湖南省衡阳市第八中学2018届高三上学期第五次月考数学(理)试卷(含答案)

2024年下期第一次阶段检测试题八年级数学注意：考试时量为120分钟 总分120分同学们：数学的海洋广阔无垠，承载着你的想象，指引着你的未来.用数学思维，解锁世界的美好吧！一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.下列实数中是无理数的是（ ）A.3.14D.2.9的算术平方根为（）A.3B. C. D.813.下列计算正确的是（ ）A. B. C. D.4.下列各式中正确的是（ ）C.5.下列能用平方差公式计算的是（ ）A. B. C. D.6.下列说法中，不正确的个数是（ ）①实数包括有理数、无理数和零；②有理数和数轴上的点一一对应；③所有无理数都是无限不循环小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1.A.1个B.2个C.3个D.4个7.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. B. C. D.8.已知：，，计算：的结果是（ ）A.1B.3C.D.9.3x 加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（ ）A. B. C. D.10.我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式，给出以下4组图形及相应的代数恒等式：①②③④173±3-22321a a -=32(0)a a a a ÷=≠236a a a ⋅=33(2)6a a =3=±3=-4=2=-()()x y x y -+-(2)(2)x y y x +-(1)(1)x x -+(2)(1)x x -+22(3)9a a -=-552a =443b =334c =a b c >>b c a >>b a c >>c b a>>2a b +=1ab =-(2)(2)a b --1-5-32633x x x -+221x x +-2221x x ++2221x x --241x x -+222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+22()()a b a b a b +-=-其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11.在1，，，四个实数中，最小的是__________.12.若实数x ，y 满足，则的值为__________.13.如果为完全平方式，那么的值是__________.14.计算的结果为__________.15.因式分解：__________.16.若，，则的值为__________.17.若的乘积中不含项，则常数的值为__________.18.我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如：请利用以上规律求出的展开式中的值为__________.三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分）19.计算：.20.先化简，再求值：，其中，.21.已知的立方根是2，的算术平方根是4，c的整数部分.22()()4a b a b ab-=+-0|7|0x +=x y +26x x n -+n 2142a b a =24ab a -=6x a =4y a =2x y a -()2(1)3x x ax a +-+2x a ()n a b +n 6(21)x -654326543210a x a x a x a x a x a x a ++++++125a a a ++2024|1|(1)-+-+-2()()()2(2)a b a b a b a a b -++---1a =2b =-52a -61a b +-（1）求a ，b ，c 的值；（2）求的平方根.22.“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办.苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味.现有一张长方形绣布，长、宽之比为3：2，绣布面积为.（1）求绣布的周长；（2）刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为？的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（取3）23.规定，如：.（1）若，求的值；（2）求的值.24.阅读并解决问题：分解因式.解：设，则原式.这样的解题方法叫做"换元法"，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用一个字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请用"换元法"对下列多项式进行因式分解：（1）；（2）25.【阅读与思考】下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：对于依次排列的多项式，，，（a ，b ，c ，d 是常数），当他们满足，且是常数时，则称a ，b ，c ，d 是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子.例：对于多项式，，，来说，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子.【任务一】（1）已知6，7，8，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M 的值；【任务二】523a b c -+2384dm 2198dm π1*a b ab =-2*32315=⨯-=214463*x -=x 202220234*(0.75)3⎛⎫- ⎪⎝⎭2()2()1a b a b ++++a b x +=22221(1)(1)x x x a b =++=+=++2()18()81m n m n +-++()()2242464x x x x -+-++x a +x b +x c +x d +()()()()x a x d x b x c M ++-++=M M 2x +1x +6x +5x +(2)(5)(1)(6)x x x x ++-++ ()()2271076x x x x =++-++4=2∴（2）若2，4，m ，是一组平衡数，求m 的值；【问题解决】（3）当a ，b ，c ，d 之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由.26.两个边长分别为和的正方形按如图1所示的方式放置，其末叠合部分（阴影）面积为，若再在图1中大正方形的左下角摆放一个边长为的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为.图1 图2 图3（1）用含a 、b 的代数式分别表示：__________，__________；（2）若，，求的值；（3）当时，求出图3中阴影部分的面积和（即的值）.9-a ()b a b >1S 12b b a ⎛⎫>⎪⎝⎭2S 1S =2S =10a b +=24ab =1232S S +1232S S +=34S S +。

湖南省衡阳市八中教育集团先修班2023-2024学年八年级下学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．已知自然数n 小于50，且(45)n +和(76)n +有大于1的公因数，则所有n 的可能值为（ ）A ．18B ．20C ．30D ．40二、单选题2．已知ABC V 中，15AB =，AC =，且BC 边上的高12AD =，则BC 的长为（ ） A ．2B ．3C ．3或15D ．15三、多选题3．已知关于x 的不等式组()21329x x k x x ⎧--≤⎪⎨+>⎪⎩有且只有三个整数解，且一次函数5y kx k =+-的图象不经过第四象限，则下列四个数中符合条件的整数k 值有（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8四、单选题 4）ABCD五、多选题5．如图，己知在,ABC ADE V V 中，90,,BAC DAE AB AC AD AE ∠=∠=︒==，点C ，D ，E 点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个选项正确的是（ ）A ． BD CE =B ．BDE BDC V V ≌C ．若22.5ABE AEB ∠∠+=︒，则AD CD =D ．()22222BE AD AB CD =+-6．如图，直线:l y t =+与x 轴交于点(3A ，直线m 与x 交于点(2,0)B -与l 交于第一象限内一点C ，点D 与点B 关于y 轴对称，点E 为直线l 上一动点，连接DC DE BE 、、，若DBE DEB ∠=∠，2DEC DCE ∠=∠，则2CD 的值为（ ）A ．20+B ．44+C ．20-D ．44-六、填空题7．左图是我国古代南北朝时期独孤信的印章，其俯视图如右图所示，该印章有 条棱，若棱长均为1、则表面积等于 ．8．设x ，y ，z 2222228627221061271427x y z xy xz yzx y z xy xz yz-++--=----+ ．9．已知232131250n n n n a x a ay a x a y --⎧-+=⎨--=⎩，若9n a =，则1n n a x a y --= ． 10．如图，在Rt ABC △内一动点P ，90C ∠=︒，连接AP 并延长与BC 交于点E ，连接BP 并延长与AC 交于点F ．若,,AC BE AF EC APF ==∠= ．七、解答题11．长沙市某中学举办球赛，分为若干组，其中第一组有A ，B ，C ，D ，E 五个队，这五个队要进行单循环比赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜，每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分（如2：0或2：1的积分不同），积分均为正整数．（注：圈中的“2：1”表示在E 队与B 队的这场比赛中E 队赢两局，输一局，E 队以2：1的比分战胜B 队．）根据上表回答问题：（1）当B 队的总积分8y =时，上表中m 处应填 ； （2）写出C 队总积分p 的所有可能值为 ． 12．计算：(1)设实数a ，b 满足22861050a ab a b b --++=，求216643W a b =-+的最小值． (2)设333311111232024T =++++L ，求4T 的整数部分． 13．1月份，甲、乙两超市从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲超市用1260元购进的商品数量比乙超市用1470元购进的数量少10件． (1)求该商品的单价：(2)2月份，两超市以单价a 元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变． ①试用含a 的代数式表示两家超市两次购进该商品的平均单价．②已知15a =，甲超市1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1260元，求甲超市1月份可能售出该商品的数量．14．在ABC V 中，点E 在BC 上，点H 在AC 上，连接AE 和BH 交于点F ．(1)如图1，AB AC =，2AFB ACB ∠=∠．求证：ABH CAE ∠=∠；(2)在（1）的条件下，如图2，连接FC ，若AH CH =，求证：FC 平分EFH ∠；(3)如图3，=45ABC ∠︒，AB =8AC =，7BC >，若AH CE =，求AE BH +的最小值．15．阅读：多项式232x x ++可以分解因式得232(2)(1)x x x x ++=++，故方程2320x x ++=可以变形为(2)(1)0x x ++=，解得2x =-或=1x -．通过观察多项式的因式与方程的解的关系，发现2x =-，=1x -是该方程的解，()()21x x ++，是对应多项式的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过对其对应方程的解来确定其中的因式．运用：已知432631M x x ax bx =+++-，43232544N x ax x bx =-+--，其中a b ，为整数，试求出使M N ，有公共因式的全部a b ，，并写出相应的公共因式．16．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，1ab =，求证：11111a b+=++．证明：左边111111ab b ab a b b b=+=+==++++右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a ，b ，则面积为12ab ，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．在222a b ab +≥中，若00a b >>，，a ，b 得，a b +≥即*2a b+≥），我们把(*)式称为基本不等式．例如：在0x >的条件下，1x x +≥12x x ∴+≥，当且仅当1x x =，即1x =时，1x x+有最小值，最小值为 2．阅读材料三：正实数a ，b 满足1a b +=，求12a b+的最小值?其中一种解法是：12122()123b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭2b aa b=且1a b +=时，即1a 且2b =请同学们根据以上所学的知识解决下列问题．(1)若2x >，求12y x x =+-的最小值________；若0x ≥，求y =的最小值________．(2)已知0,0a b >>且1a b +=，求1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是?(3)0,0a b >>，且21a b +=，不等式1102m b a b+-≥+恒成立，求m 的范围? (4)已知0,0,a b >>且2233a b ab a b +=+，求3a b +的最小值?。

湖南省衡阳八中2018届高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合P={0，1}，M={x|x⊆P}，则集合M的子集个数为（）A．16 B．32 C．8 D．642．（5分）下列命题中，真命题是（）A．ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件B．∃x∈R，e x＜0C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．∀x∈R，2x＞x23．（5分）若（x+）n展开式中第32项与第72项的系数相同，那么展开式的最中间一项的系数为（）A．C B．C C．C D．C4．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C 的方程为（）A．B．C．D．5．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=）A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸6．（5分）定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子的值为（）A．13 B．11 C．8 D．47．（5分）全国十运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A．C1412C124C84B．C1412A124V84C．D．C1412C124C84A338．（5分）若函数f（x）=sin（3x+φ），满足f（a+x）=f（a﹣x），则的值为（）A．B．±1 C．0 D．9．（5分）设{a n}为等差数列，且a3+a7﹣a10=2，a11﹣a4=7，则数列{a n}的前13项的和为S13=（）A．63 B．109 C．117 D．21010．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是（）（1）AC⊥BE；（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为；（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值；（4）在空间与三条直线DD1，AB，B1C1都相交的直线有无数条．A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）已知函数，则函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB角的平分线，I 为PC上一点，满足=+λ（+）（λ＞0），，，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：每题5分，满分20分13．（5分）函数y=3sin（2x+），x∈[0，π]的单调递减区间为．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣1，S n=2a n+n（n∈N*），则a n=．15．（5分）已知x，y满足则的取值范围是．16．（5分）下列说法：其中正确的个数是①命题“∃x∈R，2x≤0”的否定是“∀x∈R，2x＞0”；②关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是a＜3；③对于函数，则有当a=1时，∃k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）﹣kx在R上有三个零点；④．三、解答题（本大题7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知直线x=与直线x=是函数的图象的两条相邻的对称轴．（1）求ω，φ的值；（2）若，f（α）=﹣，求sinα的值．18．（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM∥平面BDE；（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．19．（12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点R（﹣1，0）的直线l与椭圆C交于P，Q两点，且=2．（1）当直线l的倾斜角为60°时，求三角形OPQ 的面积；（2）当三角形OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x有且只有一个零点，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（Ⅲ）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2∈（﹣1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式＞恒成立．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．（Ⅰ）求C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．【选修4-5：不等式选讲】23．对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a﹣b|≥M•|a|恒成立，记实数M的最大值是m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）解不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m．【参考答案】一、选择题1．A【解析】∵集合P={0，1}，M={x|x⊆P}，含有n个元素的集合的子集共有：2n个，∴集合M有4个元素{∅，{0}，{1}，{0，1}}，4个元素的集合子集个数24=16．故选：A．2．A【解析】ac2＜bc2可得a＜b，反之不成立，ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件正确；∃x∈R，e x＜0由指数函数的性质可知，B不正确；若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，所以C不正确；当x=2时，2x=x2，所以∀x∈R，2x＞x2，不正确．故选：A．3．D【解析】由题意可得=，∴n=31+71=102，∴（x+）n展开式的最中间一项的系数为，故选：D．4．A【解析】∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2，∴双曲线的方程为．故选：A．5．B【解析】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．∵积水深9寸，∴水面半径为（14+6）=10寸，则盆中水的体积为π×9（62+102+6×10）=588π（立方寸）．∴平地降雨量等于=3（寸）．故选：B．6．A【解析】∵运算S=a⊗b中S的值等于分段函数的函数值，∴=2ⓧ1+2ⓧ3=2×（1+1）+（2+1）×3=13故选A7．A【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，先从14人中选出12人，再将12人进行分组，且每组4人，这是一个平均分组因为每一个组的去向不同，所以只要分组以后把这个组分到不同的岗位即可,∴有C1412C124C84种结果，故选A．8．C【解析】对于任意的x∈R，函数f（x）=sin（3x+φ），满足条件f（a+x）=f（a﹣x），∴函数关于x=a对称，x=a时函数取得最值，∴3a+φ=k，k∈Z，∴=sin（3a++φ）=sin（+）=0；故选：C．9．C【解答】解；∵{a n}为等差数列，且a3+a7﹣a10=2，a11﹣a4=7，∴a3+a7﹣a10+a11﹣a4=7+2=9，即3a7﹣2a7=a7=9，∴S13==117．故选：C．10．A【解析】对于（1），连接BD，∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE．故（1）正确；对于（2），由AA1∥面BDD1B1，则P点到面BEF的距离等于A到面BDD1B1的距离为，故（2）正确；对于（3），在三棱锥A﹣BEF中，底面积是定值，高是定值，所以体积是定值，故（3）正确；对于（4），在AC上任取点P，过点P和直线DD1确定面α，设面α∩面BCC1B1=l，则l与直线B1C1必有交点G（若l∥B1C1，则B1C1∥DD1，矛盾），则直线PG就是所画的直线，因为点P的任意性，所以这样的直线有无数条，故（4）正确．故选：A．11．A【解析】如图所示：设t=f（x），则函数等价为y=f（t）+1，由y=f（t）+1=0，得f（t）=﹣1，若t≤0，则﹣t+1=﹣1，即t=2，不满足条件．若t＞0，则ln t=﹣1，则t=，满足条件．故函数y=f[f（x）]+1的零点个数只有1个，故选：A．12．B【解析】∵，PC是∠APB角的平分线，又满足=+λ（+）（λ＞0），即=λ，所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△P AB的内切圆，如图，分别切P A，PB于E、F，∵，，====3，在直角三角形BIH中，cos∠IBH=，所以=cos∠IBH==3．故选：B．二、填空题13．[，]【解析】y=3sin（2x+），k∈Z，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，当k=0时，≤x≤，x∈[0，π]的单调递减区间为：[，]，故答案为：[，]．14．1﹣2n【解析】∵S n=2a n+n，∴当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1+n﹣1，两式相减得S n﹣S n﹣1=2a n+n﹣（2a n﹣1+n﹣1），即a n=2a n﹣2a n﹣1+1，即a n=2a n﹣1﹣1，即a n﹣1=2a n﹣1﹣1﹣1=2（a n﹣1﹣1），故数列{a n﹣1}是公比q=2，首项为a1﹣1=﹣1﹣1=﹣2的等比数列，则a n﹣1=﹣2•2n﹣1=﹣2n，故a n=1﹣2n，故答案为：1﹣2n．15．[﹣1，]【解析】由于z==，由x，y满足约束条件所确定的可行域如图所示，考虑到可看成是可行域内的点与（4，1）构成的直线的斜率，结合图形可得，当Q（x，y）=A（3，2）时，z有最小值1+2×=﹣1，当Q（x，y）=B（﹣3，﹣4）时，z有最大值1+2×=，所以﹣1≤z≤．故答案为：[﹣1，]16．3【解析】对于①，命题“∃x∈R，2x≤0”的否定是“∀x∈R，2x＞0”，故①正确；对于②，∵0≤sin2x≤1，令sin2x=t，∴sin2x+=t+，则令f（t）=t+，t∈[0，1]，根据其图象可知，当x＞时，f（t）为递增的，当0＜x≤时，f（t）为递减的，∵t∈[0，1]，∴f（t）≥f（1）=1+2=3，∴sin2x+≥3∵a＜sin2x+恒成立时，只要a小于sin2x+的最小值即可，故a＜3，故②正确；③函数的定义域为实数集R，图象如图所示∵g（0）=f（0）﹣0=0，∴x=0是函数g（x）的一个零点；当x＞0时，若∃k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）﹣kx在区间（0，+∞）上有零点，则方程=0必有解，此方程化为kx=1﹣k，∵x=＜0，∴此方程无解，∴不存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）﹣kx在区间（0，+∞）上有零点；同理不存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）﹣kx在区间（﹣∞，0）上有零点，故③不正确；④由定积分的几何意义知，=＜1，由微积分基本定理知，=，则＜，故④正确．故答案为：3三、解答题17．解：（1）因为直线、是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以，函数的最小正周期T=2×=2π，从而，因为函数f（x）关于直线对称．所以，即．又因为，所以．（2）由（1），得．由题意，．由，得．从而．，=．18．证明：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系设AC∩BD=N，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），∴=（，又点A、M的坐标分别是（）、（∴=（∴=且NE与AM不共线，∴NE∥AM又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDF解：（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，∴AB⊥平面ADF∴为平面DAF的法向量∵=•=0，∴=•（，，1）=0得，,∴NE为平面BDF的法向量,∴cos＜＞=,∴的夹角是60°,即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°.（3）设P（x，x，0），，，则cos=||，解得或（舍去）所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°．19．解：（1）甲小组做了三次试验，至少两次试验成功的概率为：P（A）==．（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为=12种，所以所求的概率为P（B）=12×=．（3）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=++=，P（ξ=3）=+=，P（ξ=4）=•=，∴ξ的分布列为：Eξ==．20．解：（1）由e==，可得c=a，b=a，直线l：y=（x+1）代入椭圆方程可得（b2+3a2）x2+6a2x+3a2﹣a2b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=﹣=﹣，x2x1==，由=2，可得﹣1﹣x1=2（x2+1），解方程可得x1=﹣，x2=﹣，即有|y1﹣y2|=|x1﹣x2|=，三角形OPQ的面积为S=|OR|•|y1﹣y2|=×1×=；（2）由（1）知，3b2=a2，∴椭圆的方程为x2+3y2=3b2，①显然，直线l的斜率不为0；若直线l与x轴垂直，此时P，Q关于x轴对称，不满足=2；因此，可设直线l的方程为y=k（x+1）②，将②代入①中整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣3b2=0，因为直线l与椭圆交于P，Q两点，所以△=12（3k2b2﹣k2+b2）＞0，③设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣④，x1x2=⑤由=2，得（﹣x1﹣1，﹣y1）=2（1+x2，y2），∴⑥由④⑥得x1=，x2=﹣⑦∴S△OPQ=|y1﹣y2|=|k||x1﹣x2|==≤=当且仅当3|k|=，即k2=时，等号成立．∴k2=时，S△OPQ取得最大值．由⑦求得x1=1，x2=﹣2，代入⑤，求得b2=，满足③．故所求椭圆的方程为x2+3y2=5，即+=1．21．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣a，+∞），．由f'（x）=0，得x=1﹣a＞﹣a．∵当﹣a＜x＜1﹣a时，f'（x）＞0；当x＞1﹣a时，f'（x）＜0，∴f（x）在区间（﹣a，1﹣a]上是增函数，在区间[1﹣a，+∞）上是减函数，∴f（x）在x=1﹣a处取得最大值．由题意知f（1﹣a）=﹣1+a=0，解得a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）﹣x，当k≥0时，取x=1得，f（1）=ln2﹣1＜0，知k≥0不合题意．当k＜0时，设g（x）=f（x）﹣kx2=ln（x+1）﹣x﹣kx2．则．令g'（x）=0，得x1=0，．①若≤0，即k≤﹣时，g'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，从而总有g（x）≥g（0）=0，即f（x）≥kx2在[0，+∞）上恒成立．②若，即时，对于，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减．于是，当取时，g（x0）＜g（0）=0，即f（x0）≥不成立．故不合题意．综上，k的最大值为．（Ⅲ）由h（x）=f（x）+x=ln（x+1）．不妨设x1＞x2＞﹣1，则要证明，只需证明，即证，即证．设，则只需证明，化简得．设，则，∴φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（t）＞φ（1）=0．即，得证．故原不等式恒成立．22．解：（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为y2=8x．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0．解得t1=8，t2=．∴弦长|AB|=|t1﹣t2|==．23．解：（Ⅰ）不等式|a+b|+|a﹣b|≥M•|a|恒成立，即M≤对于任意的实数a（a≠0）和b恒成立，故只要左边恒小于或等于右边的最小值．因为|a+b|+|a﹣b|≥|（a+b）+（a﹣b）|=2|a|，当且仅当（a﹣b）（a+b）≥0时等号成立，即|a|≥|b|时，≥2成立，也就是的最小值是2，故M的最大值为2，即m=2．（Ⅱ）不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m即|x﹣1|+|x﹣2|≤2．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上和对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，故|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解集为：{x|≤x≤}．。

衡阳八中2017年下期高三年级第三次月考试卷理数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.在n元数集S={a1，a2，…a n}中，设X（S）=，若S的非空子集A满足X （A）=X（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为f s（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（）A．f s（4）=f s（5）B．f s（4）=f T（5）C．f s（1）+f s（4）=f T（5）+f T（8）D．f s（2）+f s（3）=f T（4）2.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为（）A．B．C．D．5.已知{a n}为等比数列且满足a6﹣a2=30，a3﹣a1=3，则数列{a n}的前5项和S5=（）A．15 B．31 C．40 D．1216.函数的图象可由函数的图象至少向右平移（）个单位长度得到．A． B． C．D．7.设变量X，Y满足约束条件，且目标函数Z=+（1，b为正数）的最大值为1，则a+2b的最小值为（）A．3 B．6 C．4 D．3+28.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b 分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．59.某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．10.已知函数f（x）=（其中e为自对数的底数），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11.椭圆x2+=1（0＜b＜1）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△FAB的外接圆圆心P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．（，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，）12.设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，都有f（x）=4x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜4x，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，则实数m的取值范围是（）A.[﹣，+∞）B.[﹣，+∞）C.[﹣1，+∞）D.[﹣2，+∞）第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.已知向量，的夹角为45°，||=，||=3，则|2﹣|= ．14.在二项式（1+）8的展开式中，x3的系数为m，则（mx+）dx= ．15.抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，则k= ．16.表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分12分）设函数f（x）=sinx（cosx﹣sinx）．（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（2）设△ABC的三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f（B）=0，a、b、c成公差大于零的等差数列，求的值．18.（本题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E，（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．19.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ： =1（a＞b＞0）的离心率为，直线l 与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在点E，使得为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．20.（本题满分12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=﹣ax+b．（I）讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）单调区间；（II）若直线g（x）=﹣ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求b﹣a的最小值．选做题请从22、23题中任选一题作答，共10分。