[考纲传真] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．１．二项式定理（１）二项式定理：（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n—１b＋…＋C错误!a n—r b r＋…＋C错误!b n （n∈N*）；（２）通项公式：T r＋１＝C错误!a n—r b r，它表示第r＋１项；（３）二项式系数：二项展开式中各项的系数C错误!，C错误!，…，C错误!.２．二项式系数的性质（１）0≤r≤n时，C错误!与C错误!的关系是错误!.（２）二项式系数先增大后减中间项最大当n为偶数时，第错误!—１项的二项式系数最大，最大值为C错误!n；当n为奇数时，第错误!项和错误!项的二项式系数最大，最大值为错误!１．C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝２n.２．C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝２n—１.[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）C错误!a n—k b k是（a＋b）n的展开式中的第k项．（）（２）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．（）（３）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．（）（４）通项T k＋１＝C错误!a n—k b k中的a和b不能互换．（）[答案] （１）×（２）×（３）√（４）√２．（教材改编）（１—２x）４展开式中第３项的二项式系数为（）Ａ．6 Ｂ．—6Ｃ．２４Ｄ．—２４A[（１—２x）４展开式中第３项的二项式系数为C错误!＝6．故选Ａ．]３．（教材改编）二项式错误!５的展开式中x ３y ２的系数是（ ） Ａ．５ Ｂ．—２0 Ｃ．２0 Ｄ．—５A [二项式错误!５的通项为T r ＋１＝C 错误!错误!５—r（—２y ）r .根据题意，得错误!解得r ＝２．所以x ３y ２的系数是C 错误!错误!３×（—２）２＝５．故选Ａ．]４．（教材改编）错误!的值为（ ） Ａ．１ Ｂ．２Ｃ．２ 0１9Ｄ．２ 0１9×２ 0２0B [原式＝错误!＝错误!＝１．故选Ａ．]５．（１＋x ）n 的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________. １0 [∵T 6＝C 错误!x ５，又仅有第6项的系数最大，∴n ＝１0．]二项展开式的有关问题【例１】 （１）（x ２＋２）错误!５的展开式的常数项是（ ） Ａ．—３ Ｂ．—２ Ｃ．２Ｄ．３（２）（２0１8·广州二模）错误!6的展开式中，x ３y ３的系数是________．（用数字作答）（１）D （２）—１２0 [（１）能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x ２项，第二个因式取错误!项得x ２×错误!×C 错误!（—１）４＝５；第一个因式取２，第二个因式取（—１）５得２×（—１）５×C 错误!＝—２，故展开式的常数项是５＋（—２）＝３，故选Ｄ．（２）错误!6表示6个因式x ２—错误!＋y 的乘积，在这6个因式中，有３个因式选y ，其余的３个因式中有２个选x ２，剩下一个选—错误!，即可得到x ３y ３的系数．即x ３y ３的系数是C 错误!C 错误!×（—２）＝２0×３×（—２）＝—１２0．][律方规法] 求二项展开式中的特定项的方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋１＝C 错误!a n —k b k 的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围（k ＝0,１,２，…，n ）．（１）第m 项：此时k ＋１＝m ，直接代入通项；（２）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； （３）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．（４）求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦．6Ａ．±２ Ｂ．错误! Ｃ．—２Ｄ．±错误!（２）已知在错误!n的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是________．（１）A （２）错误!x ２，—错误!，错误!x —２ [（１）错误!6的展开式的通项为T r ＋１＝C 错误!（x２）6—r 错误!r＝C 错误!错误!r x １２—３r ，令１２—３r ＝0，得r ＝４．故C 错误!·错误!４＝错误!，即错误!４＝错误!，解得a ＝±２．故选Ａ．（２）由T r ＋１＝C 错误!·（错误!）n —r ·错误! r＝错误!rC 错误!·x 错误!.∵第6项为常数项，∴r ＝５时有错误!＝0，即n ＝１0．当错误!时，即r ＝２,５,8时错误!∈Z ，所以展开式中的有理项分别为错误!x ２，—错误!，错误!x —２.] 二项式系数的性质及应用►考法１ 二项式系数的和【例２】 （１）在错误!n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为３２∶１，则x ２的系数为（ ）Ａ．５0 Ｂ．70 Ｃ．90Ｄ．１２0（２）（２0１9·汕头质检）若（x ＋２＋m ）9＝a 0＋a １（x ＋１）＋a ２（x ＋１）２＋…＋a 9（x ＋１）9，且（a0＋a ２＋…＋a 8）２—（a １＋a ３＋…＋a 9）２＝３9，则实数m 的值为________．（１）C （２）—３或１ [（１）令x ＝１，则错误!n＝４n ，所以错误!n的展开式中，各项系数和为４n ，又二项式系数和为２n ，所以错误!＝２n ＝３２，解得n ＝５．二项展开式的通项T r ＋１＝C 错误!x ５—r 错误!r＝C 错误!３r x ５—错误!r ，令５—错误!r ＝２，得r ＝２，所以x ２的系数为C 错误!３２＝90，故选Ｃ．（２）令x ＝0，则（２＋m ）9＝a 0＋a １＋a ２＋…＋a 9， 令x ＝—２，则m 9＝a 0—a １＋a ２—a ３＋…—a 9，又（a 0＋a ２＋…＋a 8）２—（a １＋a ３＋…＋a 9）２＝（a 0＋a １＋a ２＋…＋a 9）（a 0—a １＋a ２—a ３＋…＋a 8—a 9）＝３9，∴（２＋m ）9·m 9＝３9，∴m （２＋m ）＝３， ∴m ＝—３或m ＝１．] ►考法２ 二项式系数的性质【例３】 设m 为正整数，（x ＋y ）２m 展开式的二项式系数的最大值为a ，（x ＋y ）２m ＋１展开式的二项式系数的最大值为b ，若１３a ＝7b ，则m ＝（ ）Ａ．５ Ｂ．6 Ｃ．7Ｄ．8B [根据二项式系数的性质知，（x ＋y ）２m 的二项式系数最大的项有一项，即C 错误!＝a ，（x ＋y ）２m ＋１的二项式系数最大的项有两项，即C 错误!＝C 错误!＝Ｂ．又１３a ＝7b ，所以１３C 错误!＝7C 错误!，将各选项中m 的取值逐个代入验证，知m ＝6满足等式．][规律方法] （１）“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如（ax ＋b ）n ，（ax ２＋bx ＋c ）m （a ，b ，c ∈R ）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．（２）若f （x ）＝a 0＋a １x ＋a ２x ２＋…＋a n x n ，则f （x ）展开式中各项系数之和为f （１），奇数项系数之和为a 0＋a ２＋a ４＋…＝错误!，偶数项系数之和为a １＋a ３＋a ５＋…＝错误!.（１）若错误!n的展开式中含x 的项为第6项，设（１—３x ）n ＝a 0＋a １x ＋a ２x ２＋…＋a n x n ，则a １＋a ２＋…＋a n 的值为________．（２）已知错误!n的展开式中的二项式系数和为３２，错误!错误!n的展开式中的各项系数的和为２，则该展开式中的常数项为________．（１）２５５ （２）４0 [（１）错误!n展开式的第k ＋１项为T k ＋１＝C 错误!（x ２）n —k ·错误!k＝C 错误!（—１）k x ２n —３k ， 当k ＝５时，２n —３k ＝１，∴n ＝8． 对（１—３x ）8＝a 0＋a １x ＋a ２x ２＋…＋a 8x 8， 令x ＝１，得a 0＋a １＋…＋a 8＝２8＝２５6． 又当x ＝0时，a 0＝１， ∴a １＋a ２＋…＋a 8＝２５５．（２）错误!n的展开式中的二项式系数和为３２，所以２n ＝３２，所以n ＝５．令x ＝１，得错误!错误!n的展开式中的各项系数的和为（１＋a ）（２—１）５＝２，所以a ＝１，所以错误!错误!５的展开式中的常数项为C错误!·（—１）３·２５—３＋C错误!·（—１）２·２５—２＝４0．]１．（２0１7·全国卷Ⅰ）错误!（１＋x）6展开式中x２的系数为（）Ａ．１５Ｂ．２0Ｃ．３0 Ｄ．３５C[因为（１＋x）6的通项为C错误!x r，所以错误!（１＋x）6展开式中含x２的项为１·C错误!x２和错误!·C错误!x４.因为C错误!＋C错误!＝２C错误!＝２×错误!＝３0，所以错误!（１＋x）6展开式中x２的系数为３0．故选Ｃ．]２．（２0１５·全国卷Ⅰ）（x２＋x＋y）５的展开式中，x５y２项的系数为（）Ａ．１0 Ｂ．２0Ｃ．３0 Ｄ．60C[法一：利用二项展开式的通项公式求解．（x２＋x＋y）５＝[（x２＋x）＋y]５，含y２的项为T３＝C错误!（x２＋x）３·y２.其中（x２＋x）３中含x５的项为C错误!x４·x＝C错误!x５.所以x５y２项的系数为C错误!C错误!＝３0．故选Ｃ．法二：利用组合知识求解．（x２＋x＋y）５为５个x２＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x２，一个取x即可，所以x５y２的系数为C错误!C错误!C错误!＝３0．故选Ｃ．]。
