{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练33《基本不等式》附答案详析
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- 1 - {北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练
33《基本不等式》
(建议用时：60分钟)
A组 基础达标
一、选择题
1．(2018·武汉模拟)下列命题中正确的是( )
A．函数y＝x＋1x的最小值为2
B．函数y＝x2＋3x2＋2的最小值为2
C．函数y＝2－3x－4x(x＞0)的最小值为2－43
D．函数y＝2－3x－4x(x＞0)的最大值为2－43
2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是( )
A．72 B．4 C．92 D．5
3．(2018·太原模拟)已知x，y为正实数，则4xx＋3y＋3yx的最小值为(
)
A．53 B．103
C．32 D．3
4．若a>b>1，P＝lg a·lg b，Q＝12(lg a＋lg b)，R＝lga＋b2，则( )
A．R C．P 5．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 二、填空题 6．(2017·山东高考)若直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________． 7．(2019·徐州模拟)已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，则ab2＋1的最大值为________． 8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨． 三、解答题 9．(1)当x<32时，求函数y＝x＋82x－3的最大值； - 2 - (2)设0 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． B组 能力提升 1．已知x，y均为正实数，且1x＋2＋1y＋2＝16，则x＋y的最小值为( ) A．24 B．32 C．20 D．28 2．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________． 3．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/千克、b元/千克，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠)________．(在横线上填甲或乙即可) 4．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(单位：万元)．当年产量不少于80千件时，C(x)＝51x＋10 000x - 3 - －1 450(单位：万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解析 {北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练 - 4 - 33《基本不等式》 (建议用时：60分钟) A组 基础达标 一、选择题 1．(2018·武汉模拟)下列命题中正确的是( ) A．函数y＝x＋1x的最小值为2 B．函数y＝x2＋3x2＋2的最小值为2 C．函数y＝2－3x－4x(x＞0)的最小值为2－43 D．函数y＝2－3x－4x(x＞0)的最大值为2－43 D [由x＞0知3x＋4x≥43，当且仅当3x＝4x，即x＝233时等号成立，则2－3x－4x≤2－43，因此函数y＝2－3x－4x(x＞0)的最大值为2－43，故选D.] 2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是( ) A．72 B．4 C．92 D．5 C [由a＞0，b＞0，a＋b＝2知1a＋4b＝12()a＋b1a＋4b＝125＋ba＋4ab≥92，当且仅当ba＝4ab，即b＝2a＝43时等号成立，故选C．] 3．(2018·太原模拟)已知x，y为正实数，则4xx＋3y＋3yx的最小值为( ) A．53 B．103 C．32 D．3 D [4xx＋3y＋3yx＝4xx＋3y＋x＋3yx－1≥3， 当且仅当4xx＋3y＝x＋3yx，即x＝3y时，等号成立．故选D.] 4．若a>b>1，P＝lg a·lg b，Q＝12(lg a＋lg b)，R＝lga＋b2，则( ) A．R C．P C [∵a>b>1，∴lg a>lg b>0， - 5 - 12(lg a＋lg b)>lg a·lg b， 即Q>P.∵a＋b2>ab，∴lga＋b2>lgab＝12(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P 5．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 C [设容器底面矩形的长和宽分别为a和b，容器的总造价为y元，则ab＝4，y＝4×20＋10×2(a＋b)＝20(a＋b)＋80，∵a＋b≥2ab＝4(当且仅当a＝b＝2时等号成立)，∴y≥160，故选C．] 二、填空题 6．(2017·山东高考)若直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________． 8 [∵直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1,2)， ∴1a＋2b＝1， ∴2a＋b＝(2a＋b)1a＋2b＝4＋4ab＋ba≥4＋24ab·ba＝8， 当且仅当ba＝4ab，即a＝2，b＝4时，等号成立． 故2a＋b的最小值为8.] 7．(2019·徐州模拟)已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，则ab2＋1的最大值为________． 2 [ab2＋1＝22×2ab2＋1≤22×12(2a2＋b2＋1)＝24×(3＋1)＝2， 当且仅当2a＝b2＋1，且2a2＋b2＝3， 即a2＝1，b2＝1时，等号成立． 故ab2＋1的最大值为2.] 8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨． 20 [每次都购买x吨，则需要购买400x次． ∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元， ∴一年的总运费与总存储费用之和为4×400x＋4x万元． ∵4×400x＋4x≥160，当且仅当4x＝4×400x时取等号， ∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．] 三、解答题 9．(1)当x<32时，求函数y＝x＋82x－3的最大值； (2)设0 - 6 - [解] (1)y＝12(2x－3)＋82x－3＋32 ＝－3－2x2＋83－2x＋32. 当x<32时，有3－2x>0， ∴3－2x2＋83－2x≥23－2x2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x2＝83－2x，即x＝－12时取等号． 于是y≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)∵0 ∴y＝x－2x＝2·x－x≤2·x＋2－x2＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号， ∴当x＝1时，函数y＝x－2x的最大值为2. 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． [解] (1)由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1， 又x>0，y>0， 则1＝8x＋2y≥2 8x·2y＝8xy，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64. (2)由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1， 则x＋y＝8x＋2y·(x＋y)＝10＋2xy＋8yx ≥10＋2 2xy·8yx＝18. 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. B组 能力提升 1．已知x，y均为正实数，且1x＋2＋1y＋2＝16，则x＋y的最小值为( ) A．24 B．32 C．20 D．28 C [∵x，y均为正实数，且1x＋2＋1y＋2＝16， 则x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4＝61x＋2＋1y＋2(x＋2＋y＋2)－4＝62＋x＋2y＋2＋y＋2x＋2－4≥6×2＋
