2018届高三数学二轮复习课件：专题二函数、不等式、导数2.4.2导数的综合应用

＝x－1，因而 f(x)的图像恒在 y＝x－1 的下方，则当 x∈(0，1]
时，函数 f(x)的图像上任意两点连线的斜率均不小于 1，即
f（m）m－－nf（n）≥1，故mn mnmn≥em－n.
回顾 (1)本题考查利用导数研究曲线的切线、不等式的证明 等，考查考生的化归与转化思想．本题以函数 f(x)＝lnxx为原型函 数，入手点简单，但所涉及的问题有一定的高度，特别是第(2) 问不等式的证明，需经过多次转化．如果不善于转化或转化错误 则满盘皆输．
(2)若在[1，e](e＝2.718…)上存在一点 x0，使得 x0＋x10<mf(x0) 成立，
则构造函数 h(x)＝x＋1x－mf(x)＝x＋1x－mlnx＋mx 在[1，e]上 的最小值小于零．
h′(x)＝1－x12－mx －xm2 ＝x2－mxx－2 m－1＝（x＋1）（x2x－m－1）.(6 分) 令 h′(x)＝0，∵x∈[1，e]，∴x＝m＋1，
调研一 切线、恒成立
lnx＋k (2016·江 西 七 校 二 次 联 考 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ ex
(k∈R，e 是自然对数的底数)，f′(x)为 f(x)的导函数． (1)当 k＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； e－2＋1 (2)若 f′(1)＝0，试证明：对任意的 x>0，f′(x)< x2＋x 恒成
①当 m＋1≥e 时，即 m≥e－1 时，h(x)在[1，e]上单调递减， (8 分)
所以 h(x)的最小值为 h(e)，由 h(e)＝e＋1＋e m－m<0 可得 m>ee2－＋11，
因为ee2－＋11>e－1，所以 m>ee2－＋11；(10 分) ②当 m＋1≤1，即 m≤0 时，h(x)在[1，e]上单调递增， 所以 h(x)最小值为 h(1)，由 h(1)＝1＋1＋m<0 可得 m<－2； (11 分)

-12解题策略一 解题策略二
对点训练2设f(x)=xex,g(x)=
(1)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的最小值; (2)若任意x1,x2∈[-1,+∞)且x1>x2有m[f(x1)-f(x2)]>g(x1)-g(x2)恒成立, 求实数m的取值范围.Βιβλιοθήκη 1 2 x +x. 2
解 (1)∵F(x)=f(x)+g(x)=xex+2x2+x,
(2)∵不等式ax-ln x≥a(2x-x2)对∀x∈[1,+∞)恒成立, ∴等价于a(x2-x)≥ln x对∀x∈[1,+∞)恒成立. 当x=1时,a∈R都有不等式恒成立;
当 x>1 时,a≥ 即 h(x)=
ln������ 恒成立,令 ������2 -������
h(x)=
ln������ . ������2 -������
∵f'(x)=a-������,∴k=f'(x0)=a-������ ,
0
1
1
即直线的切线方程为 y-ax0+ln x0= ������-
1 ������0
(x-x0),
又切线过原点O, 所以-ax0+ln x0=-ax0+1, 由ln x0=1,解得x0=e,所以切点的横坐标为e.
-8解题策略一 解题策略二
-3解题策略一 解题策略二
难点突破一(直接构造函数) 求 f(x)>0(x>1)时 a 的范围,因 f(1)=0,只需 f(x)在(1,+∞)单调递增.f(x)>0(x>1)⇔f(x)在(1,+∞)单调递 ������'(������) ≥ 0 ≥0⇔ ⇔ ������ > 1 ������ > 1, ������ > 1 1 数 φ(x)=1+������+ln x(x>1),易求得 φ(x)>2,所以 a≤2. 增⇔

������+������ 2
≥
������������ ≥
2������������ (a,b>0). ������+������
5.线性规划 (1)判断Ax+By+C≥0表示的平面区域是在直线的哪一侧,方法为:
①当C≠0时,取原点(0,0),若能满足Ax+By+C≥0,则不等式表示的平面区域就是
①变形⇒
g(x)≠0.
(2)简单指数不等式的解法 ①当 a>1 时,af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x); ②当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x). (3)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x),且 f(x)>0,g(x)>0; ②当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)⇔f(x)<g(x),且 f(x)>0,g(x)>0.
4.几个重要的不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R). (2)a2+b2≥2a ab(a,b∈R). (3)
������+������ ≥ 2
������������ (a,b>0).
������+������ 2 2+������ 2
≥
①了解基本不等式的证明过程. ②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
������+������ 2
≥ ������������ (a≥0,b≥0)
1.不等式的性质 (1)a>b⇔ b<a. (2)a>b, b>c⇔a>c. (3)a>b⇔a+c>b+c. 推论 a>b,c>d⇒a+c>b+d. (4)a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc. 推论 1 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd ; 推论 2 a>b,ab>0⇒ < ; 推论 3 a>b>0⇒an>bn(n∈N*,且 n>1). ������ ������ (5)a>b>0⇒ ������ > ������ (n∈N*,且 n>1).

• 2．单调性定义 任意 定义域I内某个区间D 上的__________ • 如果对于____________________ 两个自变量的值x1，x2，且 x1 <x 2 f(x1)<f(x2) 成立，则f(x)在D上是________( 增函数 都有__________ f(x1)>f(x2) ________ ，都有____________ 减函数 ． 成立，则f(x)在D上是__________) • 3．奇偶性定义 f(－x)＝－f(x2) 成 定义域关于原点对称 • 对于定义域内的任意x(______________________) ，都有_________________ f(－x)＝f(x) 立，则f(x)为奇函数(都有_______________ 成立，则f(x)为偶函数)． • 4．周期性定义 • 周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件： f(x＋T)＝f(x) • (1)当x取定义域内的每一个值时，都有_______________ ． 不为零的最小正数 • (2)T是_____________________ ．
• 5．指数函数与对数函数的图象和性质
图象
指数函数
对数函数
0<a<1 时，在 R 上单调 __________ 递减 ； 单调 __________
性
0<a<1 时，在(0，＋∞)上单调 __________ 递减 ； __________ a>1 __________ 时，在(0，＋∞)上单调 递增 __________
• 3．函数图象的变换规则 • (1)平移变换 • 将y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到y ＝f(x＋a)的图象； • 将y＝f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位得到y ＝f(x)＋a的图象．