十、解直角三角形
令狐文艳
葛泉云苏州市文昌实验中学
【课标要求】
1．掌握直角三角形的判定、性质．
2．能用面积法求直角三角形斜边上的高．
3．掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解决简单的实际问题．
4．理解锐角三角函数定义（正弦、余弦、正切、余切），知道四个三角函数间的关系．5．能根据已知条件求锐角三角函数值．
6．掌握并能灵活使用特殊角的三角函数值．
7．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形中的边与角的问题．
8．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形有关的实际问题．
【课时分布】
解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试，下表为课时安排（仅供参考）．
【知识回顾】
1
2和等于斜边的平方，即：
在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则a 2+b 2=c 2；
⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若a 2+b 2=c 2，
则∠C ＝90°；
⑹
射影定理：AC 2=AD AB ,BC 2=BD AB ,CD 2=DA DB ．
锐角三角函数的定义：
如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，
∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c ,
则sinA =a c ,cosA =b c ,tanA =a b ,cotA =b a 特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随α的变化情况）
解
直
角
三
角形（Rt △ABC ,∠C ＝90°）
⑴三边之间的关系：a 2+b 2=c 2．
⑵两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°．．
⑶边角之间的关系：sinA = A a c ∠的对边＝斜边,cosA =
A b c ∠的邻边＝斜边．
tanA=
A a
A b
∠
∠
的对边
＝
的邻边,cotA=
A b
A a
∠
∠
的邻边
＝
的对边．
⑷解直角三角形中常见类型：
①已知一边一锐角．
②已知两边．
③解直角三角形的应用．
2．能力要求
例1 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC ＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的四个三角函数值．
【分析】求∠BCD的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD是在Rt△BCD中的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD和CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案．
【解】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°∴∠BCD ＋∠ACD＝90°，
∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠
A ．
在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AB
＝
＝10， ∴sin ∠BCD =sinA =BC AB =45,cos ∠BCD =cosA =AC AB =35
, tan ∠BCD =tanA =BC AC =43,cot ∠BCD =cotA =AC BC =34
． 【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，教师应强调转化的思想，即本题中角的转换．（或可利用射影定理，求出BD 、DC ，从而利用三角函数定义直接求出） 例2 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成
60°角，在离电线杆6米的B 处安
置测角仪，在A 处测得电线杆上C
处的仰角为30°，已知测角仪离AB 为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号）
【分析】求CE 的长，此时就要借助于另一个直角三角形，故过点A 作AG ⊥CD ，垂足为G ，在Rt △ACG 中，可求出CG ，从而求得CD ，在Rt △
CED 中，即可求出CE 的长．
【解】 过点A 作AG ⊥CD ，垂足为点G ， 在Rt △ACG 中，∵∠CAG ＝30°，BD ＝6，
∴tan 30°=CG AG ，∴CG =6×33
=23 ∴CD =23+1.5,在Rt △CED 中，sin 60°=CD EC
，∴EC =CD sin60°
=2=4+3．
答：拉线CE 的长为4+3米．
【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键．老师在复习过程中应加以引导和总结．
例3 如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？
【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝
长；所以问题就转化为求梯形ADNM 的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA 与AB 的坡度均为1∶0.5．
【解】 ⑴∵i =tanB ,即tanB =
B =63.43°．
⑵过点M 、N 分别作ME ⊥AD ，NF 垂足分别为E 、F ．
由题意可知：ME ＝NF ＝5，∴ME AE ＝10.5
， ∴AE ＝DF ＝2.5，
∵AD =4， ∴MN =EF =1.5，
∴S 梯形ADNM ＝12
(1.5+4)×1＝2.75． ∴需要土方为2.75×90=247.5 (m 3
) ．
【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来
解决问题，坡度＝垂直高度水平距离
＝坡角的正切值，虽然2007年中考时计算器不能带进考场，但学生应会使用计算器，所以建议老师还是要复习一下计算器的使用方法．
