第九章 线性系统的状态空间分析与综合
9-1 设系统的微分方程为
u x x x
=++23 其中u 为输入量，x 为输出量。
⑴ 设状态变量x x =1，x
x =2，试列写动态方程； ⑵ 设状态变换211x x x +=，2122x x x --=，试确定变换矩阵T 及变换后的动态方程。
解：⑴ u x x x
x
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210
2121 ，[]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=2101x x y ； ⑵ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121x x T x x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111T ；⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-11121
T ；AT T A 1-=，B T B 1-=，CT C =； 得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111
T ；u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1110012121 ，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111x x y 。 9-2 设系统的微分方程为
u y y y
y 66116=+++ 其中u 、y 分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型(即A 为友矩阵)及可观标准型(即A 为友矩阵
转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。
解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，
[]x y u x x 00610061161
00010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= ；[]x
y u x x 100
006610
1101600=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡---= ； 可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，
9-3 已知系统结构图如图所示，其状态变量为1x 、2x 、3x 。试求动态方程，并画出状态变量图。
解：由图号关系得，31x x
= ，u x x x 232212+--= ，32332x x x -= ，1x y =。动态方程为 u x x ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020********* ，[]x y 001； 状态变量图为
9-4 已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程
232132
132********u x x x x
u u x x u x x
+---=-+=+= ，3
2122
112x x x y x x y -+=-=， 写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。
解：状态方程 u x x ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1012016116100010 ，x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=112011； 状态变量图为
9-5 已知系统传递函数为
3
48
6)(22++++=s s s s s G ，
试求出可控标准型(A 为友矩阵)、可观标准型(A 为友矩阵转置)、对角型(A 为对角阵)动态方程。
解：135
.015.113
452)(2++++=++++=s s s s s s G ；可控标准型、可观标准型和对角型依次为
[]u x y u x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=25104310 ；[]u x y u x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10254130 ；[]u
x y u x x +=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=115.05.13001 。
9-6 已知系统传递函数为
)
2()1(5
)(2
++=
s s s G ， 试求约当型(A 为约当阵)动态方程。
解：2
)1(5)1(525)(+++-++=s s s s G ；
u x x ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=555100110002 ，[]x y 011=。 9-7 已知系统的状态方程为
u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111101 ，
初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解法1：
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(1
1； ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰---t t t t t t t t t t t t t te e te e te e d e e t e e te e x 212111)(00100τττττ。 解法2：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=
+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(1
11)1(1
1)1(1
)}0()({)I ()(22
2
2
1
； ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-==-t t te e s x L x 212)]([1
。 9-8 已知系统的状态转移矩阵
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=Φ--------t t t
t t t t
t e e e e e e e e t 222232332223)(，
试求该系统的状态阵A 。
解：⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=Φ
==4321)(0
t t A 。(注：原题给出的)(t Φ不满足A =Φ)0( 及A t t A t )()()(Φ=Φ=Φ 。) 9-9 已知系统动态方程
u x x ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=210311032010 ，[]x y 100=， 试求传递函数)(s G 。
解：B A s C s G 1
)I ()(--=，
[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡++----+-----=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-=-210231503620396710021031103201
100)(22231
s s s s s s s s s s s s s s s G ； 6
7372)(32
--++=s s s s s G 。
9-10 试求所示系统的传递函数矩阵。
u x x ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1012016116100010 ，x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=112011。 解：⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+-++++++=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+--=---22
2231
1611666161166116161161001)I (s s s s s s s s s s s s s s s A s ；
