2017八上培优第3讲 与三角形有关的角度求和

11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC 且交BD于P，求∠BP A的度数．3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案1．C解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°.（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠P AC=12∠BAC，所以∠DBC＋∠P AD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠P AD =∠DBC＋∠C＋∠P AD=∠DBC＋∠P AD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=12∠ACB=34°．∵CE是AB边上的高，∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．∴∠DCE=34°－18°=16°．（2）∠DCE=12（∠B－∠A）．6．（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．证明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）=180°+180°=360°．良好的学习态度能够更好的提高学习能力。

【模块一】三角形内角和定理及应用 方法技巧任意一个三角形的三个内角的和都等于180°，当已知三角形两角和时，可求第三个角. 题型一 三角形内角和定理【例1】（2018长春）如图，在△ABC 中，CD 平分ACB ∠交AB 于点D 作BC DE //交AC 于点E ，若48,54=∠=∠B A ，求CDE ∠的度数.EB CDA题型二 三角形内角和定理的应用【例2】如图，在ABC ∆中，ACB ABC ∠=∠，点P 为ABC ∆内的一点，且PCA PBC ∠=∠，110=∠BPC ,求A ∠的度数.BCP A题型三 利用互余互补导角（1）已知CE BD ,是ABC ∆的两条高，直线CE BD ,相交于点H . 如图，①在图中找出与DBA ∠相等的角，并说明理由；②若 100=∠BAC ，求DHE ∠的度数；（2）在ABC ∆中，50=∠A ，直接写出DHE ∠的度数是E HBCDA针对练习11. 在下列条件中①C B A ∠=∠+∠；②3:2:1::=∠∠∠C B A ③C B A ∠=∠=∠3121；④C B A ∠=∠=∠2；⑤C B A ∠=∠=∠21中能确定ABC ∆为直角三角形的条件有 （ ）A.2个B.3个C.4个D.5个 2. 已知：如图，在ABC∆中，BD C ABC ,∠=∠是ABC ∠的角平分线，且,BED BDE ∠=∠ 100=∠A ，求DEC ∠的度数.EBCDA3. 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，P 为线段AD 上一点，AD PE ⊥交BC 的延长线于点E ，若35=∠B ， 85=∠ACB ,求E ∠的度数.PEBCDA【板块二】 三角形外角性质及应用 方法技巧任意一个三角形的外角都等于和它不相邻的两个内角的和，利用这个性质可以更快捷地建立角与角之间的关系或计算角的角度.2E 1BCDA【例4】如图，ABC ∆为直角三角形， 90=∠C ，若沿图中虚线剪去C ∠，求21∠+∠的度数.针对练习21. 如图，已知AD 是ABC ∆的角平分线，CF 是ABC ∆的高， 45,60=∠=∠BCE BAC ,求ADC ∠的度数.E pBCDA2.如图，在ABC ∆中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D. （1）如图1，若68=∠B ，32=∠C ，BC AE ⊥交于E ，EAD ∠的度数为 ；（2）如图2，若点F 是AD 延长线上一点，BAF ∠，BDF ∠的平分线交于点G ，x B =∠，y C =∠（y x >），求G ∠的度数.图2图1FB CDAG E BCD A【模块三】三角形的折叠与求角 方法技巧1.充分利用折叠问题中的已知条件和隐含条件是解题关键；2.一副直角三角板各内角度数如图. 题型一 三角板的叠放求角【例6】生活中到处都存放着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如下两幅图都是同一副三角板拼凑而得到的： 如图1，（1）求ABC ∠的度数；（2）如图2，若BC AE //，则AFD ∠= .图1图245°60°45°30°EFBCD AE F B C DA【例7】（1）如图1，把ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内部点A `的位置.试写出A ∠与21∠+∠之间的关系，并说明理由；（2）如果把ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内部点A `的位置.如图②所示，试写出A ∠与21∠+∠之间的关系？直接写出（3）如果把ABC ∆纸片沿EF 折叠，使点D A ,落在四边形BCEF 内部点A `,D `的的位置.如图③所示，试写出`A ∠，`D ∠与21∠+∠之间的 关系.图3图1图212A′D′2A′E F BCD AE 1BCDA EA′BCD A21针对练习31.将直角三角形（ACB ∠为直角）沿线段CD 折叠使点B 落在点`B 处，若`ACB ∠=50°，求ACD ∠的度数.B′BCAD。

活动3 等腰三角形中相等的线段 如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC 的平分线 ，
它们还有相等的数量关系吗？
DE =DF．
A
E
B D
F C
活动3 等腰三角形中相等的线段
已知：如图，在△ABC 中，AB =AC，点D 是BC 边 的中点，DE，DF 分别是∠ADB，∠ADC 的平分线．求 证：DE =DF.
方法：度量、剪拼图、折叠
A
B
B
C
A
B
C
A
B
C
探索并证明三角形内角和定理
问题1 在小学我们已经知道任意一个三角形三个 内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的 吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
方法：度量、剪拼图、折叠 A
B
C
探索并证明三角形内角和定理
追问1 运用度量的方法，得出的三个内角的和都 是180°吗？为什么？
测量可能会有误差．
探索并证明三角形内角和定理
追问2 通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手 中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中 的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的 三角形有无数多个，我们如何能得出“所有的三角形的 三个内角的和都等于180°”这个结论呢？
需要通过推理的方法去证明．
证明：过点A 作直线l ，使l ∥BC． ∵ l ∥BC ， ∴ ∠2 = ∠4，
∠3 = ∠5 （两直线平行，内错角相等） ．
A
l
4
5
1
2 B
3 C
探索并证明三角形内角和定理
追问3 结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？ 已知：△ABC．求证：∠A +∠B + ∠C = 180°．

问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？
推论1：三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和．
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
三当堂检测
已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△A BC的三个外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
3．巩固提 高
三角形内角和定理
学科
数学
课题
7.5.2三角形内角和定理
授课教师
教学
目标
掌握三角形外角的两条性质；
重点
进一步熟悉和掌握证明的步骤、方法、技巧．
德育
目标
灵 活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。
难点
进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。
教学过程
课堂笔记
1、 自主学习
活动内容：
在证明三角形内角和定理时，用到了把△AB C的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．
六、反思与纠错
励志名言成功＝自信＋方法＋勤奋
已知：D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC度数；(2)∠BFD度数．
五拓展提升
已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC
已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1> ∠2．
2、互动导学
①三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三 ：