2009-2010(2)BD

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2009—2010 学年 第 二 学期 《高等数学》 课试题 B 卷

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第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 第八题 第九题 第十题 卷面分数 平时成绩 总分

二、填空题(共15分,每小题3分)

1.设。,则且3ca,),10,1,4(),2,1,2(abcba

2..求曲面122yxz上点(1,1,0)处的法线方程12121zyx。

3.函数xyez3在点)1,1(沿与x轴正向成3方向的方向导数)33(23)1,1(edldz。

4.设)(xf为连续函数,tydxxfdytF11,)()(则.)2()2(fF

5.第二类曲面积分RdxdyQdzdxPdydz化成第一类曲面积分是dsRQP)coscoscos(。

二、选择题(共20分,每小题4分)

1.二元函数),(yxf在点),(yx函数在该点偏导数yf及xf存在,是函数在该点可微分的( B )条件。

(A)充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 即非充分也非必要

2.设曲面是上半球面:)0(2222zRzyx,曲面1是曲面在第一卦限中的部分,则有( C )。

(A)14xdsxds (B) 14ydsyds (C)14zdszds (D)14xyzdsxyzds

3.判断极限yxxyx00lim( C )

(A).0 (B).1 (C).不存在 (D).无法确定

4.设有级数0lim,1nnnnuu是它收敛的( B )条件。

(A)充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 即非充分也非必要

5.级数nn)1( ( B )

(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D) 无法判断

得分

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三、计算题(共 56 分,每小题 7 分)

1.求过点(-1,0,4),且平行于平面,01043zyx又与直线21311zyx相交的直线方程。

2.设具有连续偏导数),,,(wvufz ,而wvu,,.,,zzz求

3.计算二重积分Dydxsin)1(,其中D是顶点分别为(0,0)、(1,0)、(1,2)和(0,1)的梯形闭区域。

4.计算曲线积分,)2cos()2sin(Lxxdyyedxyye其中L为上半圆周)0()(222yayax沿逆时针方向; 得分

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5.计算曲面积分的上侧。为半球面其中222,yxRzzdxdyydzdxxdydz

解:

6.计算,dSzyx其中 是由平面1zyx与坐标面所围成的四面体的表面.

解: 设4321,,,分别表示 在平面0,0,0zyx,1zyx上的部分, 则

原式=4321Szyxd4dSzyx10d3xxxyyxy10d)1(1203

其中,,1:4yxz1010:),(xxyDyxyx

7.求幂级数)1(21212nnnxn的和函数。 2009—2010 学年 第 二 学期 《高等数学》 课试题 B 卷

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8.试将)()(2xxxf展开成傅立叶级数,并求121nn。

解 将)(xf进行周期延拓,得到周期为2的连续函数)(xF,且为偶函数,故可展开成余弦级数。

,3,2,1,)1(4,32220nnaann

由收敛定理, 122cos)1(43)(nnnxnxF。

即1222cos)1(43nnnxnx)(x。

特别取x时,1222cos)1(43nnnn,121nn=62;

四.应用题(共7分)

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为21pp和,销售量分别为,和21qq需求函数分别为

221105.010,2.024pqpq

总成本函数为

)(403521qqC

试问:厂家如何确定两个市场的售价,能使获得的总利润最大?最大总利润为多少? 得分

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五、证明题(共16分,每题8分)

1. 证明:22yxydyxdx在整个xOy平面除去y的负半轴及原点的区域G内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数。

解:

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