a≥-1,故答案为: a≥-1.3.【答题】若函数y=mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则m的值为______．【答案】0、－1或－9【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】当m=0时，原函数解析式为y=3x﹣4，令y=0，则有3x﹣4=0，解得：x=，∴此时函数y=mx2﹣(m﹣3)x﹣4的图象与x轴只有一个交点，∴m=0符合题意；当m≠0时，∵二次函数y=mx2﹣(m﹣3)x﹣4的图象与x轴只有一个交点，∴△=[﹣(m﹣3)]2﹣4×(﹣4)m=0，即m2+10m+9=0，解得：m1=﹣1，m2=﹣9．综上所述：m的值为0、﹣1或﹣9，故答案为0、﹣1或﹣9．4.【答题】抛物线y=9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则p的值是______．【答案】±12【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】解：抛物线与x轴只有一个交点，则△=b2-4ac=0，故：p2-4×9×4=0，解得p=±12．故答案为：±12．5.【答题】已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点A（﹣1，0），求抛物线与x轴的另一个交点坐标______．【答案】（－3，0）【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】解：由抛物线y=ax2+4ax+t知，该抛物线的对称轴是x=-=-2．∵该抛物线与x轴的两交点一定关于对称轴对称，∴另一个交点为（-3，0）．故答案是：（-3，0）．6.【答题】若抛物线与轴有两个公共点，则的取值范围是______．【答案】m＞－1【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】∵与轴相交两点，∴，∴．7.【答题】如果二次函数的顶点在x轴上，那么m =______．【答案】17【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可. 二次函数的顶点在x轴上，说明二次函数的图象与x轴只有一个交点.【解答】解：二次函数的顶点在x轴上，解得：故答案为：8.【答题】一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x+2的图象有______个交点．【答案】1【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】由消去可得得方程：，解得，∴一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x+2的图象有1个交点．故答案为：1.9.【答题】若抛物线y=mx2+mx-2与x轴只有一个交点，则m= ______ ．【答案】－8【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】解：抛物线y=mx2+mx-2与x轴只有一个交点，则：解得：或二次项系数故故答案为：10.【答题】抛物线与轴的公共点的个数是______.【答案】2【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】∵抛物线解析式为：y=x2−x−1，∴a=1，b=−1，c=−1，∴△=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−1)=1+4=5>0，∴抛物线与x轴有两个交点，故答案为：2.11.【答题】已知抛物线y=x2−2x+2-a与x轴有两个不同的交点,则直线y=ax+a不经过第______ 象限。

一元二次方程和一元二次函数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠（1） 若方程没有实根：判别式240b ac ∆=-< （2） 若方程有两个相等实根：判别式240b ac ∆=-=（3） 若方程有两个不等的实根：判别式240b ac ∆=->注：若方程有两个实根：判别式240b ac ∆=-≥ 若方程有两个实根，记为12x x 、则：12b x a -+=、22b x a--=2121222221212122212121240()22()()b ac c x x a b x x a b c x x x x x x a a x x x x x x ⎧∆=-≥⎪⎪=⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-=+-⎩g g g g一元二次函数： 函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。

配方写成顶点式：a b ac a b x a y 44)2(22-++=（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线ab x 2-=。

（2）当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，ab ac y 442min-=，无最大值。

函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-ab上是增函数。

2ba=-24)4ac b a-(3) 当0a <，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max-=，无最小值。

当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。

2ba-244ac b a-两点间距离公式：11(,)A x y 、22(,)B x yd =图像的移动：x 的系数为正先加后减 先左后右 先上后下例1：2(0)y ax a =≠怎么样变为)0(2≠++=a c bx ax y第一步：将被平移的二次函数的x 系数变为正,并化为顶点式。

2(0)0y a x =-+ 移动为： ab ac a b x a y 44)2(22-++=先左移2b a ，变为2()2b y a x a=+ 再上移244ac b a -，变为ab ac a b x a y 44)2(22-++=另：先上移244ac b a -，变为2244ac b y ax a -=+再左移2ba，变为a b ac a b x a y 44)2(22-++=例2：23y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移2个单位。

一元二次方程及其应用一、选择题1. 一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2. 一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为()A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝5C．(x－2)2＝3 D．(x－2)2＝53. 一元二次方程x2＋2x－3＝0的根是()A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝34. 关于x的一元二次方程x2－2x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于()A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°5. 有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患了流感，假设每轮传染中一个人传染相同数量的人，则第一轮传染后患流感的人数为()A．10 B．50 C．55 D．456. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是() A．m＜1 B．m≥1C．m≤1 D．m＞17. 关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0(k为实数)根的情况是()A．有两个不相等的实数根C．没有实数根B．有两个相等的实数根D．不能确定8. 某市2018年GDP比2017年增长了11.5%，由于受到国际因素的影响，2019年的GDP 比2018年增长了7%.若这两年GDP的年平均增长率为x，则x满足的关系式是() A．11.5%＋7%＝xB．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝2(1＋x)C．11.5%＋7%＝2xD．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x)29. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施．调查发现，每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件，若商场每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价()A．5元B．10元C．20元D．10元或20元10. 某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，每个月就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高25%，则这种机床每台的售价应定为()A．3万元B．5万元C．8万元D．3万元或5万元二、填空题11. 一元二次方程2x2－4＝－5x的根的判别式Δ＝________．12. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为.13. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡每张的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，设每张贺年卡应降低x个0.1元，则所列方程为__________________________________．14. 相邻的两个自然数，若它们的平方和比这两数中较小数的2倍大51，则这两个自然数分别为________．15. 2018·内江已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为________．16. 某校课外生物小组的试验园地是长32 m，宽20 m的矩形，为了便于管理，现要在试验园地开辟宽度均为x m的小道(图中的阴影部分)．(1)如图①，在试验园地开辟一条纵向小道，则剩余部分的面积为________m2(用含x的代数式表示)；(2)如图②，在试验园地开辟三条宽度相等的小道，其中一条是横向的，另两条互相平行．若使剩余部分的面积为570 m2，则小道的宽度为________m.三、解答题17. 解方程:(y+2)2=(2y+1)2.18. 解方程：(1)3x 2－4x ＝2；(2)(x －6)2＝2(6－x )；(3)x 2－1＝4x (用配方法)；(4)4(x －3)2＝(3x ＋5)2.19. 2019·北京 若关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．20. 某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加0.5万元，就会少租出商铺1间(假设年租金的增加额均为0.5万元的整数倍)．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用0.5万元．(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益(收益＝租金－各种费用)为275万元？21. 古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x 2＋ax ＝b 2(a ＞0，b ＞0)的方程的图解法是：如图，以a 2和b 为两直角边作Rt△ABC ，再在斜边上截取BD ＝a 2，则AD 的长就是所求方程的解． (1)请用含字母a ，b 的代数式表示AD 的长；(2)请利用公式法说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】A4. 【答案】B 【解析】△方程有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝2－4sin α＝0，∴sin α＝12，又△α为锐角，∴α＝30°. 5. 【答案】C6. 【答案】D [解析] △方程无实数根，△Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1·m ＝4－4m ＜0，解得m ＞1.故选D.7. 【答案】A [解析] △a ＝1，b ＝k ，c ＝－2，△Δ＝b 2－4ac ＝k 2－4×1×(－2)＝k 2＋8＞0，△方程有两个不相等的实数根．故选A.8. 【答案】D [解析] 设2017年的GDP 为1，∵2018年的GDP 比2017年增长了11.5%，∴2018年的GDP 为1＋11.5%.∵2019年的GDP 比2018年增长了7%，∴2019年的GDP 为(1＋11.5%)×(1＋7%)．∵这两年GDP 的年平均增长率为x ，∴2019年的GDP 也可表示为(1＋x )2，∴可列方程为(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x )2.9. 【答案】C [解析] 设每件衬衫降价x 元，则每天可售出(20＋2x )件，根据题意，得(40－x )(20＋2x )＝1200，解得x 1＝10，x 2＝20.∵要扩大销售，减少库存，∴x ＝20.10. 【答案】D [解析] 设这种机床每台的售价定为x 万元，则x ⎝⎛⎭⎫60－x －20.1＝2×60×(1＋25%)， 解得x 1＝3，x 2＝5.二、填空题11. 【答案】57 [解析] 原方程移项得2x 2＋5x －4＝0.这里a ＝2，b ＝5，c ＝－4，△Δ＝52－4×2×(－4)＝25＋32＝57.12. 【答案】16[解析]解方程x2-10x+21=0，得x1=3，x2=7，因为已知两边长为3和6，所以第三边长x的范围为:6-3<x<6+3，即3<x<9，所以三角形的第三边长为7，则三角形的周长为3+6+7=16.13. 【答案】(0.3－0.1x)(500＋100x)＝12014. 【答案】5，6[解析] 设较小的自然数为x，则较大的自然数为(x＋1)．根据题意，得x2＋(x＋1)2＝2x＋51，解得x1＝5，x2＝－5(舍去)．则这两个自然数分别为5，6.15. 【答案】1[解析] 设x＋1＝t，方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根分别是x3，x4，∴at2＋bt＋1＝0.由题意可知：t1＝1，t2＝2，∴t1＋t2＝3，∴x3＋x4＋2＝3，∴x3＋x4＝1.16. 【答案】(1)20(32－x)(2)1[解析] (1)根据题意，得剩余部分的面积为20(32－x)m2.(2)根据题意，得(32－2x)(20－x)＝570，解得x1＝1，x2＝35(不合题意，舍去)．即小道的宽度为1 m.三、解答题17. 【答案】解:∵(y+2)2=(2y+1)2，∴(y+2)2-(2y+1)2=0，∴(y+2+2y+1)(y+2-2y-1)=0，∴3y+3=0或-y+1=0，∴y1=-1，y2=1.18. 【答案】解：(1)3x2－4x－2＝0，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－2)＝40，x ＝4±402×3＝2±103， 所以x 1＝2＋103，x 2＝2－103. (2)(x －6)2＋2(x －6)＝0，(x －6)(x －6＋2)＝0，(x －6)(x －4)＝0，x －6＝0或x －4＝0，所以x 1＝6，x 2＝4.(3)x 2－4x ＝1，x 2－4x ＋4＝5，(x －2)2＝5，x ＝2±5， 所以x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.(4)4(x －3)2－(3x ＋5)2＝0，(2x －6＋3x ＋5)(2x －6－3x －5)＝0，(5x －1)(－x －11)＝0，5x －1＝0或－x －11＝0，所以x 1＝15，x 2＝－11.19. 【答案】解：∵关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，∴b 2－4ac ＝4－4(2m －1)≥0，解得m ≤1.∵m 为正整数，∴m ＝1，∴原方程为x 2－2x ＋1＝0，则(x －1)2＝0，解得x 1＝x 2＝1.20. 【答案】 解：(1)30－13－100.5×1＝24(间)， ∴当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出24间．(2)设每间商铺的年租金增加x 万元，则每间商铺的年租金为(10＋x )万元，依题意有(30－x 0.5×1)×(10＋x )－(30－x 0.5×1)×1－x 0.5×1×0.5＝275， 即2x 2－11x ＋5＝0，解得x 1＝5，x 2＝0.5.∴当每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元时，该公司的年收益为275万元．21. 【答案】12解：(1)△△ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ， △AB ＝b 2＋a 24， △AD ＝b 2＋a 24－a 2＝－a ＋4b 2＋a 22. (2)方程x 2＋ax ＝b 2整理，得x 2＋ax －b 2＝0.Δ＝a 2－4×1×(－b 2)＝a 2＋4b 2>0， △x ＝－a±a 2＋4b 22， 即x 1＝－a ＋4b 2＋a 22，x 2＝－a －4b 2＋a 22. 正确性：AD 的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．二次函数的图象及其性质一、选择题1. 二次函数y=(x -1)2+3的图象的顶点坐标是 ( )A.(1，3)B.(1，-3)C.(-1，3)D.(-1，-3)2. 若二次函数y ＝x2＋bx ＋5配方后为y ＝(x －2)2＋k ，则b ，k 的值分别为( )A. 0，5B. 0，1C. －4，5D. －4，13. 已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过(1，0)，(2，0)，(3，4)三点，则该抛物线的解析式为( )A ．y ＝x2－3x ＋2B ．y ＝2x2－6x ＋4C ．y ＝2x2＋6x －4D ．y ＝x2－3x －24. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论:①abc<0;②3a+c>0;③(a+c)2-b2<0;④a+b≤m(am+b)(m 为实数).其中结论正确的个数为 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个5. 将抛物线y ＝－3x2平移，得到抛物线y ＝－3(x －1)2－2，下列平移方式中，正确的是( )A ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度C ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度6. 海滨广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水的最大高度为3米，此时喷水的水平距离为12米．在如图所示的平面直角坐标系中，这( )A ．y ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋3 B ．y ＝3⎝⎛⎭⎫x －122＋1 C ．y ＝－8⎝⎛⎭⎫x －122＋3 D ．y ＝－8⎝⎛⎭⎫x ＋122＋3 7. (2019•成都)如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =8. (2019•咸宁)已知点()()()()1,,1,,2,0A m B m C m n n -->在同一个函数的图象上，这个函数可能是A ．y x ＝B ．2y x =-C ．2y x ＝D ．2y x ＝﹣9. 已知函数y ＝ax2－2ax －1(a 是常数，a ≠0)，下列结论正确的是( )A. 当a ＝1时，函数图象过点(－1，1)B. 当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C. 若a ＞0，则当x≥1时，y 随x 的增大而减小D. 若a ＜0，则当x≤1时，y 随x 的增大而增大10. 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y ＝－x2＋2x ＋c 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y3＞y2＞y1B. y3＞y1＝y2C. y1＞y2＞y3D. y1＝y2＞y3二、填空题11. 如果二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的顶点坐标为(－1，－3)，那么它的对称轴为直线x ＝________，k 的值为________．12. (2019•株洲)若二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，则__________0(填“=”或“>”或“<”)．13. 某学习小组为了探究函数y ＝x2－|x|的图象与性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m ＝________．14. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．15. 已知函数y ＝ax2＋c 的图象与函数y ＝－3x2－2的图象关于x 轴对称，则a ＝________，c ＝________．16. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．(填“>”、“=”或“<”)三、解答题17. 如图，足球场上守门员徐杨在O处抛出一高球，球从离地面1 m处的点A飞出，其飞行的最大高度是4 m，最高处距离飞出点的水平距离是6 m，且飞行的路线是抛物线的一部分．以点O为坐标原点，竖直向上的方向为y轴的正方向，球飞行的水平方向为x轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．(参考数据：4 3≈7)(1)求足球的飞行高度y(m)与飞行的水平距离x(m)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)(2)在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？(精确到1 m)(3)若对方一名1.7 m的队员在距落地点C 3 m的点H处跃起0.3 m进行拦截，则这名队员能拦到球吗？18. (2019•云南)已知k是常数，抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．(1)求k的值：(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．19. 如图，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．20. 如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx经过点B(1，4)和点E(3，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD＝DE.求D点的坐标；(3)在条件(2)下，在抛物线的对称轴上找一点M ，使得△BDM 的周长为最小，并求△BDM 周长的最小值及此时点M 的坐标．21. 如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S ，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S 的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图22021中考数学 专题训练：二次函数的图象及其性质-答案 一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】D 【解析】由y ＝(x －2)2＋k 知此二次函数的顶点坐标为(2，k)，对称轴为x＝2，由y ＝x2＋bx ＋5知其对称轴为x ＝－b 2，得－b2＝2，所以b ＝－4；于是可以得到函数的解析式是y ＝x2－4x ＋5，把(2，k)代入其中即得k ＝1.3. 【答案】B [解析] 把(1，0)，(2，0)，(3，4)分别代入y ＝ax2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－6，c ＝4，所以y ＝2x2－6x ＋4.故选B.4. 【答案】C [解析]①∵抛物线开口向上，∴a>0. ∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴->0， ∴b<0.∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，∴①错误; ②当x=-1时，y>0，∴a -b+c>0.∵-=1，∴b=-2a.把b=-2a 代入a -b+c>0中得3a+c>0，∴②正确; ③当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，∴a+c<-b.∵a+c>b ，∴|a+c|<|b|，即(a+c)2-b2<0， ∴③正确;④∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=1时，函数的最小值为a+b+c ， ∴a+b+c≤am2+mb+c ，即a+b≤m(am+b)，∴④正确.故选C.5. 【答案】D [解析] ∵抛物线y ＝－3x2的顶点坐标为(0，0)，抛物线y ＝－3(x －1)2－2的顶点坐标为(1，－2)，∴将抛物线y ＝－3x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到抛物线y ＝－3(x －1)2－2.6. 【答案】C7. 【答案】D【解析】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0，A 选项错误； 函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac ->0，B 选项错误； 观察图象可知x=-1时y=a -b+c>0，所以a -b+c>0，C 选项错误；根据图象与x 轴交点可知，对称轴是(1，0)，(5，0)两点的中垂线，1532x +==，即x=3为函数对称轴，D 选项正确， 故选D ．8. 【答案】D【解析】()()1,,1,A m B m -，∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于2y x y x ==-，的图象关于原点对称，因此选项A ，B 错误； ∵0n >，∴m n m -<，由()()1,,2,B m C m n -可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，对于二次函数只有0a <时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∴D 选项正确，故选D ．9. 【答案】D 【解析】当a ＝1时，函数为y ＝x2－2x －1，当x ＝－1时，y ＝1＋2－1＝2，其图象经过点(－1，2)，不过点(－1，1)，所以A 选项错误；当a ＝－2时，函数为y ＝－2x2＋4x －1，b2－4ac ＝16－4×(－2)×(－1)＝8>0，抛物线与x 轴有两个交点，故选项B错误；当a>0时，抛物线的开口向上，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a＝1，当x ≥1，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，所以C 选项错误；当a<0时，抛物线的开口向下，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a＝1，当x ≤1，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，所以D 选项正确．10. 【答案】D 【解析】此类题利用图象法比较大小更直观简单．容易求出二次函数y ＝－x2＋2x ＋c 图象的对称轴为直线x ＝1，可画草图如解图：由解图知，P1(－1，y1)，P2(3，y2)关于直线x ＝1对称，P3(5，y3)在图象的右下方部分上，因此，y1＝y2>y3.二、填空题11. 【答案】－1 －312. 【答案】<【解析】∵二次函数2y ax bx =+的图象开口向下， ∴0a <．故答案为：<．13. 【答案】0.75 【解析】根据表格可得该图象关于y 轴对称，故当x ＝1.5和x ＝－1.5时，y 的值相等．∴m ＝0.75.14. 【答案】21(4)2y x =-【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠， 把(2,2)P 代入，得24a =，解得12a =，故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-，把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =，所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-，故答案为：21(4)2y x =-．15. 【答案】3 216. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>， 当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<，即M N <， 故答案为：<．三、解答题 17. 【答案】解：(1)由题意，设y ＝a(x －6)2＋4. △A(0，1)在抛物线上， △1＝a(0－6)2＋4，解得a ＝－112，△y ＝－112(x －6)2＋4.(2)令y ＝0，则0＝－112(x －6)2＋4，解得x1＝4 3＋6≈13，x2＝－4 3＋6＜0(舍去)，△在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离约是13 m.(3)当x ＝13－3＝10时，y ＝83＞1.7＋0.3＝2，△这名队员不能拦到球．18. 【答案】(1)∵抛物线y=x2+(k2+k -6)x+3k 的对称轴是y 轴，∴26022b k k x a +-=-=-=，即k2+k -6=0，解得k=-3或k=2， 当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x 轴无交点，不满足题意，舍去，当k=-3时，二次函数解析式为y=x2-9，它的图象与x 轴有两个交点，满足题意， ∴k=-3．(2)∵P 到y 轴的距离为2， ∴点P 的横坐标为-2或2， 当x=2时，y=-5； 当x=-2时，y=-5，∴点P 的坐标为(2，-5)或(-2，-5)．19. 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，－b 2a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.所以抛物线的解析式为y ＝－x2－2x ＋3.(2)易知直线AB 的表达式为y ＝x ＋3，设P(m ，－m2－2m ＋3)，过点P 作PC ∥y 轴交AB 于点C ，则C(m ，m ＋3)，PC ＝(－m2－2m ＋3)－(m ＋3)＝－m2－3m ，所以S△PAB ＝12×(－m2－3m)×3＝－32(m2＋3m)＝－32(m ＋32)2＋278，所以当m ＝－32时，S△PAB 有最大值278，此时点P 的坐标为(－32，154)．20. 【答案】(1)将点B(1，4)，E(3，0)的坐标代入抛物线的解析式得,0394⎩⎨⎧=+=+b a b a解得,62⎩⎨⎧=-=b a∴抛物线的解析式为y ＝－2x2＋6x ； (2)∵BD ⊥DE ， ∴∠BDE ＝90°，∴∠BDC ＋∠EDO ＝90°，又∵∠ODE ＋∠DEO ＝90°， ∴∠BDC ＝∠DEO ， 在△BDC 和△DEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BCD ＝∠DOE ＝90°∠BDC ＝∠DEO BD ＝DE，∴△BDC ≌△DEO(AAS)， ∴OD ＝BC ＝1，∴D(0，1)；(3)如解图，作点B 关于抛物线的对称轴的对称点B ′，连接D B '交抛物线的对称轴于点M.解图∵抛物线对称轴为直线x ＝a b2-＝32，∴点B ′的坐标为(2，4)，∵点B 与点B ′关于x ＝32对称，∴MB ＝M B '，∴DM ＋MB ＝DM ＋MB ′，∴当点D 、M 、B ′在同一条直线上时，MD ＋MB 有最小值(即△BMD 的周长有最小值)， ∵DC ＝OC －OD ＝3，CB ′＝2，CB ＝1，∴D B '＝2'2CB DC +＝13，BD ＝22BC DC +＝10，∴△BDM 周长的最小值＝10＋13，设直线D B '的解析式为y ＝kx ＋t ，将点D 、B ′的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝12k ＋t ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32t ＝1，∴直线DB ′的解析式为y ＝32x ＋1，将x ＝32代入得y ＝134，∴M(32，134)．21. 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）．（2） 梯形O1A1B1C1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=． 当S=36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ． 在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4。

二次函数练习题及答案(解析版)一、选择题：1 下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )2 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A (1，-4) B(-1，2) C (1，2) D(0，3)23 抛物线y=2(x-3)的顶点在( )A 第一象限B 第二象限C x轴上D y轴上4 抛物线的对称轴是( )A x=-2 Bx=2 C x=-4 D x=45 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )A ab>0，c>0B ab>0，c<0C ab<0，c>0D ab<0，c<06 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( )A 一B 二C 三D 四7 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交 x 轴于点A(m，0) 和点B ，且m>4，那么AB 的长是( )A 4+mB mC 2m-8D 8-2m8 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x1，y 1) ，P 2(x2，y 2) 是抛物线上的点，P3(x3，y 3) 是直线上的点，且-1A y110 把抛物线物线的函数关系式是( ) AC 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛B D二、填空题：11 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________12 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________13 若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________14 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，则这条抛物线的解析式为_____________15 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________16 在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g 是常数，通常取10m/s2) 若v 0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m17 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3) 的抛物线的解析式为______________18 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y 1的值是_________三、解答题：19 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4) 和B(4，0) ，(1)求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A ′的坐标; (2)求此二次函数的解析式;20 在直角坐标平面内，点 O 为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点A(x1，0) 、B(x2，0) ，且(x1+1)(x2+1)=-8 (1)求二次函数解析式;(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积21 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(-1，0) ，点C(0，5) ，另抛物线经过点(1，8) ，M 为它的顶点(1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB 的面积S △MCB22 某商店销售一种商品，每件的进价为250元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是1350元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件请你分析，销售单价多少时，可以获利最大二次函数练习题参考答案与解析一、选择题1 考点：二次函数概念选A2 考点：求二次函数的顶点坐标解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k) ，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2) ，答案选C3 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0) ，所以顶点在x 轴上，答案选C4 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B5 考点：二次函数的`图象特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，答案选C6 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，在第四象限，答案选D7 考点：二次函数的图象特征解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x 轴于点D ，所以A 、B 两点关于对称轴对称，因为点A(m，0) ，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C8 考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y 轴左侧，交坐标轴于(0，0) 点答案选C9 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1-1时，由图象知，y 随x 的增大而减小，所以y 210 考点：二次函数图象的变化抛物线平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到的图象向左答案选C二、填空题11 考点：二次函数性质解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程答案x=112 考点：利用配方法变形二次函数解析式解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2答案y=(x-1)2+213 考点：二次函数与一元二次方程关系解析：二次函数y=x2-2x-3与x 轴交点A 、B 的横坐标为一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，求得x 1=-1，x 2=3，则AB=|x2-x 1|=4答案为414 考点：求二次函数解析式解析：因为抛物线经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-315 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：需满足抛物线与x 轴交于两点，与y 轴有交点，及△ABC 是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-116 考点：二次函数的性质，求最大值解析：直接代入公式，答案：717 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：如：y=x2-4x+318 考点：二次函数的概念性质，求值三、解答题19 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9为所求 (2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5) ，P(2，-9)21 解： (1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x 1=5，x 2=-1 ∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME ⊥y 轴于点E ，则可得S △MCB =1522 思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x 元，商品的售价就是(135-x)元了单个的商品的利润是(135-x-25)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y 元利用上面的等量关式，可得到y 与x 的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润解：设销售单价为降价x 元顶点坐标为(425，91125)即当每件商品降价425元，即售价为135-425=925时，可取得最大利润91125元数学速算的技巧1、“凑整”先算1.计算：(1)24+44+56 (2)53+36+47解：(1)24+44+56=24+(44+56)=24+100=124因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来。