【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题13 多项式 （50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2021·全国·高三竞赛）若33223(2011)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-=__________．【答案】8- 【解析】 【分析】 【详解】令x 1,y 2==-，条件式立即化为3(2)248a b c d -=-+-，即2488a b c d -+-=-. 故答案为：8-.2．（2019·全国·高三竞赛）若a>b>，a+b+c=0，且12x x 、为20ax bx c ++=的两实根.则2212x x -的取值范围为______. 【答案】[)0,3 【解析】 【详解】由a+b+c=0，知方程20ax bx c ++=有一个实根为1，不妨设11x =. 则由韦达定理知2cx a=. 而a ＞b ＞c ，a+b+c=0，故 a ＞0，c ＜0，且a ＞-a-c ＞c. 则122c a -<<-. 故222144c x a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭. 从而，[)22120,3x x -∈.故答案为[)0,33．（2018·湖南·高三竞赛）四次多项式432182001984x x kx x -++-的四个根中有两个根的积为-32，则实数k=_____. 【答案】86 【解析】 【详解】设多项式432182001984x x kx x -++-的四个根为1234x x x x 、、、，则由韦达定理，得1234121314232434123124134234123418,,200,1984.x x x x x x x x x x x x x x x x k x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++++=⎪⎨+++=-⎪⎪=-⎩设1232x x =-，则3462x x =，故()()12346232200x x x x +-+=-.又123418x x x x +++=，所以12344,14,x x x x +=⎧⎨+=⎩ 故()()1234123486k x x x x x x x x =++++=. 故答案为864．（2018·湖南·高三竞赛）已知n 为正整数，若22310616n n n n +-+-是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____. 【答案】811【解析】 【详解】因为()()()()225231061682n n n n n n n n +-+-=--+-，当21n -=±时，若()()8,55,31n n n ++=+=，则22310616n n n n +---是一个既约分数，故当3n =时，该分数是既约分数. 所以这个分数为811. 故答案为8115．（2019·全国·高三竞赛）已知关于x 的方程320x ax bx c +++=的三个非零实根成等比数列，则33a c b -=______.【答案】0 【解析】 【详解】设这三个根分别为2d dq dq 、、，由韦达定理得22222333d dq dq a d q d q d q b d q c ⎧++=-⎪++=⎨⎪=-⎩①②③÷②①得bdq a=-， 代入式③得3b c a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故330a c b -=.故答案为06．（2021·全国·高三竞赛）若实数a ，b 满足22(1)(1)2,411b a a b a b+--=+=+-则55a b -=_________．【答案】82 【解析】 【分析】 【详解】2222(1)(1)4(1)(1)(1)(1)4(1)(1)11b a b b a a a b a b+-+=⇔-++--=+-+-， 22()[()3]()2()244()41a b a b ab a b ab a b a b ab ab ⇔--+-----+=+--⇔=， 55223322()()()82a b a b a b a b a b -=+---=．故答案为：82.7．（2019·全国·高三竞赛）已知实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=，227ax by +=，3316ax by +=，4442ax by +=.则55ax by +=______.【答案】20 【解析】 【详解】由3316ax by += ()()()3316ax by x y x y ⇒++=+()()()442216ax by xy ax by x y ⇒+++=+ ()42716xy x y ⇒+=+， ①227ax by += ()()()227ax by x y x y ⇒++=+ ()()()337ax by xy ax by x y ⇒+++=+()1637xy x y ⇒+=+， ②联立式①、②解得14x y +=-，38xy =-. 则4442ax by += ()()()4442ax by x y x y ⇒++=+()()()553342ax by xy ax by x y ⇒+++=+()55421620ax by x y xy ⇒+=+-=.故答案为208．（2019·全国·高三竞赛）设抛物线2y x =的一条弦PQ 被直线l ：()()11y k x k Z =-+∈垂直平分.则弦PQ 的长等于_______.【解析】 【详解】设直线PQ 的方程为1y x b k=-+（显然0k ≠，否则，l 不可能垂直平分PQ ）.由2,1,y x y x b k ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩消去x 并整理得20y ky bk +-=. 由PQ 与抛物线2y x =有两个不同交点，知上式的判别式大于零，即240k bk +>.①设PQ 的中点为M ，则有2M k y =-，22M kx bk =+.而M 在直线l 上，所以，2111122k k k bk ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭.②将式②代入式①整理得()()212220k k k k+-+<. 解得20k -<<. 又由k Z ∈，知1k =-.将1k =-代入式②，得1b =-.于是，直线PQ 的方程为1y x =-. 由21,y x y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得2310x x -+=. 设1x 、2x 为其两根，根据韦达定理得 123x x +=，121x x =.故12PQ x =-==9．（2019·全国·高三竞赛）对正整数k ，方程()()222a kb kc k --=-的整数解组(),,a b c 有_____个． 【答案】无数 【解析】 【详解】取1,a b c ab k =+=-. 则22222c k a b kab k k -=-+-()()()2222222ak b k a b k a b k --=-++.因()()2222121121a b b b b b ab +=++=++=+，所以，()()222a kb kc k --=-.由b 的任意性知，方程有无数个解. 故答案为无数10．（2018·全国·高三竞赛）在复数范围内，方程()210x px p ++=∈R 的两根为α、β．若1αβ-=，则p =______．【答案】【解析】 【详解】，此时，p =此时，p =11．（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，4，…，1000中，能写成()221a b a N -+∈的形式，且不能被3整除的数有________个． 【答案】501. 【解析】 【详解】 设{}1,2,3,4,,1000S =，若221n a b =-+，则()3mod4n ≠.又()()2242211k k k =--+，()()2241111k k k +=+--+，()()22422121k k k +=+-+，因此，221n a b =-+当且仅当()3mod44n ≠.令(){|3mod44}A a S a =∈≡，(){|0mod3}B b S b =∈≡，则(){|3mod12}A B c S c ⋂=∈≡，因为250A =，333B =，84A B ⋂=，从而符合条件的数的个数为100025033384501--+=. 故答案为50112．（2020·浙江·高三竞赛）设曲线C ：32()32f x x x x =-+，若对于任意实数k ，直线y kx b =+与曲线C 有且只有一个交点，则b 的取值范围为__________. 【答案】∅. 【解析】 【详解】直线y kx b =+与曲线C 联立，消去y 得：323(2)0x x k x b -+--=， 法1：由题设，该方程对任意的k ∈R ，均有且又只有一个实数解，设()323(2)g x x x k x b =-+--，则()236(2)g x x x k '=-+-，则()361220k ∆=--≤对任意的k ∈R 恒成立，这不可能成立， 故b 的取值范围为∅. 法2：设方程的根为0x ，则()()32203(2)x x k x b x x x mx n -+--=-++.由题意得，方程20x mx n ++=无解，或方程的根为0x .对比两边的系数得：000003325m x mx n mx k n k nx b b n x ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=-⇒=-⎨⎨⎪⎪-=-⎩⎪=⎪⎩. 因为k R ∀∈，所以n R ∈，方程20x mx n ++=化为 20030bx x x x ++=. ()* （1）方程()*无解时，则200940bx x ∆=-<，即09b x >对任意00x ≠恒成立， 故b 的取值范围为∅.（2）方程()*有唯一的解0x ，则020094904b x x x b ∆=-=⇒=，于是22943049b b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，矛盾. 综上所述，b 的取值范围为∅. 故答案为：∅13．（2019·江苏·高三竞赛）若x +y －2是关于x 、y 的多项式2256x axy by x y ++-++的因式，则a －b 的值是________ . 【答案】1 【解析】 【分析】结合因式分解待定系数()()22562x axy by x y x y x by m ++-++=+-++，即可得解.【详解】由题：x +y －2是关于x 、y 的多项式2256x axy by x y ++-++的因式，所以()()22562x axy by x y x y x by m ++-++=+-++即()()()2222561222x axy by x y x b xy by m x m b y m ++-++=++++-+--所以1252126a b m m b m =+⎧⎪-=-⎪⎨-=⎪⎪-=⎩，解得123a b m =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以a －b 的值是1.故答案为：1 【点睛】此题考查多项式因式分解，利用待定系数法求解系数，也可利用赋值法，结合特殊值求解.14．（2019·江西·高三竞赛）设x >0，且2217x x +=，则551x x +=____________ . 【答案】123 【解析】 【详解】2221129x x x x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以13x x +=. 由2242411492x x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则44147x x +=，所以54325234111111x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-⋅+⋅-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭42421111x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3(4771)=-+123=.故答案为：123．15．（2019·江西·高三竞赛）将集合{1，2，……，19}中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为_________ . 【答案】16815 【解析】 【详解】所求的和为()22221(1219)12192⎡⎤+++-+++⎣⎦1(361002470)2=-16815=.故答案为：16815．16．（2019·山东·高三竞赛）整数n 使得多项式f (x )=3x 3－nx －n －2，可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积，所有n 的可能值的和为______ . 【答案】192 【解析】 【详解】由题意知f (x )=(ax 2+bx +c )(dx +e )，其中a 、b 、cd 、e 均为整数，且不妨设(a ，d )=(1，3)或(3，1).若(a ，d )=(1，3)，则－5=f (－1)=(1－b +c )(－3+e )，所以(3)|(5)e -+-，得e =－2，2，4，8；又03e f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得33(36)e ne n =--，有3|e ，矛盾.若(a ，d )=(3，1)，一方面由－5=f (－1)得(e －1)|(－5)，有e =－4，0，2，6； 另一方面f (e )=0，得3e 3－ne －n －2=0，故可以求得n 的值为38，－2，26，130. 所以所求之和为192. 故答案为：192．17．（2019·全国·高三竞赛）已知关于x 的方程()()2201000x a x a a +-+=≠的两根均为整数．则实数a 的值为______． 【答案】4024 【解析】 【详解】设方程的根为1x 、()212x x x ≤．由韦达定理得()122010x x a +=--，12x x a =．则12122010x x x x ++=，即()()12112011x x ++=．又因为2011为质数，所以，120,2010x x =⎧⎨=⎩或122012,2.x x =-⎧⎨=-⎩故0a =（舍）或4024a =．18．（2019·全国·高三竞赛）已知实系数方程3210ax x bx -+-=有三个正实根.则()23563a ab P a b a -+=-的最小值为______.【答案】108. 【解析】 【详解】设3210ax x bx -+-=的三个正实根为1v 、2v 、3v . 由韦达定理得1231v v v a++=， ① 122331bv v v v v v a++=， ② 1231v v v a=. ③ 由式①、②得0a >，0b >.由式①、③得1a≥ ④ 而()()2122331123213331b v v v v v v v v v ab a a ++≤++⇒⋅≤⇒≤. 故()()223356351a ab a P a b a a b a -++=≥--. 又()()()2313121231231231111222v v v v v v v v v v v v v v v a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-≤⇒---≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()229410514a ab a a b a ⇒-+≥⇒+≥-.则()()3244108a b a P a b a a-≥=≥-.故当a =b =P 取最小值108. 故答案为10819．（2019·全国·高三竞赛）若123x x x 、、是关于x 的一元三次方程325510x x x -++=的三个两两不等的复数根，则代数式()()()222222112222333311x x x x x x x x x x x x ++++++的值为______．【答案】625 【解析】 【详解】 由韦达定理得1235x x x ++=，1223315x x x x x x ++=，1231x x x =-．则()()()222222112222333311x x x x x x x x x x x x ++++++333333233112122331x x x x x x x x x x x x ---=⋅⋅--- ()22112212551551x x x x x x -----=⋅- ()22223323551551x x x x x x ------ ()22331131551551xx x x x x -----⋅-()()()122331125111x x x x x x =+-+-+- ()()()312125444625x x x =---=.20．（2019·全国·高三竞赛）对x ∈R ，n +∈N ，定义()()11!nxx x x n C n --+=．设()P x 是一个6次多项式且满足()01P =，()()121,2,,6k P k k -==．用()1,2,,6kx C k =表示()P x =______．【答案】2461x x x C C C +++【解析】 【详解】由()01P =，知存在多项式()1Q x 使得()()11P x xQ x =+． 故()()11111P Q ==+，有()110Q =．又有多项式()2Q x 使得()()()121Q x x Q x =-，即()()()211P x x x Q x =+-． 故()()222122P Q ==+，有()2122Q =． 从而，又有多项式()3Q x 使得()()()23122Q x x Q x =-+．则()()()()23112x P x C x x x Q x =++--．又由()()343133!2P Q ==++，知()330Q =．故()()()343Q x x Q x =-，()()()()()241123x P x C x x x x Q x =++---． 进一步有()()()()()()24511234x x P x C C x x x x x Q x =+++----． 继续下去并利用()P x 是6次多项式可得()2461x x x P x C C C =+++．故答案为2461x x x C C C +++21．（2018·河北·高三竞赛）若实数x 、y 、z 满足2223x y z ++=，224x y z +-=，则max min z z +=_____.【答案】169- 【解析】 【详解】由柯西不等式得()()()2222122x y x y ++≥+，由已知得2223x y z +=-，()()22242x y z +=+，所以有()()225342z z -≥+，化简得291610z z ++≤，即max Z 、min Z 为方程291610z z ++=的两根，由韦达定理得max min 169Z Z +=-. 22．（2018·福建·高三竞赛）已知整系数多项式()543212345f x x a x a x a x a x a =+++++，若0f=，()()130f f +=，则()1f -=______．【答案】24 【解析】 【详解】设0x 0x (202x =，于是20032x -+=，2001x =+．所以()()2221x =+，42001010xx -+=．所以0x ()42101g x x x =-+的一个根．又0x所以()g x 整除()f x ．故()()()()()42101f x g x x r x x x r =-=-+-，r 为整数．所以()()18188f r r =--=-+，()()383248f r r =--=-+． 由()()130f f +=，得()()882480r r -++-+=，2r =．所以()()()421012f x x x x =-+-，()124f -=．23．（2018·全国·高三竞赛）设a 、b 、R c ∈.且满足方程组，222210110,450.a b c a a bc a ⎧++--=⎨---=⎩则ab bc ca ++的取值范围是__________.【答案】[]40,72- 【解析】 【详解】由题设得245bc a a =--，2221011b c a a +=-++.则()1b c a +====±+.由根与系数关系知，b 、c 是关于t 的一元二次方程()221450ta t a a ++--=的两个实根.由()()2214450a a a ∆=+---≥，解得17a -≤≤.令()()()2145f a ab bc ca a b c bc a a a a =++=++=±++--，所以，()()5212f a a a ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦或()()()5117f a a a =-+-≤≤.易知，当()()51f a a =-+时，()400f a -≤≤；当()()5212f a a a ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦时，()49728f a -≤≤.所以ab bc ca ++的取值范围是[]40,72.-24．（2018·全国·高三竞赛）设实数a 使得关于x 的一元二次方程2556617150x ax a -+-=的两个根均是整数.则所有这样的a 是__________. 【答案】870 【解析】 【详解】设两个整数根为1x 、2x ()12x x ≤.由根与系数关系得12a x x =+，从而，a 是整数.由原方程得251715857857135********x x x a x Z Z x x x ---==++∈⇔∈---()5857566x Z x -⇔∈-（因为5与566x -互质）5857664219566566Z Z x x -⨯+⇔∈⇔∈-- 5661x ⇔-=±或4219±（因为4219是质数） 13x ⇔=或857.所以，13857a =+或1313+或857857+，即870a =或26或1714. 由方程有整数根知5a ，这与26a =，1714矛盾.故870a =.25．（2018·全国·高三竞赛）设多项式()f x 满足()()22131101132f x f x x x ++-=++.则()f x =________. 【答案】2235x x ++ 【解析】 【详解】注意到()1f x +与()1f x -的次数相同，而右边为二次的，故()2f x ax bx c =++.代入题设等式并比较两边系数得2,3,5a b c ===.因此，()2235f x x x =++.26．（2018·全国·高三竞赛）已知关于x 的方程32450x x x a -++=（R a ∈）有三个实数根123,,x x x ．则{}123max ,,x x x 的最大值为______．【答案】2 【解析】 【详解】不妨设{}3123max ,,x x x x =．由韦达定理得()()12312312312331223314,4,5545x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=-++=⎧⎧⇒⎨⎨=-+=--++=⎩⎩．于是，以1x 、2x 为根的一元二次方程为()()23334540x x x x x ---+-= ()()2233333445403840x x x x x ⎡⎤⇒∆=----≥⇒-+≤⎣⎦3223x ⇒≤≤． 当32x =时，121x x ==，2a =-． 故{}123max ,,x x x 的最大值为2．27．（2021·全国·高三竞赛）已知多项式202020192020201910()P x a x a x a x a =++++有2020个非零实根（可以有重根），其中012020,,,a a a 为非负整数，求()2020P 的最小值．【答案】20202021 【解析】 【详解】设2020个非零实根为122020,,,x x x ，易知02020,1a a ≥．当0x ≥时，()0P x >，所以0i x <． 由均值不等式知2021202020211,2,,2020)i x i--=．这2020个式子相乘，得()20202020202020201(2020)20202021i i P a xa ==-∏202020202021a =2020202020212021=．当2020()(1)P x x =+时，等号成立．故()2020P 的最小值为20202021． 故答案为：20202021.28．（2021·浙江·高三竞赛）已知方程20x ax b ++=有两个不同的实数根，则()432210x ax b x ax ++--+=有______个不同的实数根. 【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】设1x 与2x 是方程20x ax b ++=的两个不同的根. 由韦达定理知12x x a +=-，12x x b =.不难验证,()43221x ax b x ax ++--+()()()23212121221x x x x x x x x x x =-++-+++()()221211x x x x x x =----,剩下只需证明,方程221210,?10x x x x x x --=--=的根是实数且两两不同. 事实上,这两个方程的判别式显然都是正的,所以个有两个不同的实数根，而若x 是这两个方程的公共根,则有()211x x x ---(()22211)0x x x x x x --=-=,于是0x =，是0x =却明显不是它们的根.所以方程()432210x ax b x ax ++--+=有四个实数根.故答案为：4.29．（2019·福建·高三竞赛）已知532()10f x x x ax bx c =-+++，若方程f (x )=0的根均为实数，m 为这5个实根中最大的根，则m 的最大值为____________ . 【答案】4 【解析】 【详解】设f (x )=0的5个实根为1234x x x x m ，则由韦达定理，得12340m x x x x ++++=，()()123412131423243410m x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++=-.于是，212131423243410x x x x x x x x x x x x m +++++=-+.所以22222341x x x x +++()()212341213142324342x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+++++ ()22221020m m m =--+=-.另一方面，由柯西不等式，知()()22222123412344x x x x x x x x ++++++.于是，()222420,16,4mm m m -.又对f (x )=(x -4)(x +1)4=5321020154x x x x ----， 方程f (x )=0的根均为实数，且5个实根中最大的根m =4. 所以m 的最大值为4. 故答案为：4． 二、解答题(共0分)30．（2021·全国·高三竞赛）设()1212,x x x x <是方程2210a x bx ++=的两个实根，()3434,x x x x <是方程210ax bx ++=的两个实根，若3124x x x x <<<，求实数a 的取值范围. 【答案】{}|1a a > 【解析】 【分析】 【详解】由韦达定理，得121234342211,,,b b x x x x x x x x a a a a +=-=+=-=. 前后两式分别相除，得12341111b x x x x +=-=+. ①因为12210x x a =>，所以12x x 、同号. 若31240x x x x <<<<，3421341211111111,x x x x x x x x <<<+<+，矛盾. 若31240x x x x <<<<，则2134123411111111,x x x x x x x x <<<+<+，矛盾.所以1234x x x x 、、、同号，且有3410x x a=>，即0a >. 又因为3124x x x x <<<，得42131111x x x x <<<，所以341211110x x x x ->->.结合①，得22221212343412341*********x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-->+--⇒> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2a a >，结合0a >，知实数a 的取值范围为{}|1a a >.31．（2021·全国·高三竞赛）已知实数x 、y 、z 满足11112020,2020x y z x y z ++=++=求证：x 、y 、z 中至少一个为2020． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】由题意知()2020xy yz zx xyz ++=，故：()()()202020202020x y z ---232020()2020()2020xyz xy yz zx x y z =-+++++- 22020(2020)0x y z =++-=，故x 、y 、z 中至少一个为2020．32．（2020·浙江·高三竞赛）已知()P x ，()Q x 为整系数多项式，若()22()2020()1P x x Q x --=，求()P x ，()Q x . 【答案】答案见解析 【解析】 【详解】由题意得：()22()12020()P x x Q x -=-，即[][]()2()1()12020()P x P x x Q x -+=-.因为()()112P x P x +--=⎡⎤⎣⎦，故()()1,1P x P x +-无公约式， 若()0Q x =，则()1P x =±，若()0Q x ≠， 因为()P x ，()Q x 为整系数多项式，则()()()212()12020()1P x x q x P x q x ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩或()()()212()12020()1P x x q x P x q x ⎧+=-⎪⎨-=⎪⎩，其中()()12,q x q x 无公约式，若()()()212()12020()1P x x q x P x q x ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，则()()()22120202q x x q x =-+， 故()()21()20201P x x q x =-+，()()()()21120202Q x q x x q x ⎡⎤=-+⎣⎦，同理当()()()212()12020()1P x x q x P x q x ⎧+=-⎪⎨-=⎪⎩时，()()21()20201P x x q x =--，()()()()21120202Q x q x x q x ⎡⎤=--⎣⎦， 综上，()()21()20201P x x q x =--，()()()()21120202Q x q x x q x ⎡⎤=--⎣⎦ 或()()21()20201P x x q x =-+，()()()()21120202Q x q x x q x ⎡⎤=-+⎣⎦，()1q x 为整系数的多项式.33．（2019·新疆·高三竞赛）已知x 、y 、z 是正数且满足81535x y xy y z yz z x zx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩.则x +y +z +xy =____________ . 【答案】15 【解析】 【分析】根据x +y +xy =8知x +y +xy +1=9，即(1)(1)9x y ++=，同理对方程组变形，作商求解. 【详解】由x +y +xy =8知x +y +xy +1=9，即(1)(1)9x y ++=.① 同理可得(1)(1)16(1)(1)36y z z x ++=⎧⎨++=⎩，② 结合①和②可得(1)(1)(1)346x y z +++=⨯⨯，③ 由①和③可知z =7. 同理由②③可得72x =，y =1.从而x +y +z +xy =15. 故答案为：15【点睛】此题考查解三元二次方程组，涉及利用因式分解整体代入求解方程，对代数式的综合处理能力要求较高.34．（2019·山东·高三竞赛）已知4239n n -+是素数，求正整数n 的所有可能值 【答案】n =1，n =2 【解析】 【详解】因为()()4222393333n n n n n n -+=++-+，所以或n 2－3n +3=1，解得n =1，2.将n =1，n =2代入检验均满足题意，所以n =1，n =2为所求.35．（2019·全国·高三竞赛）设实数a 、b 、c 、d 满足2222331a b c d a b c d abc bcd cda dab +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩.证明：()()()()33331111a a b b c c d d -=-=-=-. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 根据恒等式得()()22222132ab bc cd da ac bd a b c d a b c d ⎡⎤+++++=+++-+++=⎣⎦. 设()()31f x x x =-.只需证明：()()()()f a f b f c f d ===. 注意到，()()()()x a x b x c x d abcd -----()()()432x a b c d x ab bc cd da ac bd x abc bcd cda dab x =-+++++++++-+++()()3432331x x x x x x f x =-+-=-=-. 则()()()()()f x abcd x a x b x c x d =-----.令,,,x a b c d =，分别代入上式得()()()()f a f b f c f d ===. ()()()()33331111a a b b c c d d ⇒-=-=-=-.36．（2019·全国·高三竞赛）若()t t R ∈为某一整系数多项式的根，则称t 为“代数数”.否则，称t 为“超越数”，证明：（1）可数个可数集的并为可数集； （2）存在超越数.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【详解】（1）设12,,,,n I I I ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为可数集（注意到，题中所述的可数集有可数个.则可对这些集合进行自然数编号）.设{}1212,,,i ii I x x I I I U =⋅⋅⋅=⋃⋅⋅⋅.将ij x 与i j 对应（i 、j 均为正整数），则i j 为有理数.故I 中有元素与有理数集中的元素一一对应.因为有理数集为可数集，所以，I 为可数集. （2）设所有i 次整系数多项式的根构成的集合为i I .只需证明：i 次整系数多项式有可数个，即1110i i i i a x a x a x a --++⋅⋅⋅++，其中，12,,,i a a a ⋅⋅⋅均为正整数，有可数种取值. 用数学归纳法证明.（i ）证明10a x a +有可数个，对固定的1a 、0a 有可数种取值，又1a 有可数种取值，由（1）知可数个可数集的并为可数集.因此，10a x a +有可数个. （ii ）假设1110i i a xa x a --+⋅⋅⋅++有可数个.对固定的i a ，则1110i i a x a x a --+⋅⋅⋅++有可数个.又i a 有可数种取值，则由（1）知1110i i i i a x a x a x a --++⋅⋅⋅++有可数个，每个整系数多项式有可数个根，而i 次整系数多项式有可数个，故i 次整系数多项式的所有根构成的集合i I 为可数集.由（1）知12I I I =⋃⋃⋅⋅⋅为可数集，即代数数集为可数集. 又R 为不可数集，故超越数一定存在.37．（2019·全国·高三竞赛）是否存在实数k ，使得()()()555222333,,x y z k x y z xy z f x y z x y z+++++++=++是一个三元多项式．【答案】56k =-【解析】 【详解】假设存在这样的实数k ．则()()555222333x y z k x y z x y z +++++++有因式x y z ++． 令1y z ==．则2x +是()()532222x k x x ++++的因式．作多项式除法．用()53212242k x kx kx k +++++除以2x +的余式为3630k --．要使2x +整除()()532222x k x x ++++，则5363006k k --=⇒=-．故()()()55522233356,,x y z x y z xy z f x y z x y z++-++++=++()()()52233325532231551556666x y z x y z x y z y z y z x y z-+-+++--=++ ()()()()()()243222222211111223366366x y z x y z yz x y z y yz z x y z y yz z =-+-+--+-+++-+ 综上，这样的实数k 存在，且56k =-．38．（2019·全国·高三竞赛）已知非零实数 a b c t 、、、满足()21a tb cb c t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩. (1)证明：二次方程()()()22220x c b c x b c b c +--+-=必有实根；(2)当15,a =7b =时,求,?c t . 【答案】（1）见解析；（2）1c =，2t = 【解析】 【详解】(1)由()21a tb cb c t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩消去t 得21a c a c b c b b ⎡⎤--⎛⎫=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.变形整理得()()()22220ca c b c a b c b c +--+-=. ①所以,方程()()()22220cx c b c x b c b c +--+-=有实根a .(2)把15,a = 7b =代入式①整理得()()3223737934301363430c c c c c c -+-=⇒--+=.而()223634318190c c c -+=-+>.故1c =.再由a tb c =+,得2t =.39．（2019·全国·高三竞赛）设实数p 、q 、r 满足：存在a 为p 、q 、r 中某一个，且另两个恰为方程()22330x a x a a +-+-=的两实根. 试求333p q r ++的最小可能值.【答案】15 【解析】 【详解】不妨设a p =，则q 、r 恰为方程两根. 由韦达定理知3p q r ++=且23qr p p =-.由()()223430p p p ∆=---≥，知13p -≤≤.则()222222p q r p q r qr ++=++- ()()2223239p p p p =+---=.从而，333p q r ++ ()()2223pqr p q r p q r p q r qr ⎡⎤=+++++-+-⎣⎦()()()22333933p p p p p p p ⎡⎤=-+----⎣⎦ 323927p p =-+，其中，13p -≤≤.对()323927f p p p =-+，求导得()()291892f p p p p p =='--.故()f p 在[]2,3上递增，在[]0,2上递减，在[]1,0-上递增. 则()f p 在[]1,3-上最小值为()(){}min 1,215f f -=. 因此，333p q r ++最小值为15.当2p =，2q =，1r =-时，可取到最小值且符合条件. 40．（2019·全国·高三竞赛）设2006个实数122006,,,a a a 满足20061242320073a a a +++=，20061243420085a a a +++=，2006124 4520097a a a+++=， (2006124)2007200840124013a a a+++=，求代数式32006123574013a a a a ++++的值. 【答案】见解析【详解】记2006n =，并定义()1212na a aR x x x x n=++++++. 则所求代数式为320061211357401322a a a a R ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭. ① 记()()()q x R x p x =， ②其中，()()()()12p x x x x n =+++，()q x 是次数小于n 的多项式.由定义可知()()41,2,,21R k k n k =∀=+从而，多项式()()()421p x x q x -+的次数不大于n ，且1,2,,n 是方程()()()4210p x x q x -+=的根.由代数基本定理有()()()()()()42112p x x q x c x x x n -+=---. ③其中，c 是依赖于12,,,n a a a 的常数，比较式③两端n x 的系数可得()1242n c a a a =-+++.将12x =-代入式③，可得()4121nc n -=+. 另外，将12x =代入式③得()()()413521114222212nn p q n ⨯⨯⨯⨯+⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪+⨯⎝⎭⎝⎭. 由式②得()21122212212q R n p ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭==-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭.将上式代入式①得()2211111122401321R n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭+. 41．（2018·全国·高三竞赛）求出所有使111x y x xyx x y z、、++++均为整数的正有理数组(,,)()x y x x y z ≤≤.【答案】()()()()()(),,1,1,1,1,2,2,2,3,6,2,4,4,3,3,3x y x = 【解析】考虑以x y z 、、为根的多项式()()()()()()32f t t x t y t z t x y x t xy yz zx t xyz =---=-+++++-.注意到xyx 均为整数.所以,()f t 是首项系数为1的整系数多项式.又其根均为有理数,其根的分母为首项系数的约数,故其根均为整数,即x y z 、、均为整数.设111k x y z ++=，因为x y z ≤≤，所以311113k x x x y z ≥++=≥⇒≤(1)当1x =时，11y z+为整数. 若1y =,则只能是1x =,得(1,1,l );若2y =,由3x y z z ++=+为整数,知z 为整数,故z 2=,得(1,2,2); 若3y ≥,则111133y z +=+,矛盾. (2)当2x =时,2111114y 22k y y z ≥+=-≥-⇒≤. 若2y =,则只能是1z =,与2z y ≥=矛盾. 若3y =,则6x =,得(2,3,6); 若4y =,则z 4=,得()2,4,4. (3)当3x =时,21111213y 333k y y z ≥+=-≥-=⇒≤.故(3,3,3). 综上,()()()()()(),,1,1,l ,1,2,2,2,3,6,2,4,4,3,3,3x y x =42．（2018·全国·高三竞赛）已知复平面上的正n 边形,其各个顶点对应的复数恰是某个整系数多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++的n 个复根.求该正多边形面积的最小值.【答案】2sin2n nπ【解析】 【详解】设正n 边形的中心对应的复数为a .将复平面的原点平移到a 后,则该正n 边形的顶点均匀分布在一个圆周上,即它们是方程()nx a b -=(b 是某个复数)的解 于是,()()11100C ninn i n i n n i f x x a x a x a b x a ---=++++=-+-∑＝.对比x 各次项的系数,知1n na a --=为整数,所以,a 为有理数；再结合()11n n a a --=为整数,故a为整数.这样,由a 0=(-a)"-b 为整数,知b 为整数.上述讨论表明,该正n 边形的顶点对应的复数是整系数方程()nx a b -=的解.于是,1.故此正n 边形的面积不小于2sin2n nπ. 而方程1n x =的n 个根在复平面上对应一个正n 边形的n 个顶点, 因此,该正多边形面积的最小值为2sin2n nπ. 43．（2021·浙江·高二竞赛）已知二次函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R 有两个不同的零点.若()2210f x x +-=有四个不同的根1234x x x x <<<，且1x ，2x ，3x ，4x 成等差数列，求-a b 的取值范围. 【答案】25,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】 【详解】设()f x 的两个零点为s ，t ，其中s t <，则可知1x ，4x 为2210x x t +--=的两根；2x ，3x 为2210x x s +--=的两根， 所以14232x x x x +=+=-，141x x t =--，231x x s =--， 又a s t -=+，b st =，所以1(1)(1)a b s t st s t -=---=-++，记113x d =-，21x d =-，31x d =+，413x d =+，其中0d >， 所以22123410251999a b x x x x d d ⎛⎫-=-=-≤⎪⎝⎭. 44．（2021·全国·高三竞赛）设函数32()1f x ax x bx =-+-有三个正零点，求22532(,)()a ab g a b a b a -+=-的最小值.【答案】【解析】 【详解】一方面，当a b==方程3()0(0f x x=⇔=，故此函数()f x有三个相等的零(,)g a b=.设方程3210ax x bx-+-=的三个正实根分别为α､β､γ，则由根与系数的关系可得11,,ba a aαβγαββγγααβγ++=++==.故0,0a b>>.由2()3()αβγαββγγα++≥++知：213ba a≥，可得13ba≤.①又由αββγγα++≥ba≥b≥从而有13ba≤，故13a，解得a≤a b≤，即0b a->，所以2210()3a b a a aa⎛⎫<-≤-⎪⎝⎭②由①②可得222232532511531()33a ab a aPa b a a aa aa-+++=≥=--⎛⎫-⎪⎝⎭，其中0a<≤，设()231533ah aa a+-=，则()()()()2223315113a aa ah a'-+-=<，故()h a在⎛⎝⎦为减函数，故()minh a h==⎝⎭故min(,)g a b=45．（2019·江苏·高三竞赛）已知实数a、b、c均不等于0，且2222,2ma b c m a b c++=++=，求222(2)(2)(2)a m ab m bc m cabc-+-+-的值.【答案】12【解析】【分析】设,,a b c为方程()()()0t a t b t c---=的三个实数根，根据题设条件，化简整理得到24mab bc ca++=，代入方程，求得21(2)4abc t m t=-，进而得到21(2)4abc a m a=-，21(2)4abc b m b =-，21(2)4abc c m c =-，代入即可求解.【详解】设,,a b c 为方程()()()0t a t b t c ---=的三个实数根，即32()()0t a b c t ab bc ca t abc -+++++-=的三个实数根， (1)因为2222,2m a b c m a b c ++=++=，从而()222221()24m ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦. 由(1)式得23204m t t mt abc -+-=，即21(2)4abc t m t =-，于是21(2)4abc a m a =-，21(2)4abc b m b =-，21(2)4abc c m c =-， 从而222222(2)(2)(2)(2)(2)(2)a m a b m b c m c a m a b m b c m c abc abc abc abc-+-+----=++44412=++=.【点睛】本题主要考查了代数式的运算，以及方程根的应用，其中解答中根据题设条件，合理化简abc 的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.46．（2019·全国·高三竞赛）已知非常数的整系数多项式()f x 满足()()()()32324432211xx x f x x x x f x +++=-+-+.①证明：对所有正整数()8n n ≥，()f n 至少有五个不同的质因数. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 式①等价于()()()()()()2231111x x x f x x x x f x +++=--++. ②在式②中分别令3x =-1.则()()210f f f f -====⎝⎭⎝⎭.再在式②中令2,0x =-.则()()100f f -==.故2-、1-、0、1()0f x =的根.则 ()()()()()()22111f x x x x x x x g x =++--+， ③ 其中，()g x 为实系数多项式.由式③得()()()()()()2132111f x x x x x x x g x +=++++++. ④将式③、④代入式②得()()1g x g x =+. 设()0nkk k g x a x ==∑.则()01nnkkk k k k a x a x ===+∑∑.考虑两边1n -次项系数知110n n n n a na a na --=+⇒=. 所以，()g x 为常数c .故()()()()()22111f x c x x x x x x =++---，其中，常数{}\0c Z ∈.首先证明：()()()()2118n n n n n ++-≥至少有四个不同的质因数.否则，()()()211n n n n ++-至多有三个不同的质因数2、3、()2,3p p ≠.但1n -、n 、1n +、2n +两两之间的最大公因数为1、2、3，其中两个奇数互质，则为3a 、()bp a b N +∈、.从而，两个偶数为12c +、()23d c d N +⨯∈、.故231c d-=.解得()()(),2,1,3,2c d =.因此，这两个偶数为8、6或16、18.前者不符，后者得到另两个奇数为15、17或17、19，均导致矛盾.其次，假设存在某个正整数()8n n ≥，使得21n n -+的每个质因数都是()()()211n n n n ++-的质因数，且()()()211n n n n ++-恰有四个质因数，否则，结论成立.显然，()()21,11n n n n -+-=.由()()()()21123237n n n n n n -+=+-+=+-+,知()21,11n n n -++=或3，()21,21nn n -++=或7.故()2137a b n n a b N +-+=∈、.但9|21)n n -+（不能，故{}0,1a ∈，则0b >. 由假设知2n +、1n +、n 、1n -的质因数为2、3、7、()2,3,7p p ≠.则()72n +. 考虑其中两个偶数、两个奇数的质因数集合A 、B .显然，2A ∈，2B ≥，{}3A B ⋂⊆.故2A =或3A =且3A ∈.若{}2,3A =或{}2,7，则两个偶数为12c +、23d ⨯或12c +、27d ⨯，得231c d -=或271c d-=.故这两个偶数为16、18或16、14.前者得7 |（n+2）不能；后者使()()()211n n n n ++-有质因数2、3、5、7及13(或17），矛盾. 若{}2,A p =，则2n +为奇数，1n -为偶数. 由33|A ∈⇒(1)3|n -⇒(2)n -.故()27c n +=，3d n =，且{}21,1en n ∈+- ()2,3c d e N c d e +∈≥≥、、、.从而，()()321,2,3d ed e -=⇒=.于是，9n =.则2117c n +=≠，矛盾.若{}2,3,7A =，则{}3,B p =，且2n +为偶数，()2,13n n +-=. 故()2372n ⨯⨯+.从而，2c n =，13d n -=，1e n p += (),3,2c d e N c d +∈≥≥、、.于是，()()231,2,1c dc d -=⇒=，矛盾.若{}2,3,A p =，则{}3,7B =，且2n +为奇数，()2,13n n +-=.故()372n ⨯+. 但(),21n n +=，则n 的奇质因数不是3、7，矛盾.47．（2019·全国·高三竞赛）已知正ABC ∆的三个顶点在抛物线2y x 上.试求正ABC ∆中心的轨迹方程.【答案】()64222918338413k k k y k+++=-，其中，参数k ≠【解析】 【详解】设AB l ：y kx b =+. ① 由对称性，先不妨设0k ≥.将式①与2y x =联立得20x kx b --=.则A B x x k +=，A B x x b =-，240k b ∆=+>.从而，AB 的中点2,22k k M b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且A B AB x =-=则CM l ：2122k k y x b k ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，即224x k y k ++∆=-+. ②由2C k CM =⇒-((11222C C k k k x x ⇒-===+， 其中，{}1,1ε∈.将式②与2y x =联立得2224C Cx k x k ++∆=-+(2213244k k +∆⇒+∆+=(())22221211313k kkk εε+⇒+-∆⇒=-，其中，213k ≠，且()2221,130;sgn 131,130.k k k ε⎧->=-=⎨--<⎩从而，22221213k k ⎛⎫+∆= ⎪-⎝⎭.故(()22226137112213213C k k k k kx k k ⎡⎤++⎢⎥=+=+=⋅--⎢⎥⎣⎦.设ABC ∆的中心(),O x y .则()22221373223613213M C k k k k x x x k k ⎛⎫+-=+=+=⋅⎪--⎝⎭，()26422229183384413x k k k k y k k ++∆+++=-+=-，其中，参数k ≠48．（2019·全国·高三竞赛）已知方程20x px q ++=和20y py r -+=都有实根（p 、q 、r R ∈，0p ≠），且可以安排适当的顺序分别将两个方程的根记为1x 、2x 和1y ，2y .则11221x y x y -=成立的充要条件是()()242421p q r p q r p -+++=. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 （1）必要性依题意有12x x p +=-，12x x q =， 12y y p +=，12y y r =，()201,2i i x px q i ++==， ()201,2j j y py r i -+==. 由11221x y x y -=，得22221122121221x y x y x x y y +-=.则()()()()112221px q py r px q py r qr ---+----=，()()()211221212221p x y x y pr x x pq y y qr qr -+++-++-=.因为0p ≠，所以， 112221x y x y q r p ⎛⎫+=-++ ⎪⎝⎭.又()()221122112212124x y x y x y x y x x y y +--=，即22114q r qr p ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭.化简得()()242421p q r p q r p -+++=. （2）充分性. 因为0p ≠，则()()244212p p q r p q r =+-++()2222p q r p q r ≥-++.若q r ≥，则244p q r ≥≥； 若q r <，则244p r q ≥>.不论哪种情形，均表明方程20x px q ++=与20y py r -+=有实根. 又12x x p +=-，12x x q =，12y y p +=，12y y r =，。
