提高中学生的数学解题途径-精品文档

提高中学生的数学解题途径
自恢复高考制度以来，数学学科的教材一次又一次的变化，
学生的学习层次也由原来的全面应试到现在的素质教育与应试
教育结合的转变，然而教育的改革始终解决不了一个问题，那就
是学生的实际动手能力的提高，这一能力反应在学生的解题上：
不论教材上写了多少方法、多少思想，教师应用了多少优美的词
汇，采用了多少生动活泼的语言来激发课堂上学生的思维，讲过
多少解题的策略，学生对在不熟悉的环境下或者是老师已经讲过
的熟悉环境下的数学问题都很难解决的，甚至于无从下手。无论
这个学生是什么级别的学校的什么学生，都是无法逃避的解题现
状。在现有的生活条件下，如果避开学生认知水平，那么每一个
学生的智力水平都大致相当的，所以，老师应该如何解决学生解
题时存在的这个问题呢？
20年前我发现了这个问题，20年后的今天我找到了解决这
个问题的最佳办法，那就是运用学生已有的知识结构之间的连接
点来解题，即结构论解题理念。发现这一理论纯属偶然。一次偶
然的机会让我接触到汽车的维修，亲眼目睹了修车师傅拆卸汽车
的全过程。从中我了解到汽车的构成是发动机、变速箱、传动系
统、电路系统、控制系统、操作系统等，而各个部件的连结是很
简单的，比如发动机与变速箱之间就是用一块小小的钢板连结
的，我把它称为连接点，汽车行驶过程就是它的各个部件之间及
其连接点的相互配合的结果。由此我联想：如果老师和学生都建
立数学各部分知识结构系统，在解题的时候，只要能够找到他们
之间的连接点，那么解决问题不就轻松多了吗？
首先，为了让大家明白结构论到底是什么，它在解题究竟是
怎么使用的，以下面这道题的分析过程为例。
对于以上的结构关系，我们用树图来表示就很容易发现各个
结构之间的依赖关系：从以上这个题目的分析我们可以清楚的看
出：结构论实质上是把已知条件中所产生的结构，根据解题的需
要，找出对应的连接点，达到解决问题的目的的思维方法。其基
本理念就是去寻找各个结构与解题需要的连接点。而连接点的寻
找并不困难。
但学生在解决实际问题的时候仍然不能解决数学问题。究其
原因不是学生的智力问题，而是学生对数学的基本知识和原理不
熟悉，更有甚者，学生的头脑里没有这些概念，所以他不能对题
目所提供的已知条件作出正确的反应，自然就不能对数学问题作
出解答。比如：“函数f（x）在x=π处有极大值”，这一数学
语言表达的含义应有如下几个方面的反应：（1）必须求出该函
数的导数f′（x）；（2）函数f（x）在x=π处的左、右邻域
内单调性的变化规律，即在x=π处的左侧为增函数，在x=π处
的右侧为减函数；（3）在x=π处的左、右邻域内恒有f（x）
≤f（π）成立。
由此可见，学生是否能够恰如其分运用结构理论解题，基本
条件是熟练地把握每个知识点的内涵和外延，而不是在这样方
法，那样思想上下功夫.无论哪一年的高考考纲都提出了很多的
数学方法、很多的数学思想方法，而且随着高考年数的增加，数
学思想和方法有逐年增多的趋势。但无论是什么样的思想和方
法，离开了基本知识点一切都是空谈，与其慕人网中鱼，不如退
而结网，用多一点的时间去研究知识点的连接点，主动去寻找知
识点的交叉处，。这样做，教师的教学显得简单，学生的学习也
就显得轻松。这就是结构论解题的基本理念。可以这样讲，每一
题对每一个学生来讲都是新的，但知识点都是旧的，由于连接点
和连结方式的不同，解法自然就不相同了。
其次，如何培养学生的结构意识就成为教师们最关心的问
题，具体有以下几个措施：
第一、教师要先有结构意识。这是结构论解题思想的根本出
发点，这就要求我们透彻地研究教材，考察教材编写的合理性，
把看似不相容的内容融汇在一起，形成一条的连结点链。例如组
合的概念及其性质的教学，教材的编写是将两部分的内容分开写
的，但在实际教学中完全可以合二为一。对此可以这样处理：首
先让学生形成组合的概念，即从n个不同的元素中取出m个元素
形成一组，则称该组为从n个不同的元素中取出m个元素的一个
组合，像这样的组合的总个数，就叫从n个不同的元素中取出m
个元素的组合数，记为Cmn。然后我就针对整个概念做如下的理
解：1）该定义关心的是是否形成一组，与组内个元素的顺序无
关。2）该定义与排列概念的区别，从而产生组合数的计算公式。
3）该定义中关心的是取出m个元素形成一组即可，至于n个元
素的某个元素是否参与，没有做任何说明。为此产生了两个方面
的可能：一种可能是取出的m个元素中含有指定的元素a1，那
么就有Cm-1n-1种取法；另一种可能是取出的m个元素中不含有
指定元素a1，那么就有Cmn-1中取法。根据分类计数原理，总
的方法数为Cmn=Cmn-1+Cm-1n-1。4）取出的m个元素的组合与
剩下的n-m个元素的组合的关系，进而产生了Cmn=Cn-mn这一重
要的结论。通过这样的融合，组合的定义与性质的连接点，学生
自然就明白了，从而达到了教学的目的，锻炼了学生的思维，给
学生留足了创新的空间。由此可以看出：作为教师对教材中概念
与概念之间，知识点与知识点之间的连接点进行认真把握，树立
自己良好的结构意识，才可能正确而又恰当地找到各知识点之间
的连接点。所以教师自己要有结构意识。
第二、学生要有较好的数学语言识别能力。这里的数学语言
包括文字语言、数学符号语言及图形语言。作为学生来讲，在日
常的学习应不断地积累数学语言，理解数学语言的真正的内涵，
教师的教学应该建立在学生已有的数学语言的基础上来完成新
的数学语言的教学。学生听不懂课，究其根本原因应是学生的数
学语言与现在的数学语言没有连结上造成的。比如有这样一道
题：某楼有4层，进入该楼有3个大门，楼内有2道楼梯，试问
从底楼道4楼有多少种走法？学生很容易对“楼内有2道楼梯”
这句话产生误解，因而得到6种走法。其实结合第一句话的含义，
第二句话表达的意思是每一层楼都有2道楼梯，故正确的答案应
是3×8=24种走法。诸如此类的语言在数学领域还有很多，只要
题目给出，它就必须用各种语言来表达。所以只要能够识别这些
语言的含义，就不愁数学题不能解，只是时间的问题。 第
三、教师如何将这种结构意识连接到学生头脑中呢？
1.准确把握教材的整体结构，有效地划分各知识的板块结
构，把各板块结构内部的知识梳理准确，不留漏洞。在适当的时
候，可以打乱教材本身的结构限制。比如在函数的教学中，完全
可以把导数与极限的知识融为一体，形成一个板块。
2.当各个板块形成以后，找出板块与板块之间的各种连结方
式。函数板块与三角板块的一种连结方式就是函数的几大性质，
诸如研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最值
情况等。
3.积累数学语言。要培养学生的结构意识，必须要求学生能
够正确识别各种数学语言，即文字语言、符号语言、图形语言等，
并要求学生能够正确的作出合理的解释。这就要求教师在指导教
学的同时，必须把各个知识点内涵和外延彻底的道明白，让学生
从真正意义上把握好每一个概念。
4.在讲练例习题时，除了把题目本身讲明白、练明白以外，
必须要求教师有意引导读题，把题目中每一句话，每一个数学符
号所表达可能结果转化成板块结构，下意识的寻找各板块之间的
连接点，根据解题需要，快速准确地选择有效的连接点，从而达
到解决问题的目的。为了帮助大家明白结构论的基本运用，以下
面的例题来说明：
例2已知数列an和bn满足a1=λ，an+1=23an+n-4，bn=（-1）
n（an-3n+21），其中λ∈R，n∈N+
（1）证明对任意的λ，an不是等比数列
（2）证明当λ≠-18时，bn是等比数列
（3）设Sn为bn前n项和，是否存在λ∈R，使对任意的n∈N+，
都有Sn>-12？若存在，求出它的值，若不存在，说明理由。
分析：an+1=23an+n-4，这是题目中产生的第一个等式，从
结构上可知，这个等式与等式an=pan-1+q的结构有相似之处，
由于n-4不是常数，所以不能用分离常数的办法，转化为等比数
列来处理。从第二个等式bn=（-1）n（an-3n+21）可以看出两
点：（1）只要能够确定an，那么bn就不困难，但事实上确定
an是非常艰难的。（2）从第二个等式的结构上看，如果能够将
an-3n+21视为一个整体的话，那么bn就容易求出，从而an也
就容易求出。为此必须重新考察第一个等式的结构。虽然不能对
n-4进行直接的改变，从而转化为等比数列的定义求通项公式，
但可以利用结构的理论转化为等比数列的定义求通项公式，事实
上an+1=23an+n-4可以变形为an+1-3（n+1）+21=23（an-3n+21），
于是有an+1-3（n+1）+21an-3n+21=23，所以数列an-3n+21为
等比数列，公比为23，首项为λ+18，故an=3n-21+（λ+18）
（23）n-1，进而可知bn=（λ+18）（-23）n-1。从而第（1）
问、第（2）问就非常容易解决了。关于第（3）问，只须求出
Sn就可以了。
结构理论它是由整体到整体之间的连结关系，因而在解题的
时候不需要了解整体内部之间的依赖关系，只需要找到它们之间
的连接点就可以了。就比如研究航母，把航母分成若干个整体，
分别在各个造船厂里造出这些整体，当需要的时候，将各个整体
连结起来，调试好，就能发挥巨大的实际作用，而且既节约了时
间，又非常的便捷。所以它可以作为研究和解决数学问题的捷径
而得以在教学中运用。