A B
C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编
（2008年第16题）
在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD
（2）平面EFC ⊥平面BCD
证明：（1）⎭
⎬⎫E ，F 分别为AB ，BD 的中点⇒EF ∥AD 且AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ⇒直线EF ∥平面ACD
（2）⎭
⎬⎫⎭⎬⎫CB ＝CD F 是BD 的中点 ⇒ CF ⊥BD ⎭⎬⎫AD ⊥BD EF ∥AD ⇒ EF ⊥BD ⇒直线BD ⊥平面EFC 又BD ⊂平面BCD ，
所以平面EFC ⊥平面BCD
B C
（2009年第16题）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C .
求证：（1）EF∥平面ABC
（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C
证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，
因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC
（2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，
又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D，
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C⊂平面BB1C1C
故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，
故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P
A B C
D D P A B C F
E （2010年第16题）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ；
（2）求点A 到平面PBC 的距离．
证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ．
由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ⊂平面PCD ，
所以BC ⊥平面PCD ．
因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．
解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则：
易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等．
又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍．
由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ，
因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ．
易知DF ＝2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2．
（方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ．
因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°．
从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1．
由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3
． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC ．
又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2．
由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝2 2
． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3
，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2．
（2011年第16题）
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，
E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面P AD
证明：（1）在△P AD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴BC∥AB，
又∵EF ⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD
（2）连接BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△P AD为正三角形
∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，
∵平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，
∴BF⊥平面P AD
又∵BF⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面P AD
（2012年第16题）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．
证明：（1）∵是ABC－A1B1C1直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC
又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD
又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面ADE，CC1∩DE＝E
∴平面ADE⊥平面BCC1B1
（2）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1
∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1
∴CC1⊥A1F
又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1
∴A1F⊥平面BCC1B1，
由（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD
又∵AD⊂平面ADE，A1F ⊄平面ADE，
∴A1F∥平面ADE
