2020年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷(3月份)(含答案解析)

金华十校2024年4月高三模拟考试评分标准与参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、选择题：本题共小题，每小题分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得60三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 60° 13．12− 14．2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：(1)因为两次点数之和等于7有以下基本事件：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6个，所以61()366P A ==，又1()2P B =， …………………………………………… 2分而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是(1,6),(3,4), (5,2)共3个，所以()313612P AB ==. …………………………………………………………… 4分 故()()()P AB P A P B =，所以事件 A ，B 是独立事件. ……………………… 6分 (2)设每位参与这个活动的顾客获得的积分为X ，则X 可取6,9,12,15，()33512566216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131575966216P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22315151266216P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33311156216P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭……………… 10分所以()12575151156912152162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ………………… 13分 16. 解：(1)若a =1，()sin cos cos ,0,2f x x x x x π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∈，22()cos sin sin f x x x x '=−−22sin sin 1x x =−−+(sin 1)(2sin 1)x x =−+−.…… 3分当0,6x π⎛⎫⎪⎝⎭∈时，()0f x '>，f (x )单调递增；当,62x ππ⎛⎫⎪⎝⎭∈时，()0f x '<，f (x )单调递减； …………………………………… 7分又3364f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，(0)1f =，02fπ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以33()0,4f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈,即f (x )的值域为330,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………………………………… 8分(2)22()cos sin sin f x x x a x '=−−212sin sin x a x =−−. ……………………… 9分f (x )存在极值点，则()f x '=0在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭∈上有解，即12sin sin a x x =−有解. 令t =sin x ，则a 12t t=−在(0,1)t ∈上有解. ………………………………………… 13分因为函数12y t t=−在区间(0,1)上单调递减，所以(1,)a −+∞∈. ………………… 15分17. 证明：分别取,AB BC 中点,D E ，连接,CD AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心..因为AA 1= A 1B ，CA = CB 得1,CD AB A D AB ⊥⊥，所以AB ⊥平面1ACD ， 则AB ⊥A 1O ① ……………………………………………………………… 3分 取B 1C 1中点E 1，连接A 1E 1，E 1E ，则四边形AA 1E 1E 是平行四边形， 因为侧面BB 1C 1C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，所以BC ⊥平面11AA E E ，则1BC AO ⊥ ② ………………………………… 6分 由①②可得，1AO ⊥平面ABC ，所以三棱锥A 1−ABC 是正三棱锥.……………… 8分(2)因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为22，底面积为3，所以高1263A O =.以E 为坐标原点，EA 为x 轴正方向，EB 为y 轴正方向，过点E 且与1OA 平行的方向为z 轴的正方向建立ABCA 1C 1B 1DEO zy x空间直角坐标系，则)()()1,0,1,0,0,1,0,33AB C A ⎛− ⎝⎭. …………………………… 11分设平面AA 1B 1B 的法向量n 1，因为()AB =−，1AA ⎛= ⎝⎭，则11100AB AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n可取)1=n . ……………………………………………… 13分又11AC AA AC ⎛=+=− ⎝⎭ 直线AC 1与平面AA 1B 1B 所成角为θ，所以112sin cos ,3AC θ===n .…………………………………………… 15分 18. 解：(1)由题：p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x ； …………………………… 3分 (2)设1l x ty =−：，1122(,),(,)M x y N x y ，联立24y x =，消去x 得2440y ty −+=，则216(1)0t =−>△，且12124,4,y y t y y +=⎧⎨=⎩ ……………………………… 5分又11:(1)1y n AM y n x x −−=−−，令1x =−得112()(1,)1y n P n x −−−−，同理可得222()(1,)1y n Q n x −−−−， ……………………………………… 7分所以121212122()2()2()2()21122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤−−−−+=−+−=−+⎢⎥−−−−⎣⎦1221122()(2)2()(2)2(2)(2)y n ty y n ty n ty ty −−+−−=−−⋅−212122212124(24)()8882202()444ty y nt y y n n nt n n t y y t y y t −+++−=−=−=−++−，故||||BP BQ =； …………………………………………… 10分(3)解法一：由(2)可得：122122()2()||||22y n y n S PQ ty ty −−==−=−− 13分111|||2|22S MN d nt ===⋅−， ………… 15分 由122S S =得：212t −=，解得t =所以直线l的方程为10x ±+=. ………………………………………… 17分解法二：11221||||sin |(1)(1)|||||21||||4||||sin 2AM AN MAN S x x AM AN S AP AQ AP AQ PAQ ⋅⋅∠−−⋅===⋅⋅⋅∠，………… 14分所以2211212122|(2)(2)||2()4|144S ty ty t y y t y y t S −−−++===− ……………… 15分 由122S S =得：212t −=，解得t =所以直线l的方程为10x ±+=. ………………………………………… 17分19. 解：(1)因为194=2×30+1×31+0×32+1×33+2×34，所以W 3(194)= 2+1+0+1+2=6， 195=0×30+2×31+0×32+1×33+2×34，所以W 3(194)= 0+2+0+1+2=5， 196=1×30+2×31+0×32+1×33+2×34，所以W 3(196)= 1+2+0+1+2=6，所以194，196对3“协调”，195对3不“协调” ……………………………………… 4分(2)先证引理：对于任意的非负整数t ，在pt ，pt +1，pt +2，…，pt +(p −1)中有且仅有一个数对p “协调”.证明如下:设pt =b 0p 0+b 1p 1+b 2p 2+…+b k p k ，由于pt 是p 的倍数，所以b 0=0， 所以pt +j = jp 0+b 1p 1+b 2p 2+…+b k p k ，即pt +j 对于p 0这一项的系数为j (0≤j ≤p −1)， 所以W p (pt +j )=(b 1+b 2+…+b k )+j (0≤j ≤p −1)，根据整除原理可知，在W p (pt +j ) (0≤j ≤p −1)中有且仅有一个数能被p 整除，所以在pt ，pt +1，pt +2，…，pt +(p −1)中有且仅有一个数对p “协调”. …………… 11分接下来把以上p 2个数进行分组，分成以下p 组（每组p 个数）：222222222222212(1)12(21)(1)(1)1(1)2(1)p n p n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++−++++++−+−+−++−++−根据引理可知，在以上每组里恰有1个数对p “协调”，所以共有p 个数对p “协调”. ………………………………………………………… 13分(3)继续考虑p 2n ，p 2n +1，p 2n +2，…，p 2n +(p 2−1)这p 2个数（分成p 组，每组p 个数）：222222222222212(1)12(21)(1)(1)1(1)2(1)p np n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++−++++++−+−+−++−++−由(2)的引理可知每一行里有且只有一个数对p “协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”.证明如下: 设某一列第一个数为2p n t +(01,01)n p t p −−≤≤≤≤，则20120p n t tp p np +=++，所以2()p W p n t n t +=+，同理当01s p −≤≤时，2()p W p n sp t n s t ++=++，所以当01s p −≤≤时，集合2{|01}p n sp t s p ++−≤≤中的p 个数中有且只有1个数对p “协调”.注意到数阵中每一个数向右一个数增加1，向下一个数增加p ， 所以p 个数对p “协调”的数之和为：2321()(121)(121)(1)2p n p p p p np p p ⋅++++−++++−⋅=+−，进一步，前p 2个对p “协调”的非负整数之和为：22132301(1)(1)[(1)]222p n p p p p np p p p −=−−+−=⋅+∑522p p −=.…………………… 17分。

2020年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，{|12}B x x =<„，则(A B =I ) A ．{|12}x x << B ．{|12}x x <„C ．{|12}x x -<„D ．{|12}x x -<„2．（4分）若复数2()1aia R i+∈-是纯虚数(i 是虚数单位），则a 的值为( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（4分）若x ，y 满足约束条件42y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…，则2z x y =+的最大值是( )A ．8B ．6C ．4D ．24．（4分）设a R ∈，则“2a >”是“方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（4分）在下面四个[x π∈-，]π的函数图象中，函数||cos2y x x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．6．（4分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AC ，11B C 的中点，E ，F 分别为BC ，1B B 的中点，则直线MN 与直线EF 、平面11ABB A 的位置关系分别为( ) A ．平行、平行B ．异面、平行C ．平行、相交D ．异面、相交7．（4分）口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当3n =时取出黑球的数目，η表示当4n =时取出黑球的数目．则下列结论成立的是()A ．()()E E ξη<，()()D D ξη<B ．()()E E ξη>，()()D D ξη<C ．()()E E ξη<，()()D D ξη>D ．()()E E ξη>，()()D D ξη>8．（4分）已知函数21,0(),0,ax x f x lnx x ⎧+=⎨>⎩„，下列关于函数(())y f f x m =+的零点个数的判断，正确的是( )A ．当0a =，m R ∈时，有且只有1个B ．当0a >，1m -„时，都有3个C ．当0a <，1m <-时，都有4个D ．当0a <，10m -<<时，都有4个9．（4分）设三棱锥V ABC -的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A VC B --为γ，则( ) A ．,2παββγ<+>B ．,2παββγ<+<C ．,2παββγ>+>D ．,2παββγ>+<10．（4分）设a R ∈，数列{}n a 满足1a a =，31(2)n n n a a a +=--，则( ) A ．当4a =时，10102a > B ．当2a =时，102a > C ．当13a =时，10102a >D ．当165a =时，102a > 二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分｡11．（6分）若双曲线221x y a-=的一渐近线方程是20x y +=，则a = ；离心率是 ．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ，休积是 ．13．（6分）已知a R ∈，若二项式(1)n x 的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n = ，含x 项的系数是 ．14．（6分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，2A π≠，cos cos 2cos c b A a B a A +-=，则ba= 内角B 的取值范围是 ．15．（4分）已知椭圆22:197x yC+=，F为其左焦点，过原点O的直线1交椭圆于A，B两点，点A在第二象限，且FAB BFO∠=∠，则直线1的斜率为．16．（4分）已知非零平面向量ar，br，cr，满足2a b a=rr rg，32c a b=+rr r，则||||b cb cr rgr rg的最小值是．17．（4分）设a，b R∈，若函数3221()(1)32f x ax bx a x=++-在区间[1-，1]上单调递增，则a b+的最大值为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数()sin cos(0)f x x a x a=+>满足22[()][()]42f x f xπ++=．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设02πα<<，且2()()23f fπαα+=g，求sin2α．19．（15分）如图，在四棱锥C ABNM-中，四边形ABNM的边长均为2，ABC∆为正三角形，6MB=，MB NC⊥，E，F分别为MN，AC中点．（Ⅰ）证明：MB AC⊥；（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．20．（15分）设等差数列{}na的前n项和为nS，已知：5223a a=+且2a9S14a成等比数列．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{}nb满足2112n n nb S s++=+，求证：121nb b b n++⋯+<+．21．（15分）如图，已知抛物线22(0)x py p=>的焦点为(0,1)F，过F的两条动直线AB，CD。

故 所以 ，当 时
又
因为 所以三棱锥 体积的最小值
故选：C
【点睛】
关键点点晴：本题的解题关键是将问题转化为求 的最大值，通过建系求得三棱锥 的高的最大值即可.
10．D
【分析】
分析得出 ，利用导数分析函数 的单调性，可得知 为函数 的极大值点， 为函数 的极小值点，再由 、 结合因式分解可得出结论.
【详解】
【详解】
解：充分性： ， ， ，故充分性成立．
必要性： ， ， ，则 与 平行或异面，故必要性不成立．
故“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选： ．
5．C
【分析】
利用二项展开式的通项公式可求常数项.
【详解】
的展开式中的通项公式为 ，
令 ，则 ，
故常数项为第4项且为 ，
故选：C.
6．B
【分析】
就 、 、 及 分类讨论后可得 的符号情况，从而可得正确的选项.
【详解】
因为 为等比数列，故 ，
若 ，则 ，故 ，故C错误，A正确，B正确，
若 ，则 ，故 ，
若 ，则 ，故 ，
若 ，则 ，故 ，
若 ，则 ，其中 ，
取 ，
则当 为偶数，则 即 ；
当 为奇数，则 即 ，
故AD错误.
故选：B.
7．B
【分析】
设马拉松全程为x，得到甲用的时间为 ，乙用的时间为 ，
做差比较大小可得答案.
故答案为： ， .
13．80 8
【分析】
由 时，茶水室温为20℃，茶水初始温度为100℃，代入解析式可得 ，
由 时及a的值代入解析式可得产生最佳口感所需时间.
【详解】
由题意， ，当 时，有 ， ，
则 ，当 时，即 ，所以 ，

∵ bn
1
(n
2 1)2
1 (n 1)4
1
(n
1 1)2
2
1
1 (n 1)2
1
1 n(n 1)
1
1 n
1 (n 1)
，
故 b1 b2
bn
n
1
1 n 1
n
1 .…………………………………………………
21．解：(Ⅰ)由题意得抛物线方程 x2=4y, …………………………………………………
，
点
D
到
AB
的距离
d2
|
k1x4 y4 1| 1 k12
(k1
x 4
1
y4 k12
1)
.
∴S
1 2
|
AB
|
(d1
d2 )
2(k12
1)
k1 ( x3
x4 ) ( y4 1 k12
y3 )
2 1 k12 (k1 k2 )(x3 x4 ) 4 1 k12 16k22 16 16 (1 k12 )(k12 4k1 5) . …………………………………………………………… 11 分 设 f (x) (1 x2 ) (x2 4x 5), x 0
13d ),
且
S9≥0，
解得
ad1
1, 2
或
a1 d
11 5
2.
,
（舍去）；…………………………………………………
5分
5
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 Sn n2 ，代入 bn2Sn+1= Sn+1+2
从而可得 bn
1 2 .…………………………………………………………… (n 1)2

浙江省宁波市十校2020届高三3月联考数学试题参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n np k C p p k n -=-=台体的体积公式11221()3V h S S S S =其中12S S ，分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，则P Q =（ ）A. (1,2)-B. (0,1)C. (1,0)-D. (1,2)【答案】B 【解析】 【分析】直接根据交集的定义计算PQ 即可得到答案.【详解】因为{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<， 所以{|01}PQ x x =<<.故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2.双曲线22194x y -=离心率是（ ）A.3B.3C.23 D.59【答案】A 【解析】 【分析】由标准方程求出c 和a ，继而可求离心率.【详解】解：2229413c a b =+=+=，所以c =. 由29a = 可知3a =.c e a ∴==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了离心率的求解.3.若x y ，满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是（ ）A. 4-B. 2-C. 2D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，通过平移13y x =- 分析即可得最优解，代回3z x y =+中即可求出最小值.【详解】解：画出可行域为如图所示的阴影部分.由3z x y =+可知1133y x z =-+.则当1133y x z =-+过()4,2C -时，min 462z =-=-.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下，首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义，分析出最优解.这里在画可行域时应注意，边界线是实线还是虚线.4.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A.343cm B. 32cmC. 383cmD. 34cm【答案】C 【解析】 【分析】由三视图还原出几何体，依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，高为2. 所以体积为3118222333V Sh cm ==⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积求解，考查了三视图. 5.函数()()22x b af x -=的图像如图所示，则（ ）A. 0,01a b ><<B. 0,10.4a b >-<≤C. 0,10a b <-<<D.0,01a b <<≤【答案】D【解析】 【分析】由解析式及图像判断出01b <≤，结合复合函数单调性，可知0a <. 【详解】解：由()()22x b af x -=可知，()()22x af x b f b x +=-= ，所以函数对称轴为x b =，由图可知01b <≤.设()2x b u a-=，则()2uf u =.由图可知，函数先增后减.因为()2uf u =单调递增，所以()2x b u a-=应先增后减，故0a <.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了复合函数的单调性.若()()f x a f b x +=-，则该函数的对称轴为2a bx +=；对于复合函数的单调性，遵循同增异减的原则. 6.设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】以2a =-为条件，判断20x x a ++=有实数根是否成立；以20x x a ++=有实数根为条件，判断2a =-是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当2a =-时，1490a ∆=-=> ，此时20x x a ++=有实数根； 当20x x a ++=有实数根时，140a ∆=-≥，即14a ≤. 故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.7.正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1BD （不含端点）上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β，二面角PBC A -的平面角为γ，则（ ）A. βγα<<B. αβγ<<C. γβα<<D.γαβ<<【答案】A 【解析】 【分析】不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ,经过分析,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠，从而可求出tan ,tan ,tan αβγ，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ， 连接,,,,PO PK PC PD KO ，则PO ⊥面ABCD .设正方体的边长为2a . 由题意知,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠.KO PO a ==，2CO a =3PC CD a ==，则tan 1a a γ==；2223cos 3232a aα==⋅⋅ 则tan 2α=； 2tan 22PO CO aβ===.因为tan tan tan βγα<<，所以βγα<<. 故选:A.【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路，一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解.8.已知随机变量的分布列如下102a ⎛<<⎫ ⎪：ξ1 2则（ ） A. ()E ξ有最小值12B. ()E ξ有最大值32 C. ()D ξ有最小值0 D. ()D ξ有最大值12【答案】D 【解析】 【分析】由所有概率之和为1求出12b =,进而可求()122E a ξ=+，()211442D a ξ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，结合102a <<，可求最值. 【详解】解：由题意知，21b a b a b -++==，即12b =.则()()113022,222b a b a a E ξ⎛⎫=⋅-++=+∈ ⎪⎝⎭，所以()E ξ没有最值. ()()222111021222222a b a a D b a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111424442a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.由102a <<可知，当14a =时，()D ξ有最大值为12.故选:D.【点睛】本题考查了分布列，考查了数学期望，考查了方差.对于分布列的题目，隐藏条件为，所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个. A. 576 B. 1296C. 1632D. 2020【答案】B 【解析】 【分析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有224444864C C A ⋅⋅=个；当取出的4个数字中有0时，共有214424C C ⋅=中组合，这四位数字所组成的四位数有223318A ⨯⨯=个，所以这种情况下的四位数共有2418432⨯=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零.10.数列{}n a 满足21121,n nn a a a a n N ++==-+∈，，则（ ） A. 存在k N +∈，使1122k k k a --<< B. 存在m ，k N +∈，m k a ka = C. 存在m ，,m k k N a ma +∈= D.121111na a a ++⋅⋅⋅+< 【答案】D 【解析】 【分析】由数列单调性的定义作差可得10n n a a +->，可得{}n a 为递增数列，又()2111n n n n n a a a a a +=--=-，两边取到数，结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解：由题意知， ()221211n n n n n a a a a a +-=-+=-.由于120a => ，所以()210n a ->，则10n n a a +->，所以{}n a 为递增数列. 211n nn a a a +=-+，()2111n n n n n a a a a a +∴-=-=-， ()11111111n n n n n a a a a a +∴==----.即111111n n n a a a +=---，则12122311111111111111......11111111n n n n a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=---------1111n a +=--.由{}n a 为递增数列，可得1101n a +>-，则11111n a +-<-.即121111na a a ++⋅⋅⋅+< 故选:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查数列的单调性，考查了裂项求和，考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，多空题每小题6分，共36分11.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知，2020i e π=___________ 【答案】1 【解析】 【分析】由已知可知2020cos2020sin2020i e i πππ=+，运用诱导公式可求出cos20201π=，以及sin20200π=，继而可求2020i e π.【详解】解：由题意知，2020cos2020sin2020i e i πππ=+，()cos2020cos 021010cos01ππ=+⋅==，同理，sin2020sin00π==.故2020cos2020sin20201i e i πππ=+=. 故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考查了推理能力和计算能力. 12.()()421x x ++的展开式中项3x 的系数为___________ 【答案】14 【解析】 【分析】由二项式定理写出()()421x x ++通向，求出通项中3x ，即可求系数.【详解】解：()41+x 展开式中的第1k + 项为414kkk T C x-+=，则()()54444221k k k kx C x x x C --=+++当2k =时，246C =；当1k =时，1428C =，8614+=. 故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式. 13.在四边形ABCD 中，12,34AB BC CD AD ====，，，且120ABC ∠=︒，则AC =___________，cos BCD ∠=___________【答案】(2). 14- 【解析】 【分析】利用余弦定理求出AC 的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD ∠=，由正弦定理和诱导公式即可求出cos BCD ∠的值.【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠ 即21422cos1207AC =+-⨯⨯=，AC ∴=又2227916AC CD AD +=+==，所以90ACD ∠=.由sin sin AB AC ACB B =∠∠，可知21sin 14ACB ∠==. ()cos cos 90sin 14BCD ACB ACB ∴∠=∠+=-∠=-故答案为;14-. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD ∠=.在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.14.已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF 周长是___________，ABF 的重心纵坐标的最大值是___________ 【答案】 (1). 8【解析】【分析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224a a a +=；设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，消去y ，即可求出122643ky y k +=+，进而可知重心纵坐标为1202334y y y k k+==+，分0,0k k >< 两种情况，结合基本不等式，即可求出0y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦，从而可求出重心纵坐标的最大值.【详解】解：由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F .则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y Bx y设ABF 的重心纵坐标为0y .则1212033y y y y y +++== .联立直线与椭圆方程得 ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k > 时，34k k+≥= 当且仅当34k k =，即k = 时，等号成立，此时0y ≤=当k 0<时，3344k k k k ⎛⎫+=---≤-=- ⎪⎝⎭34k k -=-， 即2k =-时，等号成立，此时06y ≥=-. 综上所述：00,66y ⎡⎫⎛∈-⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF 的重心纵坐标的最大值是6.故答案为: 8;3. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未对k 进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等. 15.()121f x x x =--+的值域为___________；若函数()()g x f x a =-的两个不同零点12,x x ，满足12210x x ≤-≤，则实数a 的取值范围是___________ 【答案】 (1). (],2-∞ (2). 15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可求出值域；依题意，()f x a =的零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或者(],1-∞-和[)1,+∞上，分类讨论结合已知即可求出.【详解】解：()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为(],2-∞.由()0g x =得()f x a =，显然，零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或(],1-∞-和[)1,+∞上， 令12331x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得12313x a a x =-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，又12210x x ≤-≤，则111719,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由121,11x x ≤--≤≤，可得14,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；令1233x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得1233x a x a =-⎧⎨=--⎩，又12210x x ≤-≤，则[][]5,11,5a ∈--⋃，同时121,1x x ≤-≥，得[]5,4a ∈--.综上所述：15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：(],2-∞;15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查不等式的求解，考查数形结合的思想，考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时，一般采用的思路有：图像法、导数法、结合函数的性质等.16.已知双曲线221:1C x y -=，曲线222:x yC x y y x+=-，则曲线12,C C 的交点个数是___________个，原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是___________ 【答案】 (1). 0 (2). 2 【解析】 【分析】联立曲线12,C C 的方程，通过配方法，解方程可判断交点个数；由两点的距离公式和三角换元，结合同角公式和二倍角公式，以及正弦函数的值域，可得所求最小值.【详解】解：联立方程组22221x y x y x y y x ⎧-=⎪⎨+=-⎪⎩，整理可得，22x y xy +=，即2213024x y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 由0xy ≠可知方程无解，即两条曲线没有交点.设曲线2C 上的点为(),x y ， 则原点与2C上的点之间的距离为r =设cos ,sin x r y r αα==，02απ≤<，代入2C 得()()()222222cos sin cos sin cossin r r r r r r αααααα+=⋅-整理得24411sin 2cos2sin 424r r r ααα==.由sin41α≤，可得241r≤，解得2r ≥ 当sin41α= 时，r 取最小值为2.故答案为: 0;2.【点睛】本题考查曲线方程的关系，考查两曲线的交点个数，考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大，计算容易出错.17.设向量()()1122,,,a x y b x y ==，记1212*a b x x y y =-，若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三点123A A A ，，，且1223A A A A ⊥，则1223**OA OA OA OA +的最大值是___________ 【答案】16 【解析】 【分析】设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ,根据条件得13131,222x x y y ++==-,则 ()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+,所以当直线240x y b ++= 与圆相切时,24x y + 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解：由圆的方程得()()22125x y -++=，则圆心()1,2C -，半径r =设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ，由1223A A A A ⊥得13A A 为直径， 由此可得13131,222x x y y ++==-，即13132,4x x y y +=+=-. 则()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+，2A 为圆上的一点， 当直线240x y b ++=与圆相切时，24x y + 有最大值.则圆心到直线的距离28b d -+==，解得16b =或4-.则当16b =时，24x y + 有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查平面向量的运算，考查转化的思想.本题的难点在于将24x y +的最值问题转化为直线与圆相切的问题. 三、解答题18.设函数()sin cos ,R f x x x x =+∈.（1）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；（2）若()f α=3f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）34πθ=或74π（2）3f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由三角恒等变换求得()2sin 4f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再由奇函数可知,4k k Z πθπ+=∈，结合[]0,2θπ∈可求出符合题意的θ的值. （2）由()22f α=可求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，则所求26sin cos 344f a πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求出值.【详解】解：（1）()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝==+⎭+，()2sin 4f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为()f x θ+为奇函数，所以,4k k Z πθπ+=∈，解得,4k k Z πθπ=-+∈∵02θπ≤≤∴当0k =或1 时，34πθ=或74π. （2）因为()2f α=，所以22sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭所以262sin sin cos 34344f a πππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当3cos 4πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角恒等变换，考查了同角三角函数的基本关系，考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sin f x A x ωϕ=+ 为奇函数，则,k k Z ϕπ=∈；若已知()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则,2k k Z πϕπ=+∈.19.如图，三棱锥P ABC -中，PAC 是正三角形，ABC 是直角三角形，点D 是PB 的中点，且APB CPB ∠=∠，2PA PB =.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OB OP ，，通过证明OP AC OB AC ⊥⊥，，则可证AC ⊥面PBO ，从而证明线线垂直.（2）由AC ⊥面PBO 可知二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥ 平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠ 是AD 和平面PAC 所成的角，由此能求出AD 和平面PAC 所成的角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在APB △和CPB △中，∵APB CPB PA PC PB PB ∠=∠==，，， ∴APB CPB △≌△，∴AB CB =.∴ABC 为等腰直角三角形 取AC 的中点O ，连接OB OP ，，则OP AC OB AC ⊥⊥，， ∴AC ⊥面PBO ，PB ⊂面PBO ，∴PB AC ⊥（2）∵AC ⊥面PBO ，∴二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠为AD 和平面PAC 所成的角.设2PB =，则PAC 的边长为4，BA BC ==PBO中，122PB OB OP DT ====，APB △中，42PA AB BP ===，，D 为PB的中点，∴AD =在Rt ADT △中，sin 22DT DAT AD ∠==，故AD 与平面PAC所成角的正弦值22【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时，可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时，有两种思路，一是直接找到二面角，在三角形内进行求解；二是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解. 20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4324,a a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，1n n T b +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记,n nn c b n =⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和为n W，证明：13n W <.【答案】（1）n a n =；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合基本量法，将已知4324,a a S ==用首项和公差表示出来，即可求出通项公式；由1n n T b +=推出111n n T b --+=，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）求出n c ，分别讨论n 为奇数和偶数，结合数列的分组求和，以及裂项法、放缩法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详解】解：（1）∵4324a a S ==，∴111a d ==，，∴n a n =∵1n n T b +=，∴111n n T b --+=，两式相减得112b =，112n n b b -=，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）①当2n m =时，则形2114kmmn mk k W W ==⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑，∵111144111111434314mkm mk =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑，当2k ≥=<=∴21mmk k ==<+=∑1133n W <<+.②当21n m =-时，21213n m m W W W -=<<+.综上①②得：13n W <【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，考查了分组求和，考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对n 取奇数和偶数进行讨论.21.已知点()0,A a ，0a >，抛物线()220x py P =>上点B 处的切线交x 轴于点P ，且直线AB 交抛物线于另一个点C ，过点C 作AP 的平行线x 轴于点Q . （1）证明：//AQ BP ；（2）记直线BP ，CQ 与x 轴围成的三角形面积为1S ，BOC 的面积为2S ，是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值若不存在，请说明理. 【答案】（1）证明见解析（2）存在；12λ= 【解析】 【分析】（1）设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则可知直线BC 的方程，由()0,A a 在BC 可知012a t t p=，求出22x Py =在B 处的切线的方程可得()0,0P pt ，从而可求出直线CQ 的方程，继而可得()1,0Q pt ，由012AQ BP ak t k pt =-==可证明平行. （2）设直线,BP CQ 相交于点T ，则1PQT S S ∆= ,四边形AQTP 为平行四边形，由此推导出存在12λ=使得12S S λ=. 【详解】解：（1）证明：设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则直线BC 的方程为()01012y t t x pt t =+-由()0,A a 在BC 可知，012a t t p=，又22x Py =在B 处的切线的方程为20022y t x pt =-， 令0y =可得0p x Pt =即()0,0P pt ∴0AP ak pt =-.直线CQ 的方程为 ()()2111102222ay pt x pt t x pt pt -=--=-，令0y =可得1Q x pt =即()1,0Q pt ∴012AQ BP ak t k pt =-==即AQ BP ∥ （2）设BP 和CQ 相交于点T 则1PQT S S =△，由（1）可知，四边形AQTP 为平行四边形 ∴1101122PQTAQPQ P S SSOA x x ap t t ===-=-， ∵21011222OBCB C S S OA x x a p t t ==-=⋅-，∴1212=S S ，即存在12λ=【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.22.已知函数()()2112xf x x e x -=+-，其中 2.71828e ≈为自然对数的底.（1）试求函数()f x 的单调区；（2）若函数()212x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b .①求实数a 的取值范围；②证明：12b <.（参考数据：1.64 1.65） 【答案】（1）函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减（2）①()1,4a ∈②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导数为()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究'(),()f x f x 随x 的变化情况，即可求出单调区间.（2）①由定义域为R 可知220x x a ++≠恒成立，所以440a =-<△，可求出1a >，求出()()()()22222212x x a e x g x xx a+--+'=++，令()0g x '=得()22a f x -=，结合第一问的单调性可知()2202a f -<=，即14a <<.②由()2112f a -=-<-及3359222 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭可知存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，则极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.结合导数可证明()()21x e h x x =+在302x <<上递增，从而可求12b <【详解】（1）求导得()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，由()0f x '=，解得0x =.当0x <时，()0f x '≥；当0x >时，()0f x '<.又因为函数()f x 的定义域为R ， 故函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减. （2）①因为函数()g x 的定义域为R ，则220x x a ++≠恒成立 故440a =-<△，即1a > 又()()()()()()()()2222222221122122x x x x x a x e xa e x g x xx a xx ae ++-+++--+'==++++则()0g x '=等价于()()22212x a x e x f x --=+-=，由（1）知()2y f x =在(,0]-∞上递增，在(0,)+∞上递减， 故函数()g x 存在极小值，必有()2202a f -<=，即14a <<.②又()2112f a -=-<-，339592224 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，故对任意()1,4a ∈， 存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，即()22,1,2i a f x i -==，因此，()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减， 所以，极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.记函数()()21x e h x x =+，302x <<，则()()2021x xe h x x '=>+，即()h x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 故()()320h h x h ⎛<<⎫⎪⎝⎭，即12b <<12b <. 【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不等式恒成立问题.。

绝密★启用前金华十校2020年4月高三模拟考试数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|(x+1)(x-2)<0},B={x|1<x≤2},则A∩B=A. {x|1<x<2}B.{x|1<x≤2}C. {x|-1<x≤2}D. {x|-1≤x<2}2.若复数21aii+-(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位),则a的值为A. -2B. -1C.1D.23. 若x,y满足约束条件42y xx yy⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…,则z=x+2y的最大值是A.8B.6C.4D.24.设a∈R,则“a>2”是“方程22220x y ax y++-+=的曲线是圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在下面四个[,]xππ∈-的函数图象中,函数y=|x|cos2x的图象可能是6. 已知在三棱柱111ABC A B C-中,M,N分别为11,AC B C的中点,E,F分别为1,BC B B的中点,则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为A.平行､平行B.异面､平行C.平行､相交D.异面､相交7. 口袋中有相同的黑色小球n个,红､白､蓝色的小球各一个,从中任取4个小球5表示当n=3时取出黑球的数目,n表示当n=4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是A. E(ξ)<E(η), D(ξ)<D(η))B. E(ξ)>E(η), D(ξ)<D(η)C. E(ξ)<E(η), D(ξ)>D(η)D. E(ξ)>E(η), D(ξ)>D(η)3. 已知函数21,0()ln,0,ax xf xx x⎧+≤=⎨>⎩下列关于函数y=f(f(x))+m 的零点个数的判断,正确的是A.当a=0, m∈R时,有且只有1个B.当a>0,m≤-1时,都有3个C.当a<0,m<-1时,都有4个D.当a<0,-1<m<0时,都有4个9.设三棱锥V-ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形,VA ⊥底面ABC,M 是线段BC 上的点(端点除外),记VM 与AB 所成角为α, VM 与底面ABC 所成角为β,二面角A-VC-B 为γ,则.,2A παββγ<+>.,2B παββγ<+<.,2C παββγ>+>.,2D παββγ>+<10. 设a ∈R ,数列{}n a 满足a 3112,(2),n n n a a a a a +-==--A.当a=4时,a 10>210B.当2a =时,a 10>2C.当13a=时,a 10>210D.当165a =时,a 10>2 非选择题部分(共110分)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分｡11. 若双曲线221x y a-=的一渐近线方程是x+2y=0,则a=____ ;离心率是_____. 12. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是____，休积是___.13.已知a ∈R ,若二项式(1)nx 的展开式中二项式系数和是16,所有项系数和是81,则n=____，含x 项的系数是_____.14.已知△ABC 的内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,且,,2A π≠2acosA,则ba=_____内角B 的取值范围是_____.15.已知椭圆22:1,97x y C +=F 为其左焦点,过原点O 的直线1交椭圆于A,B 两点,点A 在第二象限,且∠FAB=∠BFO,则直线1的斜率为____.16. 已知非零平面向量a ,b ,c , 满足a ·b =a 2, 3c =2a +b ,则||||⋅⋅b cb c 的最小值是___.17. 设a, b ∈R ,若函数3221()(1)32f x ax bx a x =++-在区间[-1,1]上单调递增,则a+b 的最大值为______.三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 18. (本题满分14 分)已知函数f(x)=sinx+acosx(a>0)满足22[()][()] 4.2f x f x π++=(I)求实数a 的值; (II)设0,2a π<<且2()(),23f f παα⋅+=求sin2α.19. (本小题满分15分)6,MB =如图,在四棱锥C-ABNM 中,四边形ABNM 的边长均为2,△ABC 为正三角形,MB=6，MB ⊥NC,E,F 分别为MN,AC 中点｡( I )证明:MB ⊥AC;(II)求直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值｡20. (本小题满分15分)设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知: a 5= 2a 2+3且92,a S a 14成等比数列.(I )求数列{}n a 的通项公式;(II)设正项数列{}n b 满足2112,n n n b S s ++=+求证:12 1.n b b b n +++<+L21.(本小题满分15分)如图,已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F(0,1), 过F 的两条动直线AB, CD 与抛物线交出A ､B ､C ､D 四点,直线AB, CD 的斜率存在且分别是112(0),.k k k >(I )若直线BD 过点(0,3),求直线AC 与y 轴的交点坐标 (II)若k 1 -k 2=2, 求四边形ACBD 面积的最小值.22. (本小题满分15分)已知函数3()ln .f x ax ax x x =--其中a ∈R . (I)若1,2a =证明: f(x)≥0; (II)若11()xxef x -≥-在x ∈(1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围.。

浙江省宁波市宁波十校2025届高考数学三模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()()20f f -+=（ ） A ．3- B ．2C ．3D ．2-2．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．点(,)P x y 为不等式组+4x y y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（ ）A ．()(),21,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．[]2,1-4．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．16007．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．88．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．39．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．21+B ．12C ．21D ．2110．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11．已知函数()3sin cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3g x m x =+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 12．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x ≤2}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省金华十校2020届高三4月模拟考试数学试题一、选择题.1．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，B ＝{x |1＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |1＜x ≤2} C ．{x |﹣1＜x ≤2} D ．{x |﹣1≤x ＜2}2．若复数2+ai 1−i（a ∈R ）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．若x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≤4y ≥−2，则z ＝x +2y 的最大值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．24．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在下面四个x ∈[﹣π，π]的函数图象中，函数y ＝|x |cos2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点，E ，F 分别为BC ，B 1B 的中点，则直线MN 与直线EF 、平面ABB 1A 1的位置关系分别为（ ） A ．平行、平行B ．异面、平行C ．平行、相交D ．异面、相交7．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）A ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）B ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＜D （η）C ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＞D （η）D ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＞D （η）8．已知函数f(x)={ax 2+1，x ≤0lnx ，x ＞0，，下列关于函数y ＝f （f （x ））+m 的零点个数的判断，正确的是（ ）A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个9．设三棱锥V ﹣ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A ﹣VC ﹣B 为γ，则（ ）A ．α＜β，β+γ＞π2 B ．α＜β，β+γ＜π2 C ．α＞β，β+γ＞π2 D ．α＞β，β+γ＜π2 10．设a ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n +1＝a n ﹣（a n ﹣2）3，则（ ） A ．当a ＝4时，a 10＞210 B ．当a =√2时，a 10＞2 C ．当a =13时，a 10＞210D ．当a =165时，a 10＞2 二、填空题:共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分｡11．若双曲线x 2a−y 2=1的一渐近线方程是x +2y ＝0，则a ＝ ；离心率是 ．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是，休积是．13．已知a∈R，若二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n＝，含x项的系数是．14．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，A≠π2，c+b cos A﹣a cos B=√2a cos A，则ba=内角B的取值范围是．15．已知椭圆C：x29+y27=1，F为其左焦点，过原点O的直线1交椭圆于A，B两点，点A在第二象限，且∠FAB＝∠BFO，则直线1的斜率为．16．已知非零平面向量a→，b→，c→，满足a→•b→=a→2，3c→=2a→+b→，则b→⋅c→|b→|⋅|c→|的最小值是．17．设a，b∈R，若函数f(x)=23ax3+12bx2+(1−a)x在区间[﹣1，1]上单调递增，则a+b的最大值为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知函数f（x）＝sin x+a cos x（a＞0）满足[f(x)]2+[f(x+π2)]2=4．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设0＜α＜π2，且f（α）•f（α+π2）=23，求sin2α．19．如图，在四棱锥C﹣ABNM中，四边形ABNM的边长均为2，△ABC为正三角形，MB=√6，MB⊥NC，E，F分别为MN，AC中点．（Ⅰ）证明：MB⊥AC；（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知：a5＝2a2+3且a2，√S9，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{b n}满足b n2S n+1＝s n+1+2，求证：b1+b2+…+b n＜n+1．21．如图，已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过F的两条动直线AB，CD 与抛物线交出A、B、C、D四点，直线AB，CD的斜率存在且分别是k1（k1＞0），k2．（Ⅰ）若直线BD过点（0，3），求直线AC与y轴的交点坐标（Ⅱ）若k1﹣k2＝2，求四边形ACBD面积的最小值．22．已知函数f（x）＝ax3﹣ax﹣xlnx．其中a∈R．（Ⅰ）若a=12，证明：f（x）≥0；（Ⅱ）若xe1﹣x≥1﹣f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，B ＝{x |1＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤2}D ．{x |﹣1≤x ＜2}【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：A ．2．若复数2+ai 1−i（a ∈R ）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．解：∵2+ai 1−i=(2+ai)(1+i)(1−i)(1+i)=2−a 2+2+a 2i 是纯虚数，∴{2−a =02+a ≠0，即a ＝2． 故选：D ．3．若x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≤4y ≥−2，则z ＝x +2y 的最大值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．解：作出不等式对应的平面区域： 由z ＝x +2y ，得y =−12x +z 2，平移直线y =−12x +z 2，由图象可知当直线y =−12x +z 2经过点A 时，直线y =−12x +z 2的截距最大，此时z 最大． 由{x +y =4x =y ，得A （2，2）， 此时z 的最大值为z ＝2+4＝6， 故选：B ．4．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】先化简，再判断．解：方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆，则有D 2+E 2﹣4F ＝a 2+4﹣8＞0，解之得a ＞2或a ＜﹣2，则“a ＞2”是“a ＞2或a ＜﹣2”的充分不必要条件， 故选：A ．5．在下面四个x∈[﹣π，π]的函数图象中，函数y＝|x|cos2x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，可排除AC，由f（π）＞0，可排除B，进而得出正确选项．解：f（﹣x）＝|﹣x|cos（﹣2x）＝|x|cos2x＝f（x），即f（x）为偶函数，可排除AC；又f（π）＝πcos2π＝π＞0，可排除B．故选：D．6．已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B 的中点，则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为（）A．平行、平行B．异面、平行C．平行、相交D．异面、相交【分析】推导出EF⊂平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N∉EF，由异面直线判定宣理得直线MN与直线EF是异面直线．取A1C1中点P，连结PN，PM，则PN∥B1A1，PM∥A1A，从而平面PMN∥平面ABB1A1，由此得到直线MN与平面ABB1A1平行．解：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，∴EF⊂平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N∉EF，∴由异面直线判定宣理得直线MN与直线EF是异面直线．取A1C1中点P，连结PN，PM，则PN∥B1A1，PM∥A1A，∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面ABB1A1，∵MN⊂平面PMN，∴直线MN与平面ABB1A1平行．故选：B．7．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）【分析】当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）＝2，D（ξ）=25，当n＝4时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出E（η）=167，D（η）=2449，从而求出E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）．解：当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ＝1）=C31C64=15，P（ξ＝2）=C32C32C64=35，P（ξ＝3）=C31C64=15，∴E（ξ）=15+2×35+3×15=2，D（ξ）=15+15=25，当n＝4时，η可取1，2，3，4，P（η＝1）=C41C74=435，P（η＝2）=C42C32C74=1835，P（η＝3）=C43C31C74=1235，P（η＝4）=1C74=135，∴E（η）=435+2×1835+3×1235+4×135=167，D（η）=435（1−167）2+1835（2−167）2+1235（3−167）2+135（4−167）2=2449，∴E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）．故选：A．8．已知函数f(x)={ax2+1，x≤0lnx，x＞0，，下列关于函数y＝f（f（x））+m的零点个数的判断，正确的是（）A．当a＝0，m∈R时，有且只有1个B．当a＞0，m≤﹣1时，都有3个C．当a＜0，m＜﹣1时，都有4个D．当a＜0，﹣1＜m＜0时，都有4个【分析】分别画出a＝0，a＞0，a＜0时，y＝f（x）的图象，结合t＝f（x），f（t）+m ＝0的解的情况，数形结合可得所求零点个数．解：画出a＝0时，y＝f（x）的图象，可令t＝f（x），则f（t）+m＝0，即y＝f（t）和y＝﹣m的交点个数即为零点的个数．若m＝﹣1，则t≤0或t＝e，即0＜x≤1或x＝e e，即当a＝0，m∈R时，不只1个零点，故A错；当a＞0时，m≤﹣1时，可得t≤0或t＝e﹣m≥e，可得x的个数为1+2＝3个，即B正确；当a＜0，m＜﹣1或﹣1＜m＜0时，y＝f（x）的图象如右图：（y轴左边红色的和y轴右边的图象）．由﹣m＞0，且﹣m≠1，可得零点的个数为1个或3个，故C，D错误．故选：B．9．设三棱锥V﹣ABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，VA⊥底面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），记VM与AB所成角为α，VM与底面ABC所成角为β，二面角A﹣VC﹣B为γ，则（）A．α＜β，β+γ＞π2B．α＜β，β+γ＜π2C．α＞β，β+γ＞π2D．α＞β，β+γ＜π2【分析】由最小角定理得α＞β，由已知条件得AB⊥平面VAC，过A作AN⊥VC，连结BN，得γ＝∠BNA，推导出γ＞∠BVA，由VA⊥平面ABC，得β＝∠VMA，推导出γ＞∠MVA，从而β+γ＞π2．解：设三棱锥V﹣ABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，VA⊥底面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），记VM与AB所成角为α，VM与底面ABC所成角为β，二面角A﹣VC﹣B为γ，由最小角定理得α＞β，排除A和B，由已知条件得AB⊥平面VAC，过A作AN⊥VC，连结BN，得γ＝∠BNA，∴tanγ=tan∠BNA=AB AN，而tan∠BVA=ABAV，AN＜AV，∴tan∠BNA＞tan∠BVA，∴γ＞∠BVA，∵VA⊥平面ABC，∴β＝∠VMA，∴β+∠MVA=π2，∵tan∠MVA=AMAV，AB＞AM，∴tan∠MVA，∴γ＞∠MVA，∴β+γ＞π2．故选：C．10．设a∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝a n﹣（a n﹣2）3，则（）A．当a＝4时，a10＞210B．当a=√2时，a10＞2C．当a=13时，a10＞210D．当a=165时，a10＞2【分析】令b n＝a n﹣2，则b n+1=b n−b n3，令f（x）＝x﹣x3，则f′（x）＝1﹣3x2，则f（x）在（﹣∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递减，在（−√33，√33）上单调递增，分别取a=√2和a=165，利用函数的单调性推导出B，D错误；令g（x）＝x3﹣x，则g′（x）＝3x2﹣1，g（x）在（−∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递增，在（−√33，√33）上单调递减，当a＝4时，利用函数的单调性推导出A错；当a=13时，利用函数的单调性推导出C正确．解：令b n＝a n﹣2，即b n+1=b n−b n3，令f（x）＝x﹣x3，则f′（x）＝1﹣3x2，由f′（x）＞0，得−√33＜x＜√33，由f′（x）＜0，得x＜−√33或x＞√33，则f（x）在（﹣∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递减，在（−√33，√33）上单调递增，当a =√2时，b 1=√2−2＜−√33，0＞b 2＝18﹣13√2＞−√33，由数学归纳法得到−√33＜b n+1=b n (1−b n 2)＜0，当a =165时，b 1=65，0＞b 2=−66125＞−√33， 由数学归纳法知−√33＜b n+1=b n (1−b n 2)＜0，故B ，D 错误；令g （x ）＝x 3﹣x ，则g ′（x ）＝3x 2﹣1，由g ′（x ）＞0，得x ＜−√33或x ＞√33，由g ′（x ）＜0，得−√33＜x ＜√33，∴g （x ）在（−∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递增，在（−√33，√33）上单调递减，当a ＝4时，|b 1|＝2，|b 2|＝6，由题意得|b n |≥2，|b n+1b n|＝|1−b n 2|＞1，则b n+1b n⋅b n b n−1=（1−b n 2）（1−b n−12）＞0，∴b 10=|b 1|π9i=1(b i 2−1|＞2×39＞210，∵b 2与b 10同号，则A 错； 当a =13时，|b 1|=53，|b 2|=8027， 由题意知|b n |≥53，|b n+1b n|＝|1−b n 2|＞1，则b n+1b n⋅b n b n−1=（1−b n 2）（1−b n−12）＞0，∴b 2与b 10同号，∴b 10=|b 1|π9i=1(b i 2−1|＞8027⋅38＞210，故C 正确． 故选：C ．二、填空题:共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分｡11．若双曲线x 2a−y 2=1的一渐近线方程是x +2y ＝0，则a ＝ 4 ；离心率是√52． 【分析】由题意双曲线的方程和渐近线的方程求出a ，进而求出双曲线的离心率．解：由双曲线x 2a−y 2=1的方程可得渐近线的方程为：y =√a ，而由题意可得√a=12，所以a ＝4， 离心率e =√4+1√4=√52，故答案分别为：4，√52． 12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 16+6√2 ，休积是 6 ．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积． 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为三棱柱， 如图所示：所以该几何体的表面积为：S =2×3+2×3+2√2×3+2×12×2×2=16+6√2．该几何体的体积为：V=12×2×2×3=6．故答案为：16+6√2；6．13．已知a∈R，若二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n＝4，含x项的系数是24或96．【分析】二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，可得2n＝16，解得n．所有项系数和是81，令x＝1，可得：（a+1）4＝81，解得a．利用通项公式即可得出．解：二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，∴2n＝16，解得n＝4．所有项系数和是81，令x＝1，可得：（a+1）4＝81，解得a＝2，或﹣4．a＝2时，T3=∁42(2√x)2=24x，a＝﹣4时，T3=∁42(−4√x)2=96x，含x项的系数是24或96．故答案为：4，24或96．14．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，A≠π2，c+b cos A﹣a cos B=√2a cos A，则ba =√22内角B的取值范围是（0，π4）．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sin B cos A=√2sin A cos A，结合A≠π2，可得2sin B=√2sin A，由正弦定理可得ba=√22，kd sin B=√2sinA2，且b＜a，B为锐角，即可求解范围B．解：∵c+b cos A﹣a cos B=√2a cos A，∴由正弦定理可得：sin C+sin B cos A﹣sin A cos B=√2sin A cos A，∵sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin A cos B+cos A sin B+sin B cos A﹣sin A cos B=√2sin A cos A，可得2sin B cos A=√2sin A cos A，∵A ≠π2，∴可得2sin B =√2sin A ，由正弦定理可得2b =√2a ，可得b a=√22，∵sin B =√2sinA 2∈（0，√22），且b ＜a ，B 为锐角，∴B ∈（0，π4）．故答案为：√22，（0，π4）．15．已知椭圆C ：x 29+y 27=1，F 为其左焦点，过原点O 的直线1交椭圆于A ，B 两点，点A 在第二象限，且∠FAB ＝∠BFO ，则直线1的斜率为 −√73．【分析】先设点A 的坐标，再把需要的线的斜率表示出，利用到角公式解出点的坐标，从而求出斜率．解：设A （x 0，y 0 ），则B （﹣x 0，﹣y 0），x 0＜0，y 0＞0且x 029+y 027=1．∵F 为其左焦点，∴F （−√2，0），tan ∠BFO =0−x 0+2，直线AB 的斜率k 1=yx 0．经分析直线AF 的斜率必存在，设为k 2=y 0x0+√2．又由到角公式可得：tan ∠FAB =k 1−k 21+k 1k 2=√2y 0x 02+2x 0+y 02．又∠FAB ＝∠BFO ，∴√2y 0x 2+√2x +y 2=0−x +√2． ∴x 02+2√2x 0+y 02=2，又x 029+y 027=1，x 0∈（﹣3，0），可解得：x 0=−3√22，y 0=√142，∴直线l 的斜率为y 0x 0=−√73．故答案为：−√73．16．已知非零平面向量a →，b →，c →，满足a →•b →=a →2，3c →=2a →+b →，则b →⋅c→|b →|⋅|c →|的最小值是 √32．【分析】根据已知条件可以得出向量a →，b →，c →之间的关系，然后利用坐标法、特殊化将向量b →，c →的坐标表示出来，最后将问题转化为一个基本不等式问题．解：由a →•b →=a →2得|a →||b →|cosθ=|a →|2（θ是a →，b →的夹角）．∴|b →|cosθ=|a →|，所以不妨设a →=(1，0)，b →=(1，tanθ)(θ是零角或锐角)，（∵求得是比值，所以为了简化计算，在不影响结果前提下设a →=(1，0)．）∴c →=23a →+13b →=(1，13tanθ)．再令t ＝tan θ∈[0，+∞）．则b →⋅c→|b →|⋅|c →|=1+13t 2√1+t 2√1+9t 2=√(1+t )(1+19t )(1+13t 2)2 对于分母，再令m ＝t 2≥0，则分母可化为：y =√1+49m1+23m+19m2=√1+4923+19m+1m．∵23+19m +1m≥23+2√19m ×1m=43，（当且仅当m ＝3时取等号）∴上式≤√1+4943=3．∴b →⋅c→|b →|⋅|c →|≥12√3=√32． 故答案为：√32．17．设a ，b ∈R ，若函数f(x)=23ax 3+12bx 2+(1−a)x 在区间[﹣1，1]上单调递增，则a +b的最大值为 2 ．【分析】求导得f ′（x ）＝2ax 2+bx +1﹣a ，依题意，（2x 2﹣1）a +xb +1≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，先根据系数比例，令2x 2﹣1＝x ，可得a +b ≤2，即a +b 的最大值为2，再证明充分性，即当a +b ＝2时，（2x 2﹣1）a +xb +1≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，综合即可得出结论．解：f ′（x ）＝2ax 2+bx +1﹣a ，∵函数f （x ）在区间[﹣1，1]上单调递增，∴f ′（x ）≥0在[﹣1，1]上恒成立，亦即（2x 2﹣1）a +xb +1≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立， 令2x 2﹣1＝x ，解得x ＝1或x =−12，将x =−12代入可得−12a −12b +1≥0，即a +b ≤2，则a +b 的最大值为2，下面证明a +b ＝2可以取到，令g （x ）＝f ′（x ）＝2ax 2+bx +1﹣a ，则g ′（x ）＝4ax +b ，且g(x)≥0，g(−12)=0，则g′(−12)=−2a +b =0，解得a =23，b =43，当a =23，b =43时，g(x)=f′(x)=43x 2+43x +13=13(2x +1)2≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，故a +b ＝2可以取到， 综上，a +b 的最大值为2．故答案为：2．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知函数f（x）＝sin x+a cos x（a＞0）满足[f(x)]2+[f(x+π2)]2=4．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设0＜α＜π2，且f（α）•f（α+π2）=23，求sin2α．【分析】（Ⅰ）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得a的值．（Ⅱ）由题意利用三角恒等变换求得cos（2α+π6）的值，再利用同角三角函数的基本关系求出sin（2α+π6）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin2α＝sin[（2α+π6）−π6]的值．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝sin x+a cos x（a＞0），∴f（x+π2）＝sin（x+π2）+a cos（x+π2）＝cos x﹣a sin x，∵满足[f(x)]2+[f(x+π2)]2=4，即（sin x+a cos x）2+（cos x﹣a sin x）2＝4，即1+a2＝4，故a=√3．（Ⅱ）设0＜a＜π2，且f(α)⋅f(α+π2)=23=（sinα+√3cosα）•（cosα−√3sinα）＝sinαcosα−√3sin2α+√3cos2α﹣3sinαcosα＝﹣2sinαcosα+√3cos2α=√3cos2α﹣sin2α＝2cos（2α+π6）∴cos（2α+π6）=13．∵0＜α＜π2，∴2α+π6∈（π6，7π6），∴sin（2α+π6）=√1−cos2(2α+π6)=2√23．故sin2α＝sin[（2α+π6）−π6]＝sin（2α+π6）cosπ6−cos（2α+π6）sinπ6=2√23×√32−13⋅12=2√6−16．19．如图，在四棱锥C﹣ABNM中，四边形ABNM的边长均为2，△ABC为正三角形，MB=√6，MB⊥NC，E，F分别为MN，AC中点．（Ⅰ）证明：MB⊥AC；（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接AN，由题意可得MB⊥AN，结合MB⊥NC，利用线面存在着的判定可得MB⊥平面NAC，则MB⊥AC；（Ⅱ）取BC的中点G，连接FG，NG，MG，证明MG与EF相交，记交点为O，则O 为MG与EF的中点．则直线EF与平面MBC所成角，就是FO与平面MBC所成角，记为θ．由已知求解三角形可得OF．记F到平面MBC的距离为h，利用等体积法求得h，则sinθ=ℎOF=√155．【解答】（Ⅰ）证明：连接AN，∵四边形ABNM的边长均为2，∴MB⊥AN，∵MB⊥NC，且AN∩NC＝N，∴MB⊥平面NAC，∵AC⊂平面NAC，∴MB⊥AC；（Ⅱ）解：取BC的中点G，连接FG，NG，MG，显然FG∥MN，且FG=12MN，即FG∥ME，FG＝ME，∴MG与EF相交，记交点为O，则O为MG与EF的中点．∴直线EF与平面MBC所成角，就是FO与平面MBC所成角，记为θ．由（Ⅰ）知，MB⊥AC，又△ABC为正三角形，∴BF⊥AC，且BF=√3．∵MB∩BF＝B，∴AC⊥平面MBF，则MF⊥AC，得MF=√3．∵MB=√6，∴MF⊥BF，得OF=12EF=12√3+1=1．记F到平面MBC的距离为h，∵MF⊥BF，MF⊥AC，且AC∩BF＝F，∴MF⊥平面ABC，V M−BCF=13S△BCF⋅MF=13⋅12⋅1⋅√3⋅√3=12．在△MBC中，∵MC＝BC＝2，MB=√6，∴S△MBC=√152．∴V F−MBC=13S△MBC⋅h=13⋅√152⋅h=12，得h=√155．故sinθ=ℎOF=√155．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知：a5＝2a2+3且a2，√S9，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{b n}满足b n2S n+1＝s n+1+2，求证：b1+b2+…+b n＜n+1．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，注意9a 1+36d ≥0，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得S n ＝n 2，求得b n ，并推得b n ＜√1+1n 2+1(n+1)2=√[n(n+1)+1]2n 2(n+1)2=1+1n(n+1)=1+1n −1n+1，再由数列的分组求和以及裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 5＝2a 2+3可得a 1+4d ＝2（a 1+d ）+3， 又a 2，√S 9，a 14成等比数列，可得S 9＝a 2a 14， 即9a 1+36d ＝（a 1+d ）（a 1+13d ），且9a 1+36d ≥0， 解得a 1＝1，d ＝2，或a 1=−115，d =25（舍去）， 则a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得S n =12（1+2n ﹣1）n ＝n 2，由b n 2S n +1＝S n +1+2，可得b n =√1+2(n+1)2，由b n ＜√1+1n 2+1(n+1)2=√n 2(n+1)2+(n+1)2+n 2n 2(n+1)2 =√[n(n+1)+1]2n 2(n+1)2=1+1n(n+1)=1+1n −1n+1，故b 1+b 2+…+b n ＜n +（1−12+12−13+⋯+1n −1n+1） ＝n +1−1n+1＜n +1．21．如图，已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过F的两条动直线AB，CD 与抛物线交出A、B、C、D四点，直线AB，CD的斜率存在且分别是k1（k1＞0），k2．（Ⅰ）若直线BD过点（0，3），求直线AC与y轴的交点坐标（Ⅱ）若k1﹣k2＝2，求四边形ACBD面积的最小值．【分析】（Ⅰ）抛物线方程为x2＝4y，设设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3＞x4，直线y＝kx+t代入抛物线方程，当t＝1时，得x1x2，x3x4，当t＝3时，得x2x4，进而可得x1x3值为−43，写出直线AC方程，令x＝0得y=−x1x34=13，进而得出结论．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3＞x4，设直线l的方程是y＝kx+1，联立抛物线方程，由韦达定理可得，|AB|＝|y1+1+y2+1|＝4（k12+1），再求出点C到AB的距离d1点D到AB的距离d2，S=12|AB|（d1+d2），化简得S＝16√(1+k12)(k12−4k1+5)，设f（x）＝（1+x2）（x2﹣4x+5），x＞0，求导，分析单调性，进而得出S min．解：（Ⅰ）由题意可得抛物线方程为x2＝4y，设直线y＝kx+t代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4t＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3＞x4，当t＝1时，得x1x2＝﹣4，x3x4＝﹣4，当t＝3时，x2x4＝﹣12，所以x 1x 3=−4x 2•−4x 4=−43，直线AC 方程是y ﹣y 1=x 1+x 34(x −x 1)， 令x ＝0得y =−x 1x 34=13， 故直线AC 与y 轴交点坐标是（0，13）．（Ⅱ）F （0，1）设直线l 的方程是y ＝kx +1，代入x 2＝4y 得x 2﹣4kx ﹣4＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），x 3＞x 4， 则{x 1+x 2=4k 1x 1x 2=−4，{x 3+x 4=4k 2x 3x 4=−4， |AB |＝|y 1+1+y 2+1|＝|k 1x 1+k 1x 2+4|＝4（k 12+1）， 点C 到AB 的距离d 1=133√1+k 1=133√1+k 1，点D 到AB 的距离d 2=144√1+k 1=144√1+k 1，S =12|AB |（d 1+d 2）＝2（k 12+1）•13443√1+k 12=2√1+k 12•（k 1﹣k 2）（x 3﹣x 4）＝4√1+k 12√16k 22+16=16√(1+k 12)(k 12−4k 1+5)， 设f （x ）＝（1+x 2）（x 2﹣4x +5），x ＞0 则f ′（x ）＝4（x 3﹣3x 2+3x ﹣1）＝4（x ﹣1）3，所以f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以在（0，+∞）内f （x ）最小值f （1）＝4． 故当k 1＝1，k 2＝﹣1时，S min ＝32．22．已知函数f （x ）＝ax 3﹣ax ﹣xlnx ．其中a ∈一、选择题． （Ⅰ）若a =12，证明：f （x ）≥0；（Ⅱ）若xe 1﹣x ≥1﹣f （x ）在x ∈（1，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．【分析】（I ）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求f （x ）的范围，可证；（II ）由已知代入整理可得，ax 2﹣a ﹣lnx ≥﹣e 1﹣x +1x，构造函数m （x ）＝ax 2﹣a ﹣lnx ，n （x ）＝﹣e 1﹣x +1x =1x −1e x−1，x ＞1，然后结合导数分别分析函数的特征性质，可求．【解答】证：（I ）函数f （x ）的定义域（0，+∞），f （x ）=12x 3−12x ﹣xlnx ＝x（12x 2−12−lnx ）， 令g （x ）=12x 2−12−lnx ，则g′(x)=x −1x =x 2−1x，当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增，故g （x ）≥g （1）＝0， 又x ＞0，所以f （x ）≥0；解：（II ）若xe 1﹣x ≥1﹣f （x ）＝1﹣（ax 3﹣ax ﹣xlnx ）在x ∈（1，+∞）上恒成立，则e 1﹣x ≥1x−（ax 2﹣a ﹣lnx ）在x ∈（1，+∞）上恒成立， 即ax 2﹣a ﹣lnx ≥﹣e 1﹣x +1x，令m （x ）＝ax 2﹣a ﹣lnx ，n （x ）＝﹣e 1﹣x +1x=1x −1ex−1，x ＞1， 由e x ﹣1＞x （x ＞1）可得n （x ）＞0，∵m′(x)=2ax −1x =2ax 2−1x，（i ）当a ≤0时，m ′（x ）＜0，m （x ）在∈（1，+∞）上单调递减，故m （x ）＜m （1）＝0，此时m （x ）≥n （x ）不成立，（ii ）当a ＞0时，由m ′（x ）＝0可得x =√12a，x =−√12a（舍），当√12a ＞1即0＜a ＜12时，m （x ）在（1，√12a ）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增，∴m （√12a）＜m （1）＝0，则在（1，√12a）m （x ）≥n （x ）不成立，当√12a≤1即a ≥12时，m （x ）在（1，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增，令F （x ）＝m （x ）﹣n （x ）＝a （x 2﹣1）﹣lnx −1x+1e x−1，则F （x ）≥12(x 2−1)−lnx −1x +1e x−1，令G （x ）=12(x 2−1)−lnx −1x+1e x−1，即F （x ）≥G （x ），∵G′(x)=x −1x +1x 2−1e x−1≥x −1x +1x 2−1=(x+1)(x−1)2x 2＞0，故G （x ）在（1，+∞）上单调递增，G （x ）＞G （1）＝0，则F （x ）≥G （x ）＞0，综上，a 的范围[12，+∞）．。

金华十校2020年4月高三模拟考试数学试卷参考公式:如果事件A ､B 互斥,那么P(A+B)= P(A)+ P(B) 如果事件A ､B 相互独立,那么P(A·B)=P(A) ·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率为p,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)n k n n k k P k C p p -=-(k =0,1,2,…,n)台体的体积公式：11221(),3S V S S S =++其中12,S S 表示台体的上､下底面积,h 表示棱台的高. 柱体的体积公式：V Sn =.其中S 表示柱体的底面积,n h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：13V sh =.其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 球的表面积公式：24S R π=.球的体积公式：343VR π=.其中R 表示球的半径. 选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|(x+1)(x-2)<0},B={x|1<x ≤2},则A ∩B= A. {x|1<x<2}B.{x|1<x ≤2}C. {x|-1<x ≤2}D. {x|-1≤x<2}2.若复数21aii+-(a ∈R )是纯虚数(i 是虚数单位),则a 的值为 A. -2B. -1C.1D.23. 若x,y 满足约束条件42y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…,则z=x+2y 的最大值是A.8B.6C.4D.24.设a ∈R ,则“a>2”是“方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在下面四个[,]x ππ∈-的函数图象中,函数y=|x|cos2x 的图象可能是6. 已知在三棱柱111ABC A B C -中,M,N 分别为11,AC B C 的中点,E,F 分别为1,BC B B 的中点,则直线MN 与直线EF 、平面ABB 1A 1的位置关系分别为A.平行､平行B.异面､平行C.平行､相交D.异面､相交7. 口袋中有相同的黑色小球n 个,红､白､蓝色的小球各一个,从中任取4个小球5表示当n=3时取出黑球的数目,n 表示当n=4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是A. E(ξ)<E(η), D(ξ)<D(η))B. E(ξ)>E(η), D(ξ)<D(η)C. E(ξ)<E(η), D(ξ)>D(η)D. E(ξ)>E(η), D(ξ)>D(η)3. 已知函数21,0()ln ,0,ax x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩下列关于函数y=f(f(x))+m 的零点个数的判断,正确的是A.当a=0, m ∈R 时,有且只有1个B.当a>0,m ≤-1时,都有3个C.当a<0,m<-1时,都有4个D.当a<0,-1<m<0时,都有4个9.设三棱锥V-ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形,VA ⊥底面ABC,M 是线段BC 上的点(端点除外),记VM 与AB 所成角为α, VM 与底面ABC 所成角为β,二面角A-VC-B 为γ,则.,2A παββγ<+>.,2B παββγ<+<.,2C παββγ>+>.,2D παββγ>+<10. 设a ∈R ,数列{}n a 满足a 3112,(2),n n n a a a a a +-==--A.当a=4时,a 10>210B.当2a =时,a 10>2C.当13a=时,a 10>210D.当165a =时,a 10>2 非选择题部分(共110分)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分｡11. 若双曲线221x y a-=的一渐近线方程是x+2y=0,则a=____ ;离心率是_____. 12. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是____，休积是___.13.已知a ∈R ,若二项式(1)nx 的展开式中二项式系数和是16,所有项系数和是81,则n=____，含x 项的系数是_____.14.已知△ABC 的内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,且,,2A π≠c+ bcosA- acosB=2acosA,则ba=_____内角B 的取值范围是_____.15.已知椭圆22:1,97x y C +=F 为其左焦点,过原点O 的直线1交椭圆于A,B 两点,点A 在第二象限,且∠FAB=∠BFO,则直线1的斜率为____.16. 已知非零平面向量a ,b ,c , 满足a ·b =a 2, 3c =2a +b ,则||||⋅⋅b cb c 的最小值是___.17. 设a, b ∈R ,若函数3221()(1)32f x ax bx a x =++-在区间[-1,1]上单调递增,则a+b 的最大值为______. 三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 18. (本题满分14 分)已知函数f(x)=sinx+acosx(a>0)满足22[()][()] 4.2f x f x π++=(I)求实数a 的值; (II)设0,2a π<<且2()(),23f f παα⋅+=求sin2α.19. (本小题满分15分)6,MB =如图,在四棱锥C-ABNM 中,四边形ABNM 的边长均为2,△ABC 为正三角形,MB=6，MB ⊥NC,E,F 分别为MN,AC 中点｡( I )证明:MB ⊥AC;(II)求直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值｡20. (本小题满分15分)设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知: a 5= 2a 2+3且92,,a S a 14成等比数列.(I )求数列{}n a 的通项公式;(II)设正项数列{}n b 满足2112,n n n b S s ++=+求证:12 1.n b b b n +++<+L21.(本小题满分15分)如图,已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F(0,1), 过F 的两条动直线AB, CD 与抛物线交出A ､B ､C ､D 四点,直线AB, CD 的斜率存在且分别是112(0),.k k k >(I )若直线BD 过点(0,3),求直线AC 与y 轴的交点坐标 (II)若k 1 -k 2=2, 求四边形ACBD 面积的最小值.22. (本小题满分15分)已知函数3()ln .f x ax ax x x =--其中a ∈R . (I)若1,2a =证明: f(x)≥0; (II)若11()xxef x -≥-在x ∈(1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围.。

(x2 + 2x + a)2
(x2 + 2x + a)2
则 g(x) = 0 等价于 a − 2 = 2(x + 1)e−x − x2 = 2 f (x) ， 由(Ⅰ)知， y = 2 f (x) 在 (−,0) 上递增，在 (0, +) 上递减, 故函数 g(x) 存在极小值，必有 a − 2 2 f (0) = 2 ，即1 a 4 .……11 分
球的体积公式
V = 4 R3 3
其中 R 表示球的半径
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1．已知集合 P = {x | −1 x 1} ， Q = x | 0 x 2 ，那么 P Q =
（Ⅱ）若 f ( ) =
2 2
，求
f
+
3
.
19．（本题满分 15 分）如图，三棱锥 P − ABC 中， PAC 是正三角形， ABC 是直角三角形，
点 D 是 PB 的中点，且 APB = CPB ， PA = 2PB .
（Ⅰ）求证： PB ⊥ AC ; （Ⅱ）求 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值.
满足 2 x1 − x2 10 ，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
16．已知双曲线 C1
:
x2
−
y2
= 1，曲线 C2
:
x y
+
y x
=
x2
−
y2
，则曲线 C1,C2
的交点个数是
▲
个，
原点 O 与曲线 C2 上的点之间的距离最小值是 ▲ .

浙江省宁波市“十校”高考数学联考试卷（3月份）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 已知复数z =5−i i(i 为虚数单位)，则|z|=( )A. 4B. √26C. 5√2D. 2√10【答案】B 【解析】解：z =5−i i=(5−i)i i 2=−1−5i ，则|z|=√26． 故选：B ．先根据复数的四则运算进行化简，然后根据复数的模长公式可求． 本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长求解，属于基础题．2. 若实数x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0,x +y −4≤0,y ≥0,则z =x −2y 的最小值是( )A. −7B. −5C. −2D. 4【答案】B【解析】解：由z =x −2y 得y =12x −12z ，作出实数x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0,x +y −4≤0,y ≥0,对应的平面区域如图(阴影部分ABC)：平移直线y =12x −12z ，由图象可知当直线y =12x −12z ，过点B 时， 直线的截距最大，此时z 最小，{x −y +2=0x +y −4=0，解得B(1,3)． 代入目标函数z =x −2y ， 得z =1−2×3=−5，∴目标函数z =x −2y 的最小值是−5． 故选：B ．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )(单位：cm 3)A. 2B. 4C. 6D. 12【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体； 如图所示：所以：V =13×12×(1+2)×2×2=2． 故选：A ．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4. 下列命题为真命题的是( )A. 函数y=tanx是增函数B. 函数y=|sinx|的最小正周期是2πC. 函数y=|2x−1|的图象关于直线x=12对称D. 函数y=x−1x+1的图象关于点(−1,−1)对称【答案】C【解析】解：对于A：函数y=tanx在(kπ−π2,kπ+π2)(k∈Z)是增函数，故A错误；对于B：由于函数y=sinx的最小值正周期为2π，故函数y=|sinx|的最小正周期是π，故B错误；对于C：函数y=|2x−1|的图象关于直线x=12对称，故C正确；对于D：函数y=x−1x+1=x+1−2x+1=−2x+1+1的图象关于点(−1,1)对称，故D错误．故选：C．直接利用三角函数的周期，函数的图象的变换，正切函数的单调区间的确定，直线函数的图象的对称的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的周期，函数的图象的变换，正切函数的单调区间的确定，直线函数的图象的对称，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.设m，n为空间中两条不同直线，α，β为两个不同平面，已知m⊂α，α∩β=n，则“m//n”是“m//β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：m，n为空间中两条不同直线，α，β为两个不同平面，m⊂α，α∩β=n，m//n，则由线面平行的判定定理知，平面β外直线m平行于平面β内直线n，∴m//β，即充分性成立，m//β，则由线面平行的性质定理得，m//n，即必要性成立，故“m//n”是“m//β”的充分必要条件，故选：C．根据线面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行推理是解决本题的关键．6.已知函数f(x)=cosxlg(√x2+1+x)，则其图象可能是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性，以及利用函数值的符号是否对应是解决本题的关键，是基础题．判断函数的奇偶性，利用排除法进行判断即可．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，设g(x)=2+1+x)，则g(−x)+g(x)=lg(√x2+1−x)+lg(√x2+1+x)=lg(√x2+1−x)(√x2+1+x)=lg1=0，则g(−x)=−g(x)，即g(x)为奇函数，则易得f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，函数右侧第一个零点为π2，当0<x<π2时，f(x)>0，排除B，故选：A．7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，左焦点为F，动点B在C上.当AF⊥BF时，有AF=BF，则C的离心率是()A. √2B. 32C. √3D. 2【答案】D【解析】解：由动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF|=|BF|，可得B 在左支上， 令x =−c ，可得c 2a2−y 2b 2=1，解得y =±b √c 2a 2−1=±b 2a ，即有|BF|=b 2a，则a +c =b 2a，即a(a +c)=b 2=c 2−a 2=(c −a)(a +c)，可得a =c −a ，即c =2a ， e =c a=2．故选：D ．首先判断B 在左支上，求得|BF|，由|AF|=|BF|，可得a(a +c)=b 2，再由a ，b ，c 和e 的关系，化简可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8. 现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是( )A. 28B. 24C. 18D. 16【答案】C【解析】解：根据题意，将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则每组球数为1，2，6或1，3，5或2，3，4共3种分法， 再将这3组分球放到3个不同的盒子中， 则共有3×A 33=18种不同的分配方法， 故选：C ．根据题意，先将9个小球分为数目都不相同的三组，再将三组全排列，放入三个盒子里，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9. 已知函数f(x)={x 2+4x,x ≤0,e x −1x ,x >0,则函数g(x)=f[f(x)−5]的零点个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】解：由题意f′(x)={2x+4,x≤0e x+1x2,x>0，∴f(x)在(−∞,−2)上单调递减，(−2,0)和(0,+∞)上单调递增，当x≤0时，x2+4x=0，解得x=0，或x=−4，当x>0时，x→0，f(x)→−∞，f(1)=e−1>0，∴∃x0∈(0,1)使f(x0)=0，故g(x)零点满足f(x)−5=0，−4或x0，∴f(x)=5或1或5+x0，又因5>0，1>0，5+x0>0，f(x)图象大致如下：∴f(x)=5，1，5+x0，各有两个解，∴g(x)=0的零点有6个．故选：D．作出函数f(x)的图象，即可解出．本题考查了函数图象与性质，数形结合思想，学生的运算能力，属于中档题．10.设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合.如果F同时满足：①⌀∈F；②若A，B∈F，则A∩(∁U B)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环．下列说法错误的是()A. 若U={1,2，3，4，5，6}，则F={⌀,{1,3，5}，{2,4，6}，U}是U的一个环B. 若U={a,b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素C. 若U=Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3,5}∈FD. 若U=R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0,3]，[2,4]∈F【答案】D【解析】解：根据①⌀∈F；②若A，B∈F，则A∩(∁U B)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环，对于A：F是U的一个环，故A正确；对于B：F={U的所有子集}={⌀，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b，c}}共8个，是环，故B正确；对于C：{2}，{3,5}∈F，整理得{3,5}∪{2}={2,3，5}∈F，所以F={⌀,{2},{3,5}，{2,3，5}}是环，含有4个元素，故C正确；对于D：[0,3]，[2,4]∈F，所以[0,3]∩C R[2,4]=[0,2)∈F，[2,4]∩C R[0,3]=(3，4]∈F，[0,3]∪[2,4]=[0,4]∈F，[0,3]∩C R[0,2)=[2，3]∈F，[0,4]∩C R[2,3]=[0,1)∪(3,4]∈F，另加⌀，F中至少有8个元素，故D错误；故选：D．直接利用信息题的特点，对定义性问题的应用，最后判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：信息题，定义性问题，主要考查学生的理解能力和对实际问题的把控能力，属于中档题．二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知(1−x)2(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则a0=______ ，a1+a3+a5+a7=______ ．【答案】1 2【解析】解：∵(1−x)2(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，令x=0，则a0=1．令x=1，可得a0+a1+a2+⋯+a7=0①，再令x=−1，可得a0−a1+a2−a3…−a7=−4②，①−②并除以2，可得a1+a3+a5+a7=2，故答案为：1；2．令x=0，则a0=1.再分别令x=1，x=−1，可得a1+a3+a5+a7的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.如图是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)的部分图象，则ω=______ ，φ=______ ．【答案】2 2π3【解析】解：由函数f(x)=sin(ωx +φ)的部分图象知，T 2=2π3−π6=π2，解得T =π，所以ω=2πT=2，由f(π6)=0，根据五点法画图知2×π6+φ=π，解得φ=2π3．故答案为：2，2π3．由函数f(x)=sin(ωx +φ)的部分图象，利用五点法画图求出T 、ω和φ的值． 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．13. 已知随机变量ξ的分布列如表：ξ 2 34Pa13−a 23且E(ξ)=72，则实数a = ______ ；若随机变量η=ξ−3，则D(η)= ______ ． 【答案】16 712【解析】解：E(ξ)=2a +3×(13−a)+4×23=72，a =16， E(η)=E(ξ)−3=72−3=12，所以D(η)=(−1−12)2×16+(0−12)2×16+(1−12)2×23 =712．故答案为：16；712．利用期望求解a ，然后求解E(η)，D(η)即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．14. 已知A(2,2)，B ，C 是抛物线x 2=2py(p >0)上不同的三个点，直线AB ，AC 为圆x 2+(y −2)2=1的两条切线，则p = ______ ，直线BC 的斜率k = ______ ． 【答案】1 −2【解析】解：把点A(2,2)代入抛物线x 2=2py(p >0)，得p =1，则抛物线的方程为x 2=2y ，又直线AB ，AC 是圆x 2+(y −2)2=1的两条切线， 设切线方程为y −2=k(x −2)，即kx −y −2k +2=0，∵圆心到切线的距离等于半径，∴有1=√k 2+1，解得k =±√33，则直线AB 的方程为y −2=√33(x −2)，直线AC 的方程为y −2=−√33(x −2)，联立{x 2=2y y −2=√33(x −2)，解得B(2√33−2,83−4√33)， 同理可求得C(−2−2√33,83+4√33)， 由两点求斜率公式可得，k BC =83+4√33−83+4√33−2−2√33−2√33+2=−2．故答案为：1，−2．利用点A 在抛物线上求出p ，可得抛物线的方程，再利用直线与圆相切求出两条切线的方程，联立方程组求出B ，C 的坐标，则直线BC 的斜率可求．本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及了直线方程的求解、交点的求解，解题的关键是利用圆心到切线的距离等于半径求出切线的斜率，是中档题．15. 若正数a ，b 满足a +b +2=ab ，则3a−1+7b−1的最小值是______ ．【答案】2√7【解析】解：因为正数a，b满足a+b+2=ab，所以a=b+2b−1>0，所以b>1，则3a−1+7b−1=3b+2b−1−1+7b−1=b−1+7b−1≥2√7，当且仅当b−1=7b−1，即b=1+√7时取等号，故则3a−1+7b−1的最小值2√7．故答案为：2√7．由已知得，a=b+2b−1>0，从而可得b>1，然后把a=b+2b−1代入所求式子，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，属于基础题．16.已知e⃗为单位向量，若a⃗，b⃗ ∈{m⃗⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ −2e⃗|=√2|m⃗⃗⃗ −e⃗|}，且(a⃗−e⃗ )⋅(b⃗ −e⃗ )=0，则|a⃗−b⃗ |的取值范围是______ ．【答案】[√3−1,√3+1]【解析】解：∵|m⃗⃗⃗ −2e⃗|=√2|m⃗⃗⃗ −e⃗|，∴m⃗⃗⃗ 2−4m⃗⃗⃗ ⋅e⃗+4=2(m⃗⃗⃗ 2−4m⃗⃗⃗ ⋅e⃗+2)，故m⃗⃗⃗ 2=2e⃗2，而|e⃗|=1，故|m⃗⃗⃗ |=√2，∴|a⃗|=|b⃗ |=√2，∵(a⃗−e⃗ )⋅(b⃗ −e⃗ )=0，∴a⃗⋅b⃗ +1=e⃗(a⃗+b⃗ )，∵|(a⃗+b⃗ )e⃗|≤|a⃗+b⃗ |，∴|a⃗⋅b⃗ +1|≤|a⃗+b⃗ |，∴(a⃗⋅b⃗ )2+2a⃗⋅b⃗ +1≤4+2a⃗⋅b⃗ ，∴−√3≤a⃗⋅b⃗ ≤√3，又|a⃗−b⃗ |=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√4−2a⃗⋅b⃗ ，∴|a⃗−b⃗ |∈[√3−1,√3+1]，故答案为：[√3−1,√3+1]．先根据已知条件求出|a⃗|=|b⃗ |=√2，再求出|a⃗⋅b⃗ +1|≤|a⃗+b⃗ |，得到−√3≤a⃗⋅b⃗ ≤√3，求出|a⃗−b⃗ |的取值范围即可．本题考查了平面向量的数量积问题，向量求模问题，考查转化思想，是中档题．17.已知a>0，b∈R，若|ax3−bx2+ax|≤bx4+(a+2b)x2+b对任意x∈[12,2]都成立，则ba的取值范围是______ ．【答案】[25,+∞)【解析】解：由于a>0，对不等式|ax3−bx2+ax|≤bx4+(a+2b)x2+b，两边除以ax2，可得|x+1x −ba|≤ba(x+1x)2+1，由于原不等式对任意x∈[12,2]都成立，可得(|x+1x −ba|)max≤(ba(x+1x)2+1)min，(1)ba =0时，1≥|x+1x|不恒成立，所以ba≠0；(2)ba <0时，则有x=2或x=12时满足，代入可得254⋅ba+1≥52−ba，29 4⋅ba≥32，即ba≥629，不成立；(3)ba>0时，①ba ≥52时，x=1时满足，代入可得4⋅ba+1≥ba−2，可得ba≥−1；②0<ba ≤2时，有ba(x+1x)2+1≥(x+1x)−ba，即ba≥x+1x(x+1x)2+1=1x+1x+1x+1x，其中2≤x+1x ≤52，所以当x+1x=2时，1x+1x+1x+1x有最大值25，此时ba ≥25，即25≤ba≤2；③2<ba <52时，此时ba(x+1x)2+1>1>|x+1x−ba|恒成立满足．综上可得，ba ∈[25,+∞)．故答案为：[25,+∞)．首先推得|x+1x −ba|≤ba(x+1x)2+1，可得(|x+1x−ba|)max≤(ba(x+1x)2+1)min，分类讨论(1)ba =0，(2)ba<0，(3)ba>0，结合不等式的性质和恒成立思想，以及对勾函数的单调性，解不等式可得所求范围．本题考查函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2(acosC+ccosA)cosC+b=0．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)求sin2A+sin2B的取值范围．【答案】解：(I)因为2(acosC+ccosA)cosC+b=0，又由正弦定理可得acosC+ccosA=b，所以2bcosC+b=0，故cosC=−12，由C为三角形的内角得C=2π3；(II)由(I)知A+B=π3，sin2A+sin2B=1−cos2A+1−cos2B2=1−12(cos2A+cos2B)，=1−12cos2A−12cos(2π3−2A)，=1−12cos2A+14cos2A−12×√32sin2A，=1−12sin(2A+π6)，因为0<A<π3，所以π6<2A+π6<5π6，所以12<sin(2A+π6)≤1，所以1−12sin(2A+π6)∈[12,34)，故sin2A+sin2B的取值范围[12,3 4 ).【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，二倍角公式及辅助角公式在三角形求解中的应用，属于中档题．(I)由已知结合余弦定理进行化简可求cos C，进而可求C；(II)结合(I)及二倍角公式，辅助角共线进行化简，然后结合正弦函数的性质可求．19.如图，已知△ABC与△BCD所在平面互相垂直，∠BAC=60°，∠BCD=90°，AB=AC，CD=2BC，点P，Q分别在边BD，CD上，沿直线PQ将△PQD翻折，使D与A重合．(Ⅰ)证明：AD⊥PQ；(Ⅱ)求直线AP与平面ABC所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明：取AD中点E，连接PE，EQ，∴AP=PD，AQ=QD，∴PE⊥AD，QE⊥AD，又PE∩QE=E，∴AD⊥平面PQE，而PQ⊂平面PQE，∴AD⊥PQ；(Ⅱ)解：取BC中点O，连接AO，则AO⊥BC，∵△ABC与△BCD所在平面互相垂直，且平面ABC∩平面BCD=BC，AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCD，∵PO⊂平面BCD，∴AO⊥PO，在Rt△BCD中，CD=2BC，设BC=1，则CD=2，得BD=√5，cos∠DBC=√55，设BP=x，则AP=PD=√5−x，在△ABC中，由AB=AC，∠BAC=60°，可知△ABC为等边三角形，得AO=√32，∴PO2=AP2−AO2=(√5−x)2−(√32)2，在△PBO中，由余弦定理可得，PO2=BO2+BP2−2BO⋅BP⋅cos∠DBC，即(√5−x)2−34=14+x2−√55x，解得x=4√59．过P作PN⊥BC，垂足为N，则PN⊥平面ABC，连接AN，则∠PAN为直线AP与平面ABC所成角，在Rt△PNB中，可得PN=4√59×2√55=89，∴sin∠PAN=PNAP =895√59=8√525．即直线AP与平面ABC所成角的正弦值为8√525．【解析】(Ⅰ)取AD中点E，连接PE，EQ，可得PE⊥AD，QE⊥AD，由直线与平面垂直的判定可得AD⊥平面PQE，进一步得到AD⊥PQ；(Ⅱ)取BC中点O，连接AO，可得AO⊥平面BCD，进一步得到AO⊥PO，设BP=x，由已知求解三角形求得x值，过P作PN⊥BC，垂足为N，则PN⊥平面ABC，连接AN，则∠PAN为直线AP与平面ABC所成角，进一步求解直角三角形可得直线AP与平面ABC 所成角的正弦值．本题考查直线与平面垂直的判定余弦值，考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，a n=1−2S n，数列{b n}为等差数列，其前n项和为T n，b1=1，T10=55．(Ⅰ)求a n，b n；(Ⅱ)证明：对n∈N∗，有a1+b1T12+a2+b2T22+⋯+a n+b nT n2<2．【答案】解：(Ⅰ)由a n=1−2S n，可得n=1时，a1=S1=1−2S1=1−2a1，解得a1=13；当n≥2时，a n−1=1−2S n−1，又a n=1−2S n，两式相减可得a n−a n−1=1−2S n−1+2S n−1=−2a n，即为a n=13a n−1，则数列{a n}是首项和公比均为13的等比数列，可得a n=(13)n；数列{b n}为等差数列，设公差为d，由b1=1，T10=55，可得10+45d=55，解得d=1，则b n=1+n−1=n；(Ⅱ)证明：T n=12n(n+1)，设c n=a n+b nT n2=4(n+13n)n2(n+1)2，因为13n ∈(0,1)，所以c n<4(n+1)n2(n+1)2=4n2(n+1)，令m n =4n 2(n+1)，n =1时，m 1=2，c 1<2成立； n =2时，m 2=13，c 1=43，c 1+c 2<c 1+m 2<2； n ≥3时，m n <42n(n+1)=2n(n+1)=2(1n −1n+1)， 设P n 为{2(1n −1n+1)}的前n 项和，所以P n =2(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=2(1−1n+1)<2， 所以{c n }的前n 项和小于2． 综上可得，原不等式成立．【解析】(Ⅰ)运用数列的递推式和等比数列的通项公式，可得a n ；再由等差数列的求和公式，解方程可得公差，进而得到b n ；(Ⅱ)由等差数列的求和公式，结合数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证． 本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21. 如图，过椭圆x 22+y =1的左、右焦点F 1，F 2分别作直线AB ，CD ，交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，设直线AB 的斜率为k(k ≠0)． (Ⅰ)求|AB|(用k 表示)；(Ⅱ)若直线AB ，CD 的斜率之积为−12，求四边形ACBD 面积的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由椭圆方程可得：a =√2，b =1，则c =1，即F 1(−1,0)， 所以直线AB 的方程为：y =k(x +1)，联立方程{y =k(x +1)x 22+y 2=1，消去y 整理可得：(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，所以x 1+x 2=−4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，所以y 1+y 2=2k 1+2k 2，y 1y 2=k 2(x 1x 2+x 1+x 2+1)=−2k1+2k 2， 所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=4(1+k 2)1+2k 2；(Ⅱ) 因为k AB =k ，且k AB ⋅k CD =−12，所以k CD =−12k ， 设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，又因为直线CD 过定点(1,0)， 直线CD 的方程为：y =−12k (x −1)，联立方程{y =−12k (x −1)x 22+y 2=1，消去y 整理可得：(1+2k 2)x 2−2x +1−4k 2=0，所以x 3+x 4=21+2k 2，x 3x 4=1−4k 21+2k 2，即y 3+y 4=2k 2k(1+2k 2),y 3y 4=−14k 2，所以四边形ABCD 的面积为S =12|AB|(d C +d D )=4k 3+4k 1+2k 2，因为k 为直线的斜率，所以A 不能超过点C ，即k =1−00−(−1)=1，所以k ∈(0,1)， 因为S′=8k 4+4k 2+4(1+2k 2)2>0恒成立，所以函数S 在(0,1)上单调递增，当k =0时，S =0；当k =1时，S =83， 所以S ∈(1,83)．【解析】(Ⅰ)由椭圆方程求出左焦点的坐标，由此写出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及两点间距离公式求出|AB|；(Ⅱ)由直线AB 的斜率求出直线CD 的斜率，然后写出直线CD 的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理的关系式求出四边形ABCD 的面积关系式，再利用导数性质即可求解．本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到韦达定理以及两点间距离公式的应用，还涉及到导数的应用，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．22. 已知函数f(x)=e x x+lnx −x ，其中e =2.71828…是自然对数的底数．(Ⅰ)若曲线y =f(x)与直线y =a 有交点，求a 的最小值；(Ⅱ)(ⅰ)设φ(x)=x +1x ，问：是否存在最大整数k ，使得对任意正数x 都有f(x)−f(1)≥k2[φ(x)−φ(1))成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由； (ⅰ)若曲线y =f(x)与直线y =a 有两个不同的交点A ，B ，求证：|AB|<2√(a −e +2)2−1．【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)， f′(x)=(e x −x)(x−1)x 2，设g(x)=e x −x ，则g′(x)=e x −1， 因为x >0，所以e x >1，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=1>0， 所以f′(x)=(e x −x)(x−1)x 2>0，可得x >1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 又因为f(1)=e 11+ln1−1=e −1，且曲线y =f(x)与直线y =a 有交点，所以a ≥f(1)=e −1，所以a 的最小值为e −1． (Ⅱ)(ⅰ)设G(x)=f(x)−f(1)−k2[φ(x)−φ(1)]， 所以G(1)=0，又G′(x)=f′(x)−k2φ′(x)=(x−1)(2e x −2x−kx−k)2x 2(x >0)，由于G(x)≥G(1)，所以x =1是G(x)的极小值点， 所以G′(x)在x =1时由负变正的零点，设ℎ(x)=2e x −2x −kx −k ，则ℎ(1)≥0，所以k ≤e −1， 又k ∈Z ，所以k =1，当k =1时，ℎ(x)=2e x −3x −1(x >0)，ℎ′(x)=2e x −3， 令ℎ′(x)>0，解得x >ln 32，所以ℎ(x)在(0,ln 32)上单调递减，在(ln 32,+∞)上单调递增， 所以ℎ(x)≥ℎ(ln 32)=2−3ln 32>0， 故令G′(x)>0，得x >1，所以G(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递增， 所以G(x)≥G(1)=0， 所以存在k ，且k max =1．(ⅰ)证明：设A ，B 两点坐标为A(x 1,a)，B(x 2,a)，且x 1<1<x 2， 设x 3<1<x 4满足：f(x 1)−f(1)=f(x 2)−f(1)=12[φ(x 3)−φ(1)]=12[φ(x 4)−φ(1)]， 由①可知，x 3<x 1，x 4<x 2，所以|AB|=|x2−x1|<|x4−x3|，因为x3，x4是方程12(x+1x−2)=a−e+1，即x2+(2e−2a−4)x+1=0，有x3+x4=2a+4−2e，x3x4=1，所以|x3−x4|=√(x3+x4)2−4x3x4=√(2a−2e+4)2−4=2√(a+2−e)2−1，所以|AB|<2√(a+2−e)2−1．【解析】(Ⅰ)求出函数f(x)的导数，得出单调区间，求出f(x)的最小值，即可得出答案．(Ⅱ)(ⅰ)设G(x)=f(x)−f(1)−k2[φ(x)−φ(1)]，G(1)=0，求导分析单调性，得G′(x)在x=1时由负变正的零点，即可解得k的值．(ⅰ)设A，B两点坐标为A(x1,a)，B(x2,a)，由①可知，x3<x1，x4<x2，即|AB|=|x2−x1|<|x4−x3|，由x3，x4是方程12(x+1x−2)=a−e+1的两个根，即可得出答案．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2023-2024学年浙江省金华市十校高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ＝{x ||x ﹣1|≤1}，N ＝{x |＞2}，则M ∪N ＝（ ） A ．{x |x ＞2} B ．{x |x ≤0} C ．∅ D ．{x |x ≥0）2．2i 1+i=（ ） A ．1+i B ．﹣1+i C ．﹣1﹣i D ．1﹣i3．已知a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.33，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a4．若(1+x)(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 6x 6，则a 1+a 3+a 5＝（ ） A ．﹣1B ．2C ．1D ．05．某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布N （72，82），则80分以上的人数大约是（ ）参考数据：若X ﹣N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤X ≤μ+σ）≈0.6827 A ．3173B ．6346C ．6827D ．136546．在△ABC 中，“0＜cos A cos B ＜sin A sin B ”是“△ABC 为锐角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若tan2α＝3tan （α﹣β），则tan （α+β）的最大值为（ ）A ．√3B ．1C ．2−√3D ．√338．已知公差为d 的等差数列{a n }，S n 为其前n 项和，若{a 1011+sina 1011=1a 1013+sin(a 1013−2)=1，则（ ）A ．S 2023＝2023，d ＜1B ．S 2023＝2023，d ＞1C ．S 2023＝﹣2023，d ≤1D ．S 2023＝﹣2023，d ≥1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．设平面向量a →=（t ，2﹣2t ）（t ∈R ），b →=（2，﹣4）（ ）A ．若a →⊥b →，则t =45B ．若t ＝1，则a →⊥（b →−2a →）C ．∀t ∈R ，|a →|≥25√5D ．∃t ∈R ，使a →∥b →10．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图像经过点（0，1）与(π3，0)，则（ ）A ．f(−2π3)是f （x ）的最大值 B ．f(10π3)是f （x ）的最小值 C ．f(7π3)=0D ．f （x ）在(0，π6)单调递增11．已知函数g （x ）＝f （e x ），h （x ）＝e f（x ），（ ）A ．若f （x ）＝0，则g （x ）＝h （x ）＝0B ．若f （x ）＝|x |，则g （x ）＝h （x ）C ．对于g （x ）＝h （x ），若f （x ）＝x α，则α＝1D ．对于g （x ）＝h （x ），若f （x ）＝log a x （a ＞0，a ≠1），则a ＝e12．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B 在C 上（A 在第一象限），点Q 在l 上，FQ →⋅FA →=0，QB →=λBF →(λ＞0)，（ ） A ．若λ＝2，则|BF|=23B ．若∠AQF =π3，则|AF |＝2C ．则△AFB 的面积最小值为14D ．则△AQB 的面积大于3−2√2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程为 ． 14．已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为 ．15．某地区上年度电价为0.8元（kW •h ），年用电量为akWh ，本年度计划将电价下降到0.55～0.75元/（kWh ）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW •h ）．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为μ）．该地区的电力成本价为0.3元（kW •h ）．已知μ＝0.2a ，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则最低的电价可定为 元/（kWh ）．16．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，E ，F 分别是棱AA 1，BB 1上一点，且AE ＝B 1F ＝1，若三棱锥E ﹣ABC 的外接球与三棱锥F ﹣A 1B 1C 1的外接球外切，则AA 1的长为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）浙江省普通高中学业水平考试分ABCDE 五个等级，剔除E 等级，ABCD 等级的比例分别是5%，15%，40%，40%，现从当年全省数学学考ABCD 四个等级的考生试卷中按分层抽样的方法随机抽取20份试卷作为样本分析答题情况．（Ⅰ）分别求样本中A ，B ，C ，D 各等级的试卷份数；（Ⅱ）从样本中用简单随机抽样的方法（不放回）抽取4份试卷，记事件M 为抽取的4份试卷中没有D 等级的试卷，事件N 为抽取的4份试卷中有B 等级的试卷，求P （N |M ）．18．（12分）记△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1+sin2A−cos2A 1+sin2A+cos2A=√3，b ＝3c ．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求sin A ：sin B ：sin C ．19．（12分）如图在等腰梯形ABCD ′中，AB ∥CD ′，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，E ，F ，G 分别为D ′C ，AE ，BC 的中点，现将△D ′AE 绕AE 翻折至△DAE 的位置，H 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：DF ∥平面EGH ；（Ⅱ）当平面DAE 垂直于平面ABC 时，求平面DAE 与平面HGE 夹角的余弦值．20．（12分）已知数列{a n }是等差数列，a 1＝3，d ≠0，且a 1，a 7，a 25构成等比数列， （Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）设f （n ）＝a n ，若存在数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝7，b 3＝25，且数列{f （b n ）} 为等比数列，求{a n b n }的前n 项和 S n21．（12分）已知函数f （x ）＝2lnx +ax 2﹣x （a ＞0）在定义域上不是单调函数． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若f （x ）在定义域上的极大值为M ，极小值为N ，求M +N 的取值范围．22．（12分）已知点P 是圆S ：x 2+y 2＝1的动点，过P 作PH ⊥y 轴，H 为垂足，且HQ →=tHP →，HR →=1tHP →(t ＞1)，记动点Q ，R 的轨迹分别为S 1，S 2． （Ⅰ）证明：S 1，S 2有相同的离心率； （Ⅱ）若直线l ：y =kx −√22与曲线S 1交于 A ，B ，与曲线S 2交于 C ，D ，与圆S 交于MN ，当k ＞√34时，试比较|AB |2+|CD |2与2|MN |2的大小．2023-2024学年浙江省金华市十校高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ＝{x ||x ﹣1|≤1}，N ＝{x |＞2}，则M ∪N ＝（ ） A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ≤0}C ．∅D ．{x |x ≥0）解：集合M ＝{x |x ﹣1|≤1}＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |＞2}，则M ∪N ＝{x |x ≥0}． 故选：D ． 2．2i 1+i=（ ） A ．1+i B ．﹣1+iC ．﹣1﹣iD ．1﹣i解：2i 1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ．故选：A ．3．已知a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.33，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解：log 30.3＜log 31＝0，30.3＞30＝1，0＜0.33＜1；∴a ＜c ＜b ． 故选：B ．4．若(1+x)(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 6x 6，则a 1+a 3+a 5＝（ ） A ．﹣1B ．2C ．1D ．0解：(1+x)(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 6x 6， 令x ＝1，2×（2﹣1）5＝a 0+a 1+•+a 6，① 令x ＝﹣1，0＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6，② ①−②2可得，a 1+a 3+a 5=2−02=1．故选：C ．5．某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布N （72，82），则80分以上的人数大约是（ ）参考数据：若X ﹣N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤X ≤μ+σ）≈0.6827 A ．3173B ．6346C ．6827D ．13654解：根据题意，20000名考生成绩服从正态分布N （72，82），即μ＝72，σ＝8， 则有P （X ≥80）=12[1﹣P （64≤X ≤80）]≈0.15865，故80分以上的人数大约是20000×0.15865≈3173． 故选：A ．6．在△ABC 中，“0＜cos A cos B ＜sin A sin B ”是“△ABC 为锐角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：0＜cos A cos B ＜sin A sin B ，则cos A ＞0，cos B ＞0， ∵A ∈（0，π），B ∈（0，π），∴角A ，角B 均为锐角，cos A cos B ＜sin A sin B ，则cos A cos B ﹣sin A sin B ＝cos （A +B ）＝﹣cos C ＜0，即cos C ＞0， C ∈（0，π），则角C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形，充分性成立，△ABC 为锐角三角形，则A ∈（0，π2），B ∈（0，π2），C ∈（0，π2），故cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＝﹣cos （A +B ）＝sin A sin B ﹣cos A cos B ＞0， 故0＜cos A cos B ＜sin A sin B ，必要性成立，综上所述，在△ABC 中，“0＜cos A cos B ＜sin A sin B ”是“△ABC 为锐角三角形”的充要条件． 故选：C ．7．若tan2α＝3tan （α﹣β），则tan （α+β）的最大值为（ ） A ．√3B ．1C ．2−√3D ．√33解：已知tan2α＝3tan （α﹣β）， 则tan （α+β）＝tan[2α﹣（α﹣β）]=tan2α−tan(α−β)1+tan2αtan(α−β)=2tan(α−β)1+3tan 2(α−β)，要使得tan （α+β）取最大值， 则tan （α﹣β）＞0， 则tan （α+β）=21tan(α−β)+3tan(α−β)≤22√1tan(α−β)×3tan(α−β)=√33，当且仅当1tan(α−β)=3tan(α−β)时取等号，即tan （α+β）的最大值为√33．故选：D ．8．已知公差为d 的等差数列{a n }，S n 为其前n 项和，若{a 1011+sina 1011=1a 1013+sin(a 1013−2)=1，则（ ）A ．S 2023＝2023，d ＜1B ．S 2023＝2023，d ＞1C ．S 2023＝﹣2023，d ≤1D ．S 2023＝﹣2023，d ≥1解：由公差为d 的等差数列{a n }，S n 为其前n 项和，若{a 1011+sina 1011=1a 1013+sin(a 1013−2)=1，可得a 1011+sin a 1011＝﹣[a 1013﹣2+sin （a 1013﹣2）]＝1．设f （x ）＝x +sin x ，则f ′（x ）＝1+cos x ≥0，即有f （x ）在R 上递增，且f （﹣x ）＝﹣x +sin （﹣x ）＝﹣x ﹣sin x ＝﹣f （x ），即有f （x ）为R 上的奇函数， 所以f （a 1011）＝﹣f （a 1013﹣2）＝f （2﹣a 1013）， 则a 1011＝2﹣a 1013，即a 1011+a 1013＝2，可得S 2023=12（a 1+a 2023）×2023=12（a 1011+a 1013）×2023＝2023，由x ＞0，f （x ）＞0；x ＜0，f （x ）＜0，可得1＞a 1011＞0，a 1013﹣2＜0， 可得a 1013﹣a 1011﹣2＜0，即2d ﹣2＜0，即d ＜1． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．设平面向量a →=（t ，2﹣2t ）（t ∈R ），b →=（2，﹣4）（ ） A ．若a →⊥b →，则t =45B ．若t ＝1，则a →⊥（b →−2a →）C ．∀t ∈R ，|a →|≥25√5D ．∃t ∈R ，使a →∥b →解：对于A ，a →⊥b →时，a →•b →=2t ﹣4（2﹣2t ）＝0，解得t =45，选项A 正确；对于B ，t ＝1时，a →=（1，0），b →−2a →=（0，﹣4），所以a →•（b →−2a →）＝0，所以a →⊥（b →−2a →），选项B 正确；对于C ，|a →|=√t 2+(2−2t)2=√5t 2−8t +4=√5(t −45)2+45≥2√55，选项B 正确；对于D ，若a →∥b →，则﹣4t ﹣2（2﹣2t ）＝0，化简得﹣4＝0，等式不成立，即a →||b →不成立，选项D 错误． 故选：ABC ．10．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图像经过点（0，1）与(π3，0)，则（ ）A ．f(−2π3)是f （x ）的最大值 B ．f(10π3)是f （x ）的最小值 C ．f(7π3)=0D ．f （x ）在(0，π6)单调递增解：由题意得，{f(0)=2sinφ=1f(π3)=2sin(ωπ3+φ)=0， 因为|φ|＜π2，ω＞0，结合五点作图法可知，πω3+φ=π，解得，φ=π6，ω=52，所以f （x ）＝2sin （52x +π6），当x =−2π3时，52x +π6=−3π2，此时函数取得最大值，A 正确； 当x =10π3时，2sin （52x +π6）＝2sin 51π6=2，不是函数的最小值，B 错误； f （7π3）＝2sin （52×7π3+π6）＝0，C 正确； 由0＜x ＜π6可得，π6＜52x +π6＜7π12，此时函数不单调，D 错误．故选：AC ．11．已知函数g （x ）＝f （e x ），h （x ）＝e f（x ），（ ）A ．若f （x ）＝0，则g （x ）＝h （x ）＝0B ．若f （x ）＝|x |，则g （x ）＝h （x ）C ．对于g （x ）＝h （x ），若f （x ）＝x α，则α＝1D ．对于g （x ）＝h （x ），若f （x ）＝log a x （a ＞0，a ≠1），则a ＝e 解：对A ：若f （x ）＝0，则g （x ）＝f （e x ）＝0，h （x ）＝e f（x ）＝e 0＝1，故A 错误；对B ：若f （x ）＝|x |，则g （x ）＝f （e x ）＝|e x |＝e x ，h （x ）＝e f（x ）＝e x |，g （x ）≠h （x ），故B 错误；对C ：若f （x ）＝x α，则g(x)=f(e x )=(e x )α=e αx ，ℎ(x)=e f(x)=e x μ，又g （x ）＝h （x ），故e ax =e r aα，故αx ＝x αx ，即ln α+lnx ＝αlnx ，即（α﹣1）lnx ＝ln α恒成立，故α＝1，故C 正确；对D ：若f （x ）＝log a x （a ＞0，a ≠1），则g(x)=f(e x )=log a e x =xlog a e ，ℎ(x)=e f(x)=e log a x ，又g （x ）＝h （x ），故xlog a e =e log a x恒成立，即xlog a e =(1lna )x =e log a x =e lnx ln a =(e lnx)1lna =x 1lna，故lnx +ln(1lna )=1lna ⋅lnx ，即(1lna −1)⋅lnx =ln(1lna )恒成立，故1lna=1，即a ＝e ，故D 正确． 故选：CD ．12．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B 在C 上（A 在第一象限），点Q 在l 上，FQ →⋅FA →=0，QB →=λBF →(λ＞0)，（ ） A ．若λ＝2，则|BF|=23B ．若∠AQF =π3，则|AF |＝2C ．则△AFB 的面积最小值为14D ．则△AQB 的面积大于3−2√2解：对于A ，如图1，设点B 在准线l 上的投影为D ，准线l 与x 轴交于点E ，又|QB |＝2|BF |，|BD |＝|BF |，则|QB||QF|=|BD||EF|=|BF|1=23，所以|BF|=23，故A 正确；对于B ，设点A 在准线l 上的投影为点M ，易证△AQF ≅△AQM ，又∠AQF =π3，∴∠FAQ =∠MAQ =π6，即∠MAF =π3，又|AM |＝|AF |，则△AMF 为等边三角形，所以∠MFE =π3，且|EF |＝1，∴|MF |＝|AF |＝2，故B 正确；对于C ，分两种情况：当点A ，B 都在第一象限，如图1所示，设∠AFx =α，α∈(0，π2]，由焦半径公式可得|AF|=11−cosα，|BF|=11−cos(π2+α)=11+sinα， ∴S △ABF =12(1−cosα)(1+sinα)，令f （α）＝（1+sin α）（1﹣cos α）＝1+sin α﹣cos α﹣sin αcos α， 设t =sinα−cosα=√2sin(α−π4)∈(−1，1]，且t 2＝1﹣sin2α，∴S △ABF =12(1+t−1−t 22)=1(t+1)2≥14，当且仅当α=π2时取得最小值． 当点B 在第四象限时，如图2所示，设∠AFO =β，β∈(0，π2)，则|AF|=11+cosβ，|BF|=11+sinβ，所以S △ABF =12(1+cosβ)(1+sinβ)，同理令t =sinβ+cosβ=√2sin(β+π4)∈(1，√2]，且t 2＝1+sin2β，∴2(1+cosβ)(1+sinβ)=(t +1)2≤3+2√2， 所以S △ABF ≥3+22=3−2√2＜14，当且仅当β=π4时取得最小值，综上，△AFB 面积的最小值为3−2√2，故C 错误； 对于D ，当点A ，B 都在第一象限，如图1所示，|QF|=1sinα，|BF|=11+sinα， 则|QB|=1sinα(1+sinα)，所以|QB||BF|=1sinα≥1，即|QB |≥|BF |，∴S AQB ≥S △AFB ≥14，当点B 在第四象限时，如图2所示，同理可得|QB||BF|=1sinβ＞1，即|QB |＞|BF |，∴S △AQB ＞S △AFB ≥3−2√2，综上，△AQB 的面积大于3−2√2，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程为 y ＝±2x ．解：双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程是：y ＝±2x ． 故答案为：y ＝±2x ．14．已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为π3．解：根据题意，该圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3且半径为1的扇形，则其侧面展开图的面积S =12×（2π3）×12=π3．故该圆锥的侧面积为π3． 故答案为：π3．15．某地区上年度电价为0.8元（kW •h ），年用电量为akWh ，本年度计划将电价下降到0.55～0.75元/（kWh ）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW •h ）．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为μ）．该地区的电力成本价为0.3元（kW •h ）．已知μ＝0.2a ，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则最低的电价可定为 0.6 元/（kWh ）． 解：设下调后的电价为x 元/（kW ⋅h ），依题意知，新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为0.2a ）， 则新增用电量为0.2ax−0.4，即用电量增至0.2a x−0.4+a ， 所以今年收益y =(0.2ax−0.4+a)(x −0.3)，（0.55≤qx ≤0.75）， 要保证收益增长率不低于20%， 则y ≥[a ×（0.8﹣0.3）]（1+20%）， 即(0.2ax−0.4+a)(x −0.3)≥[a ×（0.8﹣0.3）]（1+20%）， 整理得：x 2﹣1.1x +0.3≥0，解得：x ≥0.6或x ≤0.5， 又0.55≤qx ≤0.75，所以0.60≤qx ≤0.75，即x min ＝0.6． 故答案为：0.6．16．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，E ，F 分别是棱AA 1，BB 1上一点，且AE ＝B1F＝1，若三棱锥E﹣ABC的外接球与三棱锥F﹣A1B1C1的外接球外切，则AA1的长为4．解：如图所示，取BC，B1C1中点D，D1，连接DD1，由题意可得DD1⊥平面ABC且DD1⊥平面A1B1C1，AD=12BC=12√22+22=√2，B1D1=12√22+22=√2，在线段DD1上取DO=D1O1=12AE=12B1F=12，由∠BAC＝90°，故∠B1A1C1＝90°，故点D、D1分别是△ABC与△A1B1C1外接圆圆心，又DO=D1O1=12AE=12B1F=12，AE⊥平面ABC、B1F⊥平面A1B1C1，故点O到三棱锥E﹣ABC四个顶点距离相等，点O1到三棱锥F﹣A1B1C1四个顶点距离相等，即点O、O1分别为三棱锥E﹣ABC的外接球与三棱锥F﹣A1B1C1的外接球球心，则三棱锥E﹣ABC的外接球半径为r=√AD2+OD2=√(√2)2+(12)2=32，三棱锥F﹣A1B1C1的外接球半径为r1=√B1D12+O1D12=√(√2)2+(12)2=32，由三棱锥E﹣ABC的外接球与三棱锥F﹣A1B1C1的外接球外切，故AA1=12+12+32+32=4．故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）浙江省普通高中学业水平考试分ABCDE五个等级，剔除E等级，ABCD等级的比例分别是5%，15%，40%，40%，现从当年全省数学学考ABCD四个等级的考生试卷中按分层抽样的方法随机抽取20份试卷作为样本分析答题情况．（Ⅰ）分别求样本中A，B，C，D各等级的试卷份数；（Ⅱ）从样本中用简单随机抽样的方法（不放回）抽取4份试卷，记事件M为抽取的4份试卷中没有D 等级的试卷，事件N 为抽取的4份试卷中有B 等级的试卷，求P （N |M ）． 解：（Ⅰ） 因为ABCD 等级的比例分别是5%，15%，40%，40%， 所以20×5%＝1，20×15%＝3，20×40%＝8，20×40%＝8， 即样本中A ，B ，C ，D 各等级的试卷份数分别是1，3，8，8； （Ⅱ）由题意可得，P(M)=C 124C 204，P(MN)=C 124−C 94C 204，所以P(N|M)=P(MN)P(M)=C 124−C 94C124=4155． 18．（12分）记△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1+sin2A−cos2A 1+sin2A+cos2A=√3，b ＝3c ．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求sin A ：sin B ：sin C ．解：（Ⅰ）：1+sin2A−cos2A 1+sin2A+cos2A =2sinAcosA+2sin 2A 2sinAcosA+2cos 2A=tanA ，所以tanA =√3，而A ∈（0，π），则A =π3； （Ⅱ）因为b ＝3c ，由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ＝7c 2，所以a =√7c ， 所以a ：b ：c =√7：3：1，由正弦定理可得：sinA ：sinB ：sinC =√7：3：1．19．（12分）如图在等腰梯形ABCD ′中，AB ∥CD ′，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，E ，F ，G 分别为D ′C ，AE ，BC 的中点，现将△D ′AE 绕AE 翻折至△DAE 的位置，H 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：DF ∥平面EGH ；（Ⅱ）当平面DAE 垂直于平面ABC 时，求平面DAE 与平面HGE 夹角的余弦值．解：（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD 中，∠ABC ＝120°，所以∠BAD '＝120°，∠ADE ＝∠BCD '＝60°， 又E 为D ′C 的中点，所以△AED ′，△BEC 及△AEB 均为正三角形，而AB ＝BC ＝2，所以CD ＝4．因为F 为AE 的中点，所以B ，F ，D 三点共线，BD ⊥AE ． 又G 为BC 的中点，所以BF ∥EG ．又BF ⊄平面EGH ，EG ⊂平面EGH ，所以BF ∥平面EGH ， 连接BD ，BF ，因为G ，H 分别为BC ，CD 的中点，所以GH ∥BD ， BD ⊄平面EGH ，GH ⊂平面EGH ，所以BD ∥平面EGH ， 又BD ∩BF ＝B ，所以平面FBD ∥平面HGE ， 又DF ⊂平面FBD ，所以DF ∥平面HGE ．（Ⅱ）因为平面DAE ⊥平面ABC ，AE 为交线，DF ⊥AE ，所以DF ⊥平面ABC ．以F 为坐标原点，FB ，F A ，FD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．所以B(0，√3，0)，C(−2，√3，0)，D(0，0，√3)，E （﹣1，0，0），H （﹣1，√32，√32），所以EH →=(0，√32，√32)，EG →=(0，√3，0)，设平面HGE 的法向量为m →=（x ，y ，2），则有{m →⋅EH →=√32y +√32z =0m →⋅EG →=√3y =0，令x ＝1，所以m →=（1，0，﹣1），易知平面DAE 的法向量为n →=（0，1，0），设平面DAE 与平面HGE 的夹角为θ，则有cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√2×1=0．20．（12分）已知数列{a n }是等差数列，a 1＝3，d ≠0，且a 1，a 7，a 25构成等比数列， （Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）设f （n ）＝a n ，若存在数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝7，b 3＝25，且数列{f （b n ）} 为等比数列，求{a n b n }的前n 项和 S n解：（Ⅰ）∵{a n } 是等差数列，a 1＝3，d ≠0， ∴a 7＝a 1+6d ，a 25＝a 1+24d ． ∵a 1，a 7，a 25构成等比数列， ∴(a 1+6d)2=a 1(a 1+24d)， 化简可得 a 1＝3d ＝3，∴d ＝1， ∴a n ＝n +2．（Ⅱ）∵f （b 1）＝f （1）＝a 1＝3，f （b 2）＝f （7）＝a 7＝9，f （b 3）＝f （25）＝a 25＝27， 又数列 {f （b n ）} 为等比数列，f(b n )=3n ， 而 f(b n )=a b n =b n +2， ∴3n ＝b n +2， ∴b n =3n −2，∴a n b n =(n +2)3n −2(n +2)， 设数列 {（n +2）3n } 的前n 项和为T n ， 则T n ＝3×3+4×32+5×33+…+（n +2）3n ， 3T n ＝3×32+4×33+…+（n +1）3n +（n +2）3n +1， 相减可得：﹣2T n ＝3×3+（32+33+ (3)）﹣（n +2）3n +1＝6+3(3n−1)3−1−（n +2）3n +1，化为T n =(2n+3)×3n+1−94，又∵等差数列 （2（n +2））的前n 项和为 n 2+5n ， 综上可得 S n =(2n+3)×3n+1−94−(n 2+5n)．21．（12分）已知函数f （x ）＝2lnx +ax 2﹣x （a ＞0）在定义域上不是单调函数． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若f （x ）在定义域上的极大值为M ，极小值为N ，求M +N 的取值范围． 解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）， ∴f ′(x)=2x +2ax −1=2ax 2−x+2x，由f '（x ）＝0得：2ax 2﹣x +2＝0，设u （x ）＝2ax 2﹣x +2，∵函数f （x ）不是单调函数，∴u （x ）＝0在（0，+∞）有两正实根， 又a ＞0，设u （x ）＝0的两根为x 1，x 2，则由{x 1+x 2=12a ＞0x 1x 2=1a ＞0Δ=1−16a ＞0可得：u （x ）＝0有两个正实根，∴a ∈(0，116)． （Ⅱ）M +N =f(x 1)+f(x 2)=2ln(x 1x 2)+a(x 1+x 2)2−2ax 1x 2−(x 1+x 2)=2ln 1a −14a −2，令t =1a (t ＞16)，所以M +N =g(t)=2lnt −14t −2，因为g ′(t)=2t −14＜−18＜0， 所以g （t ）在（16，+∞）上单调递减， 所以g （t ）＜g （16）＝8ln 2﹣6， 故M +N ∈（﹣∞，8ln 2﹣6）．22．（12分）已知点P 是圆S ：x 2+y 2＝1的动点，过P 作PH ⊥y 轴，H 为垂足，且HQ →=tHP →，HR →=1tHP →(t ＞1)，记动点Q ，R 的轨迹分别为S 1，S 2．（Ⅰ）证明：S 1，S 2有相同的离心率； （Ⅱ）若直线l ：y =kx −√22与曲线S 1交于 A ，B ，与曲线S 2交于 C ，D ，与圆S 交于MN ，当k ＞√34时，试比较|AB |2+|CD |2与2|MN |2的大小．解：（Ⅰ）证明：设P （a ，b ），Q （x ，y ），由HQ →=tHP →，得a =xt，b ＝y ，因为a 2+b 2＝1，所以(x t )2+y 2=1，即S 1的轨迹方程为x 2t2+y 2=1；同理可得S 2的轨迹方程为t 2x 2+y 2＝1， 所以S 1的离心率e 1=√t 2−1t=√1−1t 2，S 2的离心率e 2=1√1−1t2=√1−1t 2， 所以e 1＝e 2，所以S 1，S 2有相同的离心率； （Ⅱ）联立{x 2t 2+y 2=1y =kx −√22，消去y 得(1+t 2k 2)x 2−√2kt 2x −12t 2=0，则Δ=4t 2(t 2k 2+12)＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=√2kt 21+t 2k2，x 1x 2=−12t21+t 2k2，则|AB |2＝（1+k 2）|x 1﹣x 2|2＝（1+k 2）[(x 1+x 2)2−4x 1x 2 ]＝（1+k 2）[(√2kt 21+t 2k 2)2+2t 21+t 2k2]=4t 2(k 2+1)(k 2t 2+12)(k 2t 2+1)2，同理可得|CD|2=4(k 2+1)(k 2+12t 2)(k 2+t 2)2， 当t ＝1时，|AB ＝|CD |＝|MN |， 所以|AB|2+|CD|2=4t 2(k 2+1)(k 2t 2+12)(k 2t 2+1)2+4(k 2+1)(k 2+12t 2)(k 2+t 2)2 =2(k 2+1)(t 2(2k 2t 2+1)(k 2t 2+1)2+2k 2+t 2(k 2+t 2)2)，令k 2＝a ，t 2＝x ，f （x ）=2ax 2+x (ax+1)2+x+2a(x+a)2，x ≥1，则f ′(x)=3ax+1(ax+1)3−x+3a (x+a)3=(3ax+1)(x+a)3−(x+3a)(ax+1)3(ax+1)3⋅(x+a)3=(x2−1)⋅(3a−a3)(x2+1)+(6a2−3a4+1)x(ax+1)3⋅(x+a)3，因为x≥1且k＞√34，所以a2＝k4＞3，3a﹣a3＜0，6a2﹣3a4+1＜0，所以f′（x）＜0，所以f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以当x＞1时，f（x）＜f（1），所以|AB|2+|CD|2＜2|MN|2．。

金华十校2024年4月高三模拟考试数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟.试卷总分为150分.2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}220B x x x =-<，则A B = （）A.{}0B.{}1C.{}1,2 D.{}1,2,3【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次不等式求解{}02B x x =<<，即可由交集求解.【详解】{}{}22002B x x x x x =-<=<<，故A B = {}1，故选：B2.i2i =+（）A.12i 55+ B.12i 55-C.12i 33+ D.12i 33-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算即可求解.【详解】()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，故选：A3.设()0,πα∈，条件1:sin 2p α=，条件:cos 2q α=，则p 是q 的（）A.充分不要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解．【详解】由于()0,πα∈，若1sin 2α=，则cos 2α==±，充分性不成立，若cos 2α=，则1sin 2α==，必要性成立，故p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．4.设直线2:20l x y a --=，圆()()22:121C x y -+-=，则l 与圆C （）A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能【答案】C 【解析】【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线l 的距离，与半径比较即可判断求解．【详解】圆22:(1)(2)1C x y -+-=的圆心为(1,2)C ，半径1r =，则圆心C 到直线l 的距离221d r ===，故直线l 与圆C 相离．故选：C ．5.等差数列{}n a 的首项为正数，公差为d ，n S 为{}n a 的前n 项和，若23a =，且2S ，13S S +，5S 成等比数列，则d =（）A.1B.2C.92D.2或92【答案】B 【解析】【分析】由等比中项的性质得到()22513S S S S =+，结合求和公式得到13d a =-或12d a =，再由23a =，10a >计算可得.【详解】因为2S ，13S S +，5S 成等比数列，所以()22513S S S S =+，即()()()2111510243d a d a d a ++=+，即()()11320a d a d +-=，所以13d a =-或12d a =，又23a =，10a >，当13d a =-，则11133a d a a +=-=，解得132=-a （舍去），当12d a =，则11123a d a a +=+=，解得11a =，则2d =.故选：B6.在ABC △中，sin 7B =，120C =︒，2BC =，则ABC △的面积为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式求出sin A ，再由正弦定理求出b ，代入面积公式即可得解.【详解】由题意，()312121sin sin 60sin 60cos cos 60sin 22714A B B B =︒-=︒-︒=⨯⨯，由正弦定理，sin sin a bA B =，即2sin 74sin 2114a Bb A⨯===，所以11sin 24222ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△故选：D7.金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（）A.72种B.48种C.36种D.24种【答案】A 【解析】【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成22A 组，然后分给剩余2个不同学校有22A 种不同分法，再由分步乘法计数原理得解.【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有1234C C 种不同的方法，剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有22A 种，这2组分配到2个不同学校有22A 种不同分法，所以由分步乘法计数原理知，共有12223422C C A A 362272⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=种不同的分法.故选：A8.已知()1cos 3αβ-=，1sin sin 12αβ=-，则22cos sin αβ-=（）A.12B.13 C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出cos cos αβ，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解．【详解】由1cos()3αβ-=得1cos cos sin sin 3αβαβ+=，又1sin sin 12αβ=-，所以5cos cos 12αβ=，所以[][]22cos ()()cos ()()1cos 21cos 2cos 2cos 2cos sin 2222αβαβαβαβαβαβαβ++-++--+-+-=-==cos()cos()αβαβ=+-(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )αβαβαβαβ=-+5151111(()12121212236=+⨯-=⨯=．故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50350KW h ~⋅之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为i s （1i =，2，L ，6），则（）A.x 的值为0.0044B.这100户居民该月用电量的中位数为175C.用电量落在区间[)150,350内的户数为75D.这100户居民该月的平均用电量为61(5025)ii i s =+∑【答案】AD 【解析】【分析】根据频率分布直方图中频率之和为1即可判断A ，根据中位数的计算即可求解B ，根据频率即可求解C ，根据平均数的计算即可判断D.【详解】对于A ，由频率分布直方图的性质可知，(0.00240.00360.00600.00240.0012)501x +++++⨯=，解得0.0044x =，故A 正确；对于B ，因为(0.00240.0036)500.30.5+⨯=<，(0.00240.00360.0060)500.60.5++⨯=>，所以中位数落在区间[150,200)内，设其为m ，则0.3(150)0.0060.5m +-⨯=，解得183m ≈，故B 错误；对于C ，用电量落在区间[150，350)内的户数为(0.00600.00440.00240.0012)5010070+++⨯⨯=，故C 错误；对于D ，这100户居民该月的平均用电量为61261(5025)(50225)(50625)(5025)ii s s s i s=++⨯+++⨯+=+∑ ，故D 正确.故选：AD ．10.已知01a b <<<，1m n >>，则（）A.a bb a > B.n mm n >C .log log b m na > D.log log ab n m>【答案】ACD 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】对于A ，因为01a b <<<,所以指数函数x y b =在R 上单调递减，且a b <，所以a b b b >，因为幂函数b y x =在(0,)+∞上单调递增，且a b <，所以b b a b <，所以a b b a >，故A 正确，对于B ，取5m =，2n =，则2552<，故B 错误；对于C ，因为对数函数log b y x =在(0,)+∞上单调递减，log m y x =在(0,)+∞上单调递增，所以log log 1b b a b >=，log log 1m m n m <=，所以log log b m a n >，故C 正确；对于D ，因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增，所以ln ln 0a b <<，ln 0m >，则ln ln log log ln ln a b m mm m a b=>=，因为对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，所以log log log a a b n m m >>，故D 正确．故选：ACD ．11.在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为线段AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE △从起始到结束的翻折过程中，（）A.存在某位置，使得1DE A C ⊥B.存在某位置，使得1CE A D ⊥C.MB 的长为定值D.MB 与CD 所成角的正切值的最小值为12【答案】BCD 【解析】【分析】当1A C DE ⊥时，可得出DE ⊥平面1A OC ，得出OC DE ⊥推出矛盾判断A ，当1OA ⊥平面BCDE时可判断B ，根据等角定理及余弦定理判断C ，建系利用向量法判断D.【详解】如图，设DE 的中点O ，连接,OC OA ，则1OA DE ⊥，若1A C DE ⊥，由111A O A C A = ，11,AO AC ⊂平面1A OC ，可得DE ⊥平面1A OC ，OC ⊂平面1A OC ，则可证出OC DE ⊥，显然矛盾()CD CE ≠，故A 错误；因为CE DE ⊥，所以当1OA ⊥平面BCDE ，由CE ⊂平面BCDE 可得1O A CE ⊥，由1O A DE O = ，1,O A DE ⊂平面1A DE ，即可得CE ⊥平面1A DE ，再由1A D ⊂平面1A DE ，则有1CE A D ⊥，故B 正确；取CD 中点N ，1//MN A D ，112MN A D =，//BN ED ，且1,MNB A DE ∠∠方向相同，所以1MNB A DE ∠=∠为定值，所以BM =C 正确；不妨设AB =，以,OE ON 分别为,x y 轴，如图建立空间直角坐标系，设1A ON θ∠=，则()10,cos ,sin A θθ，()()1cos sin 2,1,0,1,2,0,,1,,(1,0,0)222B C M D θθ⎛⎫+-⎪⎝⎭，()2,2,0DC =，3cos sin ,,,2222BM BM θθ-⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，设MB 与CD 所成角为ϕ，则cos 5DC BM DC BMϕ⋅==≤⋅ ，即MB 与CD 所成最小角的余弦值为5，此时1tan 2ϕ=，故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：处理折叠问题，注意折前折后可变量与不变量，充分利用折前折后不变的量，其次灵活运用线面垂直的判定定理与性质定理是研究垂直问题的关键所在，最后不容易直接处理的最值问题可考虑向量法计算后得解.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知单位向量a ，b满足|2|a b -=，则a 与b 的夹角为________．【答案】3π（或写成60︒）【解析】【分析】将等式|2|a b -=两边平方即可.【详解】因为222|2|443a b a a b b -=-⋅+=，所以12a b ⋅= ，所以1cos ,2a b 〈〉=r r ，[],0π,3a b a b π∈=，，．故答案为：3π.13.已知函数()2,0,ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若()f x 在点()()1,1f 处的切线与点()()00,x f x 处的切线互相垂直，则0x =______．【答案】12-##0.5-【解析】【分析】分别求出函数在两段上的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线垂直得解.【详解】当0x >时，1()0f x x'=>，所以(1)1f '=，且点()()00,x f x 不在ln y x =上，否则切线不垂直，故00x ≤，当0x <时，()2f x x '=，所以00()2f x x '=，由切线垂直可知，0211x ⨯=-，解得012x =-.故答案为：12-14.设椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的焦距，它们的离心率分别为1e ，2e ，椭圆1C 的焦点为1F ，2F ，1C ，2C 在第一象限的交点为P ，若点P 在直线y x =上，且1290F PF ∠=︒，则221211e e +的值为______．【答案】2【解析】【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c ，先根据题意得出点P 的坐标()0c >，再将点P 分别代入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解.【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c ，则2222221122,a b c a b c +=-=，又1290F PF ∠=︒，所以121||||2OP F F c ==，又点P 在第一象限，且在直线y x =上，所以22,22P c c ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，又点P 在椭圆上，所以22221122221c c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即22222112c c a a c +=-，整理得422411240a a c c -+=，即22211112410e e ⎛⎫⋅-⋅+= ⎪⎝⎭，解得2114242e ±±==，因为101e <<，所以21122e =，同理可得点P 在双曲线上，所以22222222221c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，即22222222c a c a c -=-，解得2122e -=，所以22121122222e e +-+=+=.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可拋掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分：若点数之和不等于7，则获得2个积分．（1）记两次点数之和等于7为事件A ，第一次点数是奇数为事件B ，证明：事件A ，B 是独立事件；（2）现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X 的分布列和期望．【答案】（1）证明见解析（2）分布列见解析；152【解析】【分析】（1）根据古典概型分别计算(),(),()P A P B P AB ，由()P AB ，()()P A P B 的关系证明；（2）根据n 次独立重复试验模型求出概率，列出分布列，得出期望.【小问1详解】因为两次点数之和等于7有以下基本事件：()()()()()()1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1共6个，所以()61366P A ==，又()12P B =．而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是()()()163452,,,,,共3个，所以()313612P AB ==，故()()()P AB P A P B =，所以事件A ，B 是独立事件．【小问2详解】设三位参与这个活动的顾客共获得的积分为X ，则X 可取6，9，12，15，()30311256C 16216P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()21311759C 166216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()223151512C 166216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331115C 6216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以分布列为：X691215P12521675216152161216所以()12575151156912152162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16.设()sin cos cos f x x x a x =+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）若1a =，求()f x 的值域；（2）若()f x 存在极值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0,4⎡⎢⎣⎦（2）()1,-+∞【解析】【分析】（1）求导，得()()()sin 12sin 1f x x x =-+-'，即可根据π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭判断导数的正负确定函数的单调性，求解极值点以及端点处的函数值即可求解，（2）将问题转化为()0f x '=在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即可分离参数得12sin sin a x x=-，利用换元法，结合函数单调性即可求解.【小问1详解】若1a =，()πsin cos cos 0,2f x x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，，()()()222cos sin sin 2sin sin 1sin 12sin 1f x x x x x x x x =--=--+=-+-'当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,2sin 10x x >-<，则()0f x '>，()f x 单调递增；当ππ,62x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0,2sin 10x x >->，则()0f x '<，()f x 单调递减又π3364f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()01f =，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以()0,4f x ⎡∈⎢⎣⎦，即()f x 的值域为0,4⎡⎢⎣⎦【小问2详解】()222cos sin sin 12sin sin f x x x a x x a x =--=--'．()f x 存在极值点，则()0f x '=在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即12sin sin a x x =-有解．令sin t x =，则12a tt =-在()0,1t ∈上有解．因为函数12y t t=-在区间()0,1上单调递减，所以()1,a ∞∈-+，经检验符合题意．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．（1）求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；（2）若三棱柱111ABC A B C -的体积为1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【小问1详解】分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB AO ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．【小问2详解】因为三棱柱111ABC A B C -的体积为1263AO =，以E 为坐标原点，EA 为x 轴正方向，EB 为y 轴正方向，过点E 且与1OA 平行的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则)()()1,0,1,0,0,1,0,,0,33AB C A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面11AA B B 的法向量1n，因为()1,,0,33AB AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭．则1110033AB n y AA n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，可得)1n = ，又11,1,33AC AA AC ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为θ，所以111111sin cos ,3n AC n AC n AC θ⋅====.18.设抛物线()2:20C y px p =>，直线=1x -是抛物线C 的准线，且与x 轴交于点B ，过点B 的直线l与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，()1,A n 是不在直线l 上的一点，直线AM ，AN 分别与准线交于P ，Q 两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）证明：BP BQ =：（3）记AMN △，APQ △的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析（3）10x ±+=【解析】【分析】（1）根据准线方程可得p ，即可求解；（2）设l ：1x ty =-，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与抛物线，得出根与系数的关系，再由直线的相交求出,P Q 坐标，转化为求0P Q y y +=即可得证；（3）由（2）可得2S PQ =，再由112S MN d =，根据122S S =可得t ，即可得解.【小问1详解】因为=1x -为抛物线的准线，所以12p=，即24p =，故抛物线C 的方程为24y x=【小问2详解】如图，设l ：1x ty =-，()()1122,,,M x y N x y ，联立24y x =，消去x 得2440y ty -+=，则()2Δ1610t =->，且121244y y ty y +=⎧⎨=⎩，又AM ：()1111y ny n x x --=--，令=1x -得()1121,1y n P n x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭，同理可得()2221,1y n Q n x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭，所以()()()()12121212222221122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤----+=-+-=-+⎢⎥----⎣⎦()()()()()()1221122222222y n ty y n ty n ty ty --+--=--⋅-，()()()212122212124248882202444ty y nt y y nn nt n n t y y t y y t --++-=-=-=-++-，故BP BQ =.【小问3详解】由（2）可得：()()122122222y n y n S PQ ty ty --==-=--1112222S MN d nt ==⨯-，由122S S =，得：212t-=，解得t =，所以直线l 的方程为10x ±+=．【点睛】关键点点睛：本题第二问中直线较多，解题的关键在于理清主从关系，据此求出,P Q 点的坐标（含参数），第二个关键点在于将BP BQ =转化为,P Q 关于x 对称，即0P Q y y +=.19.设p 为素数，对任意的非负整数n ，记0101kk n a p a p a p =++⋅⋅⋅+，()012p k W n a a a a =+++⋅⋅⋅+，其中{}()0,1,2,,10i a p i k ∈⋅⋅⋅-≤≤，如果非负整数n 满足()p W n 能被p 整除，则称n 对p “协调”．（1）分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；（2）判断并证明在2p n ，21p n +，22p n +，…，()221p n p +-这2p 个数中，有多少个数对p “协调”；（3）计算前2p 个对p “协调”的非负整数之和．【答案】（1）194，196对3“协调”，195对3不“协调”（2）有且仅有一个数对p “协调”，证明见解析（3）522p p -【解析】【分析】（1）根据n 对p “协调”的定义，即可计算()()()333194,195,196W W W ，即可求解，（2）根据n 对p “协调”的定义以及整除原理可证明引理，证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”，即可根据引理求证．（3）将()22222,1,2,,1p n p n p n p n p +++- 这2p 个数分成p 组，每组p 个数，根据引理证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”，即可求解.【小问1详解】因为012341942313031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3194210126W =++++=，012341950323031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3195020125W =++++=，012341961323031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3196120126W =++++=，所以194，196对3“协调”，195对3不“协调”.【小问2详解】先证引理：对于任意的非负整数t ，在(),1,2,,1pt pt pt pt p +++- 中有且仅有一个数对p “协调”．证明如下：设012012kk pt b p b p b p b p =++++ ，由于pt 是p 的倍数，所以00b =，所以01212k k pt j jp b p b p b p +=++++ ，即pt j +对于0p 这一项的系数为()01j j p ≤≤-，所以()()()1201p k W pt j b b b j j p +=++++≤≤- ，根据整除原理可知，在()()01p W pt j j p +≤≤-中有且仅有一个数能被p 整除，所以在(),1,2,,1pt pt pt pt p +++- 中有且仅有一个数对p “协调”．接下来把以上2p 个数进行分组，分成以下p 组（每组p 个数）：()()()()()()22222222222221211221111121p n p n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++-++++++-+-+-++-++-根据引理可知，在以上每组里恰有1个数对p “协调”，所以共有p 个数对p “协调”．【小问3详解】继续考虑()22222,1,2,,1p n p n p n p n p +++- 这2p 个数分成p 组，每组p 个数：()()()()()()22222222222221211221111121p n p n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++-++++++-+-+-++-++-由（2）的引理可知每一行里有且只有一个数对p “协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”．证明如下：设某一列第一个数为()201,01p n t n p t p +≤≤-≤≤-，则20120p n t tp p np +=++，所以()2p W p n t n t +=+，同理当01s p ≤≤-时，()2p W p n sp t n s t ++=++，所以当01s p ≤≤-时，集合{}201p n sp t s p ++≤≤-中的p 个数中有且只有1个数对p “协调”．注意到数阵中每一个数向右一个数增加1，向下一个数增加p ，所以p个数对p “协调”的数之和为：()()()()232112112112p n p p p p np p p ⋅++++-++++-⋅=+- ，进一步，前2p 个对p “协调”的非负整数之和为：()()()22152323011112222p n p p p p p p np p p p -=---⎡⎤=-=⋅+=⎢⎥⎣⎦∑【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义所给的关系式的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将定义可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。