高一第12讲 三角函数定义及运用(教师版)

第12讲三角函数定义及运用（教师版）一．学习目标：

1．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

2.三角函数线及运用。

二．重点难点：

1.重点：三角函数的定义及应用。

2.难点：三角函数值符号的确定．三角函数线的应用。

三．知识梳理：

1. 任意角的三角函数:任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝

y

.三个三角函数的初步性质如下表：

各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

3.三角函数线:如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A

(Ⅰ)(Ⅱ)

(Ⅲ)(Ⅳ)

有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线

4

[1]．对角概念的理解要准确

(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等

同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α

(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数

值相等．

[2]． 对三角函数的理解要透彻

三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．

如tan α＝y

x

有意义的条件是角α终边上任一点P (x ，y )的横坐标不等于零，也就是角

α的终边不能与y 轴重合，故正切函数的定义域为⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫

α|α≠k π＋π2

，k ∈Z .

[3] 三角函数线是三角函数的几何表示

(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负． (2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．

(3)当角α的终边在x 轴上时，点T 与点A 重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y 轴上时，点T 不存在，即正切线不存在．

(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．

四．典例剖析：

题型一 任意角三角函数的定义

例1判断题：(1)已知sin α≥0，cos α≥0，则α是第一象限角．( )

(2)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1

2，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α

终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.( )

(3)若点P 在角2

3

π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为(－1，－3)．( )

[答案] (1)× (2)× (3)×

解析] (1)由sin α≥0知，α终边在第一象限或第二象限，或x 轴，或y 轴的非负半轴上；由cos α≥0知，α终边在第一象限或第四象限，或y 轴，或x 轴的非负半轴上．故α终边在第一象限，或x 轴的非负半轴上，或y 轴的非负半轴上．

(2)点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1

2，32在单位圆上，所以sin α＝32，cos α＝－12；而Q (x 0，y 0)不一定在

单位圆上，所以sin α＝y 0，cos α＝x 0不一定成立．

(3)根据三角函数的定义，x ＝|OP |cos 23π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.y ＝|OP |sin 23π＝2×32＝3，∴P 点的坐标为(－1，3)．

例2（1）已知角α的终边经过点P(m ，－3)，且cosα＝－4

5

，则m 等于

A ．－114 B.11

4

C ．－4

D ．4

[自主解答] 由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－4

5，又m<0，解得m ＝－4.

（2）角θ的终边上有一点(a ，a)，a ∈R 且a≠0， 则sin θ的值是

.A.22 B ．－22 C.22或－2

2 D ．1

解析：由已知得r ＝a 2

＋a 2

＝2|a|，

sin θ＝a

r

＝

a

2|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧

22a>0，－2

2a<0

所以sin θ的值是

22或－2

2

. （3）[2011年高考江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若

P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25

5，则y ＝________．

解：若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x

.

P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝

y

16＋y

2

，又sin θ＝－25

5， ∴

y

16＋y

2

＝－25

5，解得y ＝－8. 例3（1） 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，

∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t .

r ＝x 2＋y 2＝22

(4)(3)t t +-＝5|t |，

当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3

4；

当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3

4

.

(2)设90°≤α<180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝2

4

x ，求sin α与tan α的值；

解析：(1)∵r ＝x 2

＋5，∴cos α＝

x x 2＋5，从而24x ＝x

x 2＋5

，解得x ＝0或x ＝± 3.

∵90°≤α<180°，∴当x ＝－3时r ＝22，sin α＝522

＝10

4，

tan α＝5－3

＝－15

3.当0x = 时，sin α=5 ，tan α不存在。

例4 角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值． 解析 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．

所以，sin α＝－2a a 2＋－2a 2＝－25，cos α＝a a 2＋－2a 2＝1

5

，

tan α＝－2a a ＝－2，sin β＝a 2a 2＋a 2＝15，cos β＝2a 2a 2＋a 2

＝2

5， tan β＝a 2a ＝1

2，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β

＝－25×15＋15×25＋(－2)×1

2＝－1.

课堂小结：任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首

先判定P 点所在的象限，确定r ，最后根据定义求解．

课堂练习1：（1）点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2

＝1逆时针方向运动2π3

弧长到达Q 点，

则Q 点的坐标为( )．