2020年高中数学必修三第一章《算法初步》1.3算法案例 (一)

2020年高中数学必修三第一章《算法初步》

算法案例（一）

学习目标 1.理解辗转相除法与更相减损术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；2.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质；3.对简单的案例能设计程序框图并写出算法程序．

知识点一求两个数的最大公约数的算法

思考注意到8 251＝6 105×1＋2 146，那么8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2 146的公约数有什么关系？

答案显然8 251与6 105的公约数也必是2 146的约数，同样6 105与2 146的公约数也必是8 251的约数，所以8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数．

梳理一般地，求两个数的最大公约数有2种算法：

(1)辗转相除法

①辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．

②辗转相除法的算法步骤

第一步，给定两个正整数m，n.

第二步，计算m除以n所得的余数r.

第三步，m＝n，n＝r.

第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；

否则，返回第二步．

(2)更相减损术的运算步骤

第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．

第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．

知识点二求n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值的算法

思考衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度．把多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1变形为f(x)＝((((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，然后求当x＝5时的值，为什么比常规逐项计算省时？

答案从里往外计算，充分利用已有成果，可减少重复计算．

梳理秦九韶算法的一般步骤：

把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：

(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v2＝v1x＋a n－2，

v3＝v2x＋a n－3，

…

v n＝v n－1x＋a0，

这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．

类型一辗转相除法

例1试用辗转相除法求325、130、270的最大公约数．

解∵325＝130×2＋65,130＝65×2，∴325与130的最大公约数是65.∵270＝65×4＋10,65＝10×6＋5,10＝5×2，∴65与270的最大公约数是5，故325、130、270这三个数的最大公约数为5.

反思与感悟辗转相除法的实质：对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成一对新数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的小数就是原来两个正整数的最大公约数．

跟踪训练1用辗转相除法求204与85的最大公约数时，需要做除法的次数是________．答案3

解析用辗转相除法可得204÷85＝2……34,85÷34＝2……17,34÷17＝2，此时可以判断204与85的最大公约数是17，做了3次除法得出结果．

类型二更相减损术

例2试用更相减损术求612、396的最大公约数．

解方法一612÷2＝306,396÷2＝198,306÷2＝153,198÷2＝99，∴153－99＝54,99－54＝45,54－45＝9,45－9＝36,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9.所以612、396的最大公约数为9×22＝36.

方法二612－396＝216,396－216＝180,216－180＝36,180－36＝144,144－36＝108,108－

36＝72,72－36＝36.故36为612、396的最大公约数．

反思与感悟用更相减损术的算法步骤

第一步，给定两个正整数m，n，不妨设m＞n.

第二步，若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m，n.

第三步，d＝m－n.

第四步，判断“d≠n”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，2k d(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数．

跟踪训练2用更相减损术求261和319的最大公约数．

解∵319－261＝58，

261－58＝203，

203－58＝145，

145－58＝87，

87－58＝29，

58－29＝29，

∴319与261的最大公约数为29.

类型三秦九韶算法的基本思想

例3已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．

解将f(x)改写为

f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，

由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值：

v0＝4；v1＝4×5＋2＝22；

v2＝22×5＋3.5＝113.5；

v3＝113.5×5－2.6＝564.9；

v4＝564.9×5＋1.7＝2 826.2；

v5＝2 826.2×5－0.8＝14 130.2.

∴当x＝5时，多项式的值等于14 130.2.

反思与感悟秦九韶算法之所以优秀，一是其对所有多项式求值都适用，二是充分利用已有计算成果，效率更高．