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教育研究64学法教法研究课程教育研究一、课题提出的背景大量的研究表明这样一个事实：不管是国际数学教育成就调查还是国际奥林匹克数学竞赛，中国中学生的成绩明显比其他国家的同龄生；但是中国学生在开放问题以及动手能力方面却逊于西方学生；这两个方面凸显出的问题被西方学者认为是大班教学下以教师为主导的典型的“强灌”和“填鸭式训练”产生的结果，被称作“中国学习者的悖论”。
2005年顾泠沅与黄荣金、瑞典学者马顿合作发表了《变式教学：促进有效的数学学习的中国方式》，认为“中国教师先提出问题，让学生探寻不同的解法，师生共同探讨各种解法的优缺点的课堂模式”要优于“美国教师先给出解法，让学生练习一批类似的问题的教学模式”，认为有变化的重复学习是有意义的学习，而不是机械学习，变式教学是中国数学课堂教学中的合理成分。
但是我国的专家学者对变式教学的理论研究比较多，实践研究相对较少，也很少有高中教师在教学实践中去深层次探索变式教学，所以本课题侧重研究高中数学变式教学的课堂教学研究。
我们正处在高考命题改革时期，在“以能力立意、不刻意追求知识覆盖面、重点知识重点考查、在网络知识的交汇点处命题、加大新增内容的考查力度、体现向量及导数的工具作用、回归教材、小题综合化以及向新课标靠拢”的背景下，近几年全国及各省市的高考在坚持对基础知识和基本技能的考查的同时，与前两年相比，更加重视数学思想与方法的考查。
试卷从多角度、多视点、多层次地考查数学理性思维，考查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和学习潜能。
而高三数学复习，时间紧迫，内容繁杂。
如何在比较紧的时间内，尽可能的提高复习效率和质量，提高学生分析问题、解决问题的能力呢？我们的方法就是在高三复习中以“变”应“变”，通过合理恰当地运用变式教学，把互相关联的知识通过变式教学融合在一起，使学生深刻理解所学知识，识别问题的本质，这样运用起来就会得心应手。
二、课题研究的意义以往的课题研究对变式教学在课堂教学中的关注比较少。
终数学课题研究阶段性总结随着数学课题研究的逐步进行，我在这一阶段收获颇多。
本文将对我在数学课题研究中所取得的阶段性成果进行总结，并对未来的研究方向提出展望。
在这一阶段的数学课题研究中，我选择了整数分割数的研究作为主题。
整数分割数是研究整数拆分成若干个正整数之和的方法数字，是组合数学的一个重要分支。
我通过学习相关文献，并进行必要的推导证明，对整数分割数有了较为全面的了解。
在对整数分割数的研究中，我首先对其基本概念进行了梳理和总结。
整数分割数可以用来描述整数拆分的方法数，它具有递推性质，需要满足一定的约束条件。
我通过数值计算和举例分析，对整数分割数的递推关系进行了深入的研究。
其次，我对整数分割数的生成函数进行了探究。
生成函数是一个非常有用的工具，可以将一个数列通过函数的形式来表示。
通过分析整数拆分的方法，我构建了一个递推关系，将整数分割数表示成一个无穷级数的形式。
通过计算生成函数的值，我们可以得到整数分割数的具体数字。
此外，我还研究了整数分割数的性质和应用。
整数分割数具有一些有趣的性质，如：分割数的奇偶性、分割数的对称性等。
我通过详细的推导和实例分析，对这些性质进行了详细的证明。
另外，整数分割数在计算机科学、组合数学等领域具有广泛的应用。
我将其应用于组合计数、划分问题等方面进行了研究，取得了一些初步的成果。
在数学课题研究的过程中，我遇到了一些挑战和困难。
首先，整数分割数的递推关系较为复杂，需要通过数值计算和推导来求解。
其次，整数分割数的性质和应用涉及一些高深的数学知识，需要我不断学习和思考。
最后，数学课题研究需要长时间的耐心和细心，而我在这方面还有一些欠缺。
通过这一阶段的数学课题研究，我不仅对整数分割数有了深入的了解，也提高了自己的数学思维和解决问题的能力。
同时，我也认识到了数学研究的复杂性和困难性，在未来的学习中需要更加努力。
展望未来，我希望能继续深入研究整数分割数，并且进一步扩展研究方向。
首先，我希望能进一步研究整数分割数的递推关系，探索更多的规律和性质。
2024终数学课题研究阶段性总结引言：2024年是我参与数学课题研究的一年，在这一年里，我深入学习了数学课题，进行了相关研究，并取得了一定的成果。
通过这篇总结，我将回顾我在数学课题研究中的学习收获和经验体会，并对未来的研究方向做出一些展望。
一、研究背景数学课题研究是培养学生数学发展潜能、提升数学解决问题能力的有效途径，我在2024年秋季开始了数学课题研究的学习和实践。
二、研究内容1. 确定研究方向在选择数学课题时，我经过充分思考和讨论，选择了一个与数学教育紧密相关的命题研究方向。
我通过查阅相关文献和调研，确定了研究的具体领域和范围。
2. 文献综述在确定研究方向后，我进行了大量的文献综述工作。
通过阅读相关论文和专著，我全面了解了国内外在这一领域的研究现状和进展，掌握了前沿的理论和方法，为后续研究奠定了基础。
3. 数据收集与分析在研究过程中，我积极收集和整理了大量的数据，包括实验数据和观察数据。
利用数学统计方法，我对这些数据进行了系统的分析和比较，找出了其中的规律性和关联性，为后续的实证研究提供了支持。
4. 实证研究与讨论基于前期的文献综述和数据分析，我设计了一系列的实证研究，并进行了实际操作和数据收集。
通过统计分析和实证研究，我得出了一些结论，并进行了深入的讨论和探究。
在与导师和同学们的讨论中，我对研究方法和结果进行了不断的修正和完善。
三、学习收获通过这一阶段的数学课题研究，我收获了很多宝贵的经验和知识。
具体表现在以下几个方面：1. 学术研究能力数学课题研究要求我们具备严谨的科学精神和扎实的学术基础。
通过这一阶段的学习，我提高了自己的数学素养，掌握了一些基本的研究方法和技巧，对学术研究的流程和规范有了更深入的了解。
2. 团队合作能力在数学课题研究中，我们需要与导师和同学们进行密切的合作和交流。
通过与他们的讨论和互动，我学会了倾听别人的意见，尊重不同的观点，有效地与他人合作，形成团队合作的能力。
3. 自主学习能力数学课题研究是一项需要自主学习的任务。
数学课题中期报告引言本文是数学课题的中期报告，旨在总结目前课题的进展情况，并提供一些初步的结果和结论。
该课题旨在探讨数学中的某个特定主题，并应用相关理论和方法解决相关问题。
目标与方法在本课题中，我们的主要目标是深入研究数学中的某个特定主题，并运用数学分析、推理和证明的方法解决相关的问题。
为了达到这一目标，我们采用了以下的方法和步骤：1. 收集相关的文献和研究资料，了解该主题的基本概念和现有的研究成果。
2. 分析已有的理论和方法，确定其适用性和局限性。
3. 提出自己的研究假设和问题，并设计相应的实验和数学模型进行验证。
4. 进行数据分析和实验结果的统计处理。
5. 根据分析和结果，提出初步的结论和建议。
进展情况至目前为止，我们已经完成了以下工作：1. 搜集和阅读了大量的相关文献和研究资料，对该主题有了更深入的了解。
2. 分析了已有的理论和方法，并找到了其中一些的优缺点。
3. 提出了一些研究假设和问题，并设计了相应的实验和数学模型进行验证。
4. 进行了实验和数据分析，初步得到了一些实验结果。
初步结果和结论基于目前的进展，我们得出了一些初步的结果和结论：1. 某个特定方法的应用在解决该问题上表现出了一定的效果，但仍存在一些局限性。
2. 实验结果显示，某个数学模型的预测能力在一定程度上与实际情况吻合。
3. 对于某个特定的情况，我们提出了一些建议和改进的方向。
下一步计划基于当前的进展和初步的结果，我们将继续进行以下工作：1. 收集更多的数据和材料，以进一步验证我们的研究假设和问题。
2. 进一步分析和评估已有的理论和方法，以解决其存在的局限性。
3. 设计更复杂和全面的实验，以进一步验证某个数学模型的有效性。
4. 继续思考和探索该主题的其他可能性，并提出更深入的结论和建议。
总结数学课题中期报告总结了目前课题的进展情况和初步的结果。
虽然还有许多工作需要进一步完成，但我们对该课题的潜力和重要性保持乐观态度，并期待更深入的研究和发现。
高三数学中期教学工作总结共4篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2024终数学课题研究阶段性总结2024年终了，我作为一名数学研究者，对今年的研究工作进行了阶段性总结。
在这一年中，我将重点放在了以下几个方面的研究上：微分方程、代数几何、数论以及概率统计。
首先，我在微分方程的研究中有了一些新的突破。
今年我主要关注于非线性微分方程的解析解和数值解的研究。
通过对一些经典非线性微分方程的分析，我发现了一些新的解析解，并且通过数值模拟验证了其可行性。
此外，我还研究了一些奇异微分方程的特殊解，如带有奇点的微分方程。
这些研究对于深入理解微分方程的解的行为和性质具有重要意义。
其次，代数几何是我今年的另一个研究方向。
在代数几何的研究中，我主要关注了代数多项式和代数曲线的性质。
通过对代数多项式的分析，我发现了一些新的关系式，并且研究了它们的根的分布和性质。
此外，我还研究了一些特殊类型的代数曲线，如椭圆曲线和超曲面。
这些研究对于深入理解代数几何的基本概念和原理具有重要意义。
第三，数论是我今年的另一个研究方向。
在数论的研究中，我主要关注了数的性质和数的分布。
通过对数的性质的分析，我发现了一些新的数学规律，并且研究了它们的分布和性质。
此外，我还研究了一些特殊类型的数，如素数和自守数。
这些研究对于深入理解数论的基本概念和原理具有重要意义。
最后，概率统计是我今年的最后一个研究方向。
在概率统计的研究中，我主要关注了随机变量和概率分布的性质。
通过对随机变量和概率分布的分析，我发现了一些新的统计规律，并且研究了它们的分布和性质。
此外，我还研究了一些特殊类型的概率分布，如正态分布和泊松分布。
这些研究对于深入理解概率统计的基本概念和原理具有重要意义。
在今年的研究中，我还遇到了一些挑战和困难。
首先，研究过程中需要大量的数学工具和技巧的应用，对于某些复杂的问题，需要调用多个学科的知识。
其次，数学研究需要大量的耐心和毅力，对于一些问题可能需要花费很长时间才能取得初步的结果。
总的来说，今年的研究工作给了我很多的启示和思考。
《高中数学有效教学研究》课题研究开题、中期、结题报告《高中数学有效教学研究》课题开题报告《数学课程标准》提出了一种全新的数学课程理念：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。
”这一提法使我们深刻地体会到：数学教学的有效性在课堂上是多么的重要。
而事实上，目前高中数学教学中却普遍存在着一个非常突出的问题：那就是在花样繁多、热闹非凡的课堂教学中，我们的学生却没有得到真正有效的发展，这是新一轮基础教育改革所必须面对的问题。
因此，如何使我们的教师在信息爆炸的时代里提高数学课堂教学的有效性，是摆在我们广大数学教师面前的一个重要课题，特别是在全面推进新课程改革的多年实践中，总结利弊，再次讨论高中数学课堂教学的有效性就显得十分迫切与必要，它不仅可以降低师生不必要精力物力的付出，还可以最大限度地提高课堂教学的效果。
如何提高高中数学课堂教学的有效性，让数学课堂焕发出强大的生命活力？是一个令人深思的问题。
一、问题提出1.课题立项研究背景山东省曹县第一中学办学历史悠久，文化积淀深厚，是山东省、菏泽市教学、教研活动的窗口学校。
在新课程理念的指导下，全体数学教师努力探索数学课堂教学的新思路，课堂形式上呈现出令人欣喜的景象。
但是随着近几年学校不断扩大，学生生源参差不齐，我们发现，教师在数学课堂教学中存在如下困境：1.学生的主体地位得不到落实，致使课堂效率低下，三维目标难以落实；2.教师在数学教学中，为提高教学“质量”，拼体力，拼时间，投入多，产出少；3.在数学课堂教学中，缺乏和学生有效沟通，对教学带来消极影响；4.部分老师在教学中，自主、合作、探究流于形式，没有达到“内化”的效果，不能真正调动学生学习的积极性；5.数学课堂没能够给学生提供足够展示自我的机会和平台，压抑了学生学习的主动性和积极性。
面对这样的困境，我们寻求改革和突破，把着眼点和落脚点放在提高数学有效教学上，创建高效课堂，实现教育的可持续性发展。
2024终数学课题研究阶段性总结2024年终数学课题研究阶段性总结在2024年的数学课题研究阶段，我主要关注了以下几个方面的内容：1. 研究领域扩展：今年，我努力将研究领域扩展到更为广泛的范围。
不仅深入研究了传统的数学分支，如代数、几何等，还将目光投向了交叉学科领域，如计算数学、应用数学等。
这样的拓展不仅提高了我的研究广度，也为我提供了更多的研究方向和思路。
2. 深入理解核心概念：在今年的研究中，我注重深入理解数学的核心概念。
通过学习相关的理论知识，阅读经典著作和最新研究成果，我对数学中一些基本概念的理解更加深入和全面。
这有助于我更好地理解和解决实际问题，提高我的研究水平。
3. 创新思维培养：为了在研究中能够有所创新，我注重培养创新思维。
通过参加数学竞赛、参与讨论和与他人合作等方式，我学会了从不同的角度思考问题，发现问题中的隐含信息和规律，提出新的解决方案。
这种创新思维的培养对于我的研究工作具有重要的意义。
4. 实践与应用：今年，我也尝试将数学的理论知识应用到实际问题中。
通过参与数学建模竞赛和与实际工程问题相关的研究，我学会了将数学工具应用到实际问题中进行分析和求解。
同时，我也发现数学的研究和实践是相辅相成的，在实践中深化了对理论的理解，同时也从理论中得到了更多的启发。
综上所述，2024年的数学课题研究阶段对我而言是一个有意义且充实的阶段。
通过扩展研究领域、深入理解核心概念、培养创新思维以及实践与应用，我取得了较好的研究成果，并为未来的研究工作奠定了坚实的基础。
在接下来的研究中，我将继续努力扩大研究范围，加深理论理解，培养创新思维，并将数学知识应用到更广泛的实际问题中，为数学研究的发展做出更大的贡献。
课题中期报告随着课程的进行，我课题的中期阶段即将结束。
在这个阶段，我将向您汇报我的进展和研究成果，同时讨论我在接下来的工作中的计划和挑战。
一、研究背景和目的本课题旨在探索如何提高学生在数学学习中的参与度和积极性。
当前，许多学生对数学表现出困惑和不感兴趣的态度，这严重阻碍了他们的学习进步。
因此，本研究旨在找到有效的策略和方法，以激发学生对数学的兴趣、参与度和投入度，从而提高他们的学习效果。
二、研究方法在本次研究中，我采用了多种研究方法，包括文献综述、实地调研、问卷调查和实验研究。
首先，我进行了大量的文献综述，深入了解学生参与度和积极性的相关理论和研究成果。
然后，我进行了实地调研，观察了一所中学数学课堂上学生的表现和态度。
接着，我设计了一份问卷调查，以了解学生对数学学习的兴趣程度和参与度，并从中获取一些定性和定量的数据。
最后，我进行了实验研究，尝试了一些激发学生参与度和积极性的策略，并通过观察和测量来评估它们的效果。
三、研究结果根据我的研究，我得出了一些重要的结果和发现。
首先，我发现学生的参与度和积极性与教师的教学方法和态度密切相关。
如果教师能够创设良好的学习环境，给予学生足够的支持和鼓励，学生的参与度和积极性将显著提高。
其次，我发现通过运用游戏化教学的方法，如奖励制度、竞赛活动等，也能有效地激发学生对数学的兴趣和投入度。
此外，学生在小组合作学习环境中更容易展现出积极的学习态度和参与度。
四、进一步工作计划基于上述研究结果，我计划在接下来的工作中深入探索以下几个方面。
首先，我将进一步研究教师在激发学生积极性方面的角色和策略，探索更多有效的教学方法。
其次，我将研究如何在课堂中有效应用游戏化教学方法，以增强学生对数学的兴趣和投入度。
最后，我将进一步研究小组合作学习对学生参与度和积极性的影响，并探索适合的小组合作策略与方式。
五、挑战和解决方案在研究过程中，我也遇到了一些挑战。
其中之一是如何保证实验环境的真实性和可靠性。
第1篇一、前言自本学期开始，数学教研组在学校领导的关心和支持下，全体数学教师共同努力，积极开展教研活动，不断提升教育教学质量。
现将中期工作总结如下：二、工作回顾1.加强理论学习，提高教师素养本学期，数学教研组组织教师深入学习《义务教育数学课程标准（2011年版）》、《高中数学课程标准》等相关文件，使教师们对新课标的理念、目标、内容、评价等方面有了更深入的理解。
同时，我们还邀请专家进行专题讲座，帮助教师掌握教育教学的新理念、新方法。
2.开展教学研讨，提升教学质量（1）集体备课：数学教研组每周进行一次集体备课，针对教材、教学目标、教学方法、教学评价等方面进行深入研讨，形成共识。
集体备课过程中，教师们互相借鉴、取长补短，提高了备课质量。
（2）课堂教学观摩：组织教师开展课堂教学观摩活动，通过听课、评课、反思，促进教师间的交流与合作，提升课堂教学水平。
（3）课题研究：本学期，数学教研组申报了多个课题，如“基于核心素养的数学课堂教学策略研究”、“信息技术与数学教学深度融合的研究”等，旨在提高教育教学质量。
3.关注学生成长，促进学生全面发展（1）加强学生辅导：教师们关注学生的个体差异，进行分层教学，针对不同层次的学生制定相应的辅导计划，提高学生的学习成绩。
（2）开展课外活动：组织学生参加数学竞赛、数学兴趣小组等活动，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学素养。
（3）家校合作：加强与家长的沟通，共同关注学生的成长，形成教育合力。
三、工作亮点1.教师队伍素质不断提高。
通过集体备课、教学研讨、课题研究等活动，教师们的教育教学水平得到了显著提升。
2.教学质量稳步提高。
本学期，我校数学学科在各类竞赛中取得了优异成绩，学生成绩稳步提高。
3.家校合作成效显著。
通过加强与家长的沟通，形成了良好的教育氛围，促进了学生的全面发展。
四、存在问题1.部分教师对新课标的理解还不够深入，需要进一步加强对新课标的研读和领会。
2.课堂教学仍存在一些不足，如教学方式单一、课堂气氛不够活跃等。
《高中数学变式教学研究》中期报告——新授课概念性变式教学的三个环节顾泠沅等学者把变式教学分为概念性变式和过程性变式教学两类。
概念性变式教学突出对概念内涵的理解，注重概念的情景引入、语言转换等，逐步从概念的“标准变式”转向概念的“非标准变式”，使学生获得对概念的多角度的理解；过程性变式教学突出对概念外延的应用，注重知识之间的联系和拓展，通过过程性变式教学，使数学教学有层次地递进。
一堂新授的概念课，总的来说，主要侧重概念性变式教学，因为这一阶段不适宜作高难度的知识综合训练。
我们工作室第二阶段的工作重点侧重对新授课进行概念性变式教学，下面我们就新授课概念性变式教学应注意的三个环节作些研究和探讨，并从大家熟知的等差数列新授课教学谈起。
一、设置情景，揭示概念的本质特征（1）知识背景的创设每节新授课要从学生最为熟悉的现实背景、生活背景、历史背景、数学知识背景等出发，设置最能体现新授概念本质特征的知识背景。
这是概念性变式教学的切入点。
老师要列举学生学习经验中感受最深的例子。
概念引入的背景可多可少，原则只有一条：尽可能地揭示概念的本质特征。
①班级同学的鞋子尺码：27.5，27，26.5，26，25.5，25，24.5，24，23.5，23。
②每个同学的统一营养午餐费：5，5，5， (5)③能被3整除的所有正整数：3，6，9，…这里列举的三个例子，前两个例子源于学生的生活背景，第三个例子源于学生的数学知识背景。
第一个例子中公差小于零，第二个例子中公差等于零，第三个例子中公差大于零。
等差数列概念的本质特征是：从第二项起，后一项与前一项的差是一个常数。
这个常数d （公差）可以是任意的实数。
即当*2,n n N ≥∈时，1,n n a a d d R --=∈。
（2）特殊情形的考虑从概念的一般性出发，探讨概念的特殊情形。
这在新授概念教学中，是学生容易接受的一个学习过程，这样的教学情景不可忽视，它是理解概念一般性结论的基础。
我们在这里把对特殊情形的考虑视作为概念性变式教学的特殊情景。
这个情景实际上是从概念的局部来解释概念的本质特征，是从学生容易理解的方面入手的。
①三个数成等差数列的充要条件：,,a A b 成等差数列22a b A a b A A a b A +⇔-=-⇔=+⇔=。
称A 为,a b 的等差中项。
②等差数列{}n a 中，任意相邻三项也成等差数列：*11,,(2,)n n n a a a n n N -+≥∈成等差数列n a ⇔是1n a -和1n a +的中项112n n n a a a -+⇔=+⇔由n 的任意性，数列{}n a 成等差数列。
③等差数列{}n a 中，奇数项组成的数列13,,a a 成等差数列，其公差为2d ；偶数项组成的数列24,,a a 成等差数列，其公差为2d ；每隔相同的项组成的新数列2,,m m k m k a a a ++，*(,)m k N ∈…也是等差数列，其公差为kd 。
（3）基本结论的推出从概念的本原出发，进行演绎推理，得出一些基本的结论，如概念衍生出来的性质、定理、公式等。
这些结论和新授概念一起成为新授课中的学习要点。
我们在这里把基本结论的推演过程视作为概念性变式教学的一般情景。
① 归纳推广：由等差数列的定义，得到：21a a d =+，3212a a d a d =+=+，4313a a d a d =+=+，…，1(1)n a a n d =+-。
② 数列是特殊的函数。
从函数的角度来看等差数列的通项公式，当公差不为零时，其表达式是关于n的一次函数；当公差为零时，是常量函数。
点(,)n a是直角坐标系n中直线上离散的点。
作为新授概念，从以上的三个方面来理解，是概念性变式教学的三个不同角度，也是概念性变式教学的三个基本维度。
在变式教学中，创设背景是概念呈现的孕育过程，是帮助学生进行知识建构的前提。
得出了概念，不是概念教学的终结，还需要寻找概念的“知识固着点”，从两个方向进行寻找，最近的方向和较远的方向。
最近的方向我们考虑的是概念的特殊情况，较远的方向是从概念出发的一般性推理，直到我们找到本节课新授概念所能依附的“知识固着点”为止，我们把这个环节称之为新授课概念性变式教学的第一个环节。
等差数列新授课我们可以把等差数列的通项公式作为概念性变式教学中的“知识固着点”。
在“知识固着点”未找到之前，新授概念与“知识固着点”之间存在一个“潜在距离”，我们可以理解为学生的“最近发展区”。
为了完成第一环节的教学要求，从变式教学的层面上来说，老师要围绕新授的概念，多角度地设置问题情景，使学生在第一环节就找到“知识的固着点”，使新授概念有一个稳固的外显的“知识抓手”，为后续的概念应用作好充分的准备。
二、拓展外延，凸显概念的不变内涵（1）概念的简单外延我们把概念应用的较小适用范围称之为概念的简单外延。
较小是一个模糊的量化。
在讲完等差数列定义后，一些老师接下来请学生判断给出的具体数列是不是等差数列，如果是的话，说出首项和公差等。
这个层次的能力训练要求比较低，实际上我们在背景设置当中，已经做过了这样的训练，这里可以再提高一步，如进行下列层次的变式训练：①已知等差数列的首项和第二项，求出等差数列中的任意项；②已知等差数列的前三项，求出等差数列中的任意项；③已知等差数列的公差和某一项，求出等差数列中的任意项；④已知等差数列中的任意两项，求出等差数列中的公差和通项公式。
上面的问题比较简单，其中的实例就不再列举。
总结数学思想方法，以不变应万变是概念性变式教学第二环节的着力点。
一节课从知识的层面来说，不变的是等差数列的定义和通项公式；从方法层面来说，不变的是突出基本量的数学思想方法。
在四个量1,,,na d n a 中，知三必可求一。
我们在以上的变式中所凸显的不变内涵是：只要给出两个独立的条件，就可以求出等差数列的首项和公差，所有的问题变式最终都可转化为能够知道等差数列的首项和公差，就可以写出通项公式了。
（2）概念的复杂外延我们把概念应用的较大适用范围称之为概念的复杂外延。
这也是一个模糊的量化，复杂到什么程度，直到概念应用的边界。
如果外延复杂的程度较大就从概念性变式教学过渡到过程性变式教学中去了，概念性变式教学和过程性变式教学的分界在于概念外延中是不是与其他数学知识进行了整合。
如果没有和其他知识进行整合，我们还是把这一阶段的变式教学视作为概念性变式教学。
如果把等差数列这节新授课限定在四十分钟的时间内完成，恐怕下面的变式教学就来不及了，但我们不能说，概念性变式教学就完成了。
本节课的教学重点是等差数列定义和通项公式的应用。
即使在第一节课内来不及完成，我们还要延续到下一节课作进一步的变式。
①已知等差数列某一项和另外两项的和（差、积、商），求数列的通项；如：在等差数列{}n a 中，已知1241,6a a a =+=，求数列{}n a 的通项公式。
②已知等差数列两组相邻两项（三项、若干项）的和，求数列的通项； 如：在等差数列{}n a 中，已知12343,6a a a a +=+=，求数列{}n a 的通项公式；③利用等差数列的中项性质，求数列的通项；如：在等差数列{}n a 中，已知132462,6a a a a a +=++=，求数列{}n a 的通项公式；④已知等差数列两项的和与两项的积，求数列的通项。
在等差数列{}n a 中，已知23156,5a a a a ⋅=+=，求数列{}n a 的通项公式。
能够和等差数列定义和通项公式进行整合的知识点很多，比如后面我们要学习的等差数列的求和公式等，又比如和后面要学习的等比数列的知识进行综合等，当然在这节课里绝对不能出现，因为等差数列的求和公式与等比数列的概念都是我们即将要学习的新授概念。
但我们可以出现等差数列定义及通项公式与三角、直线方程、一般函数以及应用问题等知识的整合，但这已经从概念性变式教学过渡到了过程性变式教学了，不属于本文所要探讨的范畴。
以上所作的变式都是停留在通项公式本身应用基础上的训练，没有涉及到和其他知识的整合，这些变式问题在知识层面和方法层面上，与概念的简单外延变式问题所要凸显的不变内涵都是相同的，因此，我们把这一环节作为新授课概念性变式教学的第二个环节，第二环节的变式教学的特征是突出不变的概念内涵，是从总结不变的基础知识和基本的方法为着落点的，因此，第二阶段的教学目标仍然是落实数学的双基教学和训练。
在第一环节我们找到了“知识固着点”，在第二环节我们又找到了“方法固着点”，这样的概念性变式教学，使得新授的概念得到牢固的掌握。
三、变换问题，建构概念的内在体系（1）问题的逆向提出从逆向思维的角度来理解概念。
前面的两个环节都是从正面，概念的“标准状态”来理解的，在第三个环节我们试图从概念的“非标准状态”来理解。
①已知等差数列的通项公式，求首项和公差；②已知一个数列的通项公式是关于n 的一次函数式，判断这个数列是不是等差数列？常数列是不是等差数列；③已知一个数列的通项公式，判断这个数列是不是等差数列？如：*1,13,2,n n a n n n N=⎧=⎨-≥∈⎩是不是等差数列？2n a n n =-是不是等差数列？ ④给出一个递推式，判断这个数列是不是等差数列？如：数列{}n a 满足111,n n a a a n +=-=，这个数列是不是等差数列？第一和第二个例子，实际上是从等差数列通项公式结论展开的逆向变式，第二个例子实际上是寻找数列通项公式成为等差数列的充要条件。
第三和第四个例子，也是从数列的通项公式出发进行研究的，也是一个思维的逆向过程。
实际上是给出了不是等差数列的反例，这在概念性变式教学中，是十分重要的，反例的构造，可以进一步强化学生对概念正面的理解。
（2）问题的异化形式变式教学中有一个重要的理论叫作“马顿理论”，认为新授概念的学习，是和其他知识进行比较和鉴别的过程，“鉴别”和“差异”是这个理论的核心。
我们已经从概念的正面和反面进行了比较和鉴别，但还没有从过程性变式教学的角度，把等差数列的定义以及通项公式的学习放到与其他知识的综合环境中加以鉴别和联系，但对于具有异化形式的相近问题，我们可以在新授课概念性变式教学中作出初步的鉴别，鉴别的过程是对差异的进一步认识。
①设数列{}n a 满足10a =且111111n n a a +-=--，求数列{}n a 的通项公式； ②设数列{}n a 满足11a =，112n n na a a +=-，求数列{}n a 的通项公式。
第一个问题实际上是鉴别由{}n a 生成的一个新数列1{}1na -，学生还是能够鉴别出来的。
第二个问题有点困难了，需要作如下变形：112112n n n na a a a +-==-，然后再来鉴别。
异化形式的问题比较困难。
