新课程必修第一册《函数的概念与性质》检测检测题及答案解析

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新课程必修第一册《函数的概念与性质》检测检测题及答案解析

时间：120分钟，满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数f(x)＝x＋1＋12－x的定义域为( )

A．[－1,2)∪(2，＋∞) B．(－1，＋∞)

C．[－1,2) D．[－1，＋∞)

解析： 由 x＋1≥0，2－x≠0，解得x≥－1，且x≠2.

故选A

2．函数f(x)＝x3＋1x的图象( )

A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称

C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称

解析：由x≠0，且f(－x)＝(－x)3＋1－x＝－x3－1x＝－f(x)，知f(x)是R上的奇函数，因此图象关于坐标原点对称．

故选 C

3．已知函数f(x)满足f1＋1x＝2x＋1.若f(a)＝5，则a＝( )

A．2 B．1

C.32 D．0

解析：f(x)满足f1＋1x＝2x＋1，且f(a)＝5，则1＋1x＝a时2x＋1＝5，故x＝2，a＝32.故选C

4．函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数的单调递增区间为( )

A．[0，＋∞) B．(－∞，0]

C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)

解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以ax2－(2＋a)x＋1＝ax2＋(2＋a)x＋1，即(2＋a)x＝0对于任意实数x恒成立，所以2＋a＝0，解得a＝－2.所以f(x)＝－2x2＋1，其单调递增区间为(－∞，0].

故选B.

5．一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的( ) 2

解析：由鱼缸的形状可知，水的体积随着h的减小，先减少得慢，后减少得快，又减少得慢．

故选 B.

6．二次函数f(x)＝ax2＋2a是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g32，g(3)的大小关系为( )

A．g32

C．g32

解析：由题意得 a≠0，－a＝－a2，解得a＝1，

∴f(x)＝x2＋2，

∴g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.

∵函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，∴g(0)＝g(2)．

又∵函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，

∴g32

故选A

7．幂函数223ymmx(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )

A．－1 B．0

C．1 D．2

解析： 从图象上看，图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3，且m∈Z；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．

故选C 3

8．已知函数f(x)＝ x2＋1，x≤0，1，x>0，若f(x－4)>f(2x－3)，则实数x的取值范围是( )

A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)

C．(－1,4) D．(－∞，1)

解析：f(x)的图象如图．由图知，若f(x－4)>f(2x－3)，则 x－4<0，x－4<2x－3，

解得－1

故选C .

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应关系中，不能构成从A到B的函数有( )

解析：根据函数的定义可知，A，B，C中的图形给出的对应关系不能构成从A到B的函数．

故选ABC.

10．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是( )

A．f(x)＝1x B．f(x)＝－x3

C．f(x)＝x|x| D．f(x)＝－3x

解析：对于A，f(x)＝1x 在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数，所以不满足题意；对于B，f(x)＝－x3在定义域R上是奇函数，且是减函数，所以满足题意；对于C，f(x)＝x|x|＝x2，x≥0，－x2，x<0 在定义4

域R 上是奇函数，且是增函数，所以不满足题意；对于D，f(x)＝－3x

在定义域R上是奇函数，且是减函数，所以满足题意．

故选BD.

11．函数21f()1xxx的值可能是( )

A．2 B．54

C．32 D．43

解析：∵f(x)＝1x－122＋34≤43，

∴函数21f()1xxx的值可能是54或43.

故选BD.

12．已知奇函数f(x)是定义在R上的减函数，且f(2)＝－1，若g(x)＝f(x－1)，则下列结论一定正确的是( )

A．g(1)＝0 B．g(2)＝－12

C．g(－x)＋g(x)＞0 D．g(－x＋1)＋g(x＋1)＜0

解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，因为g(x)＝f(x－1)，所以g(1)＝f(0)＝0，故A正确；

因为f(x)为定义在R上的减函数，且f(2)＝－1，f(2)＜f(1)＜f(0)，即－1＜f(1)＜0.所以－1＜g(2)＜0，故B错误；

因为g(x)＝f(x－1)，所以g(－x)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)．所以g(－x)＋g(x)＝f(x－1)－f(x＋1)，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以f(x－1)＞f(x＋1)，所以f(x－1)－f(x＋1)＞0，即g(－x)＋g(x)＞0，故C正确；

因为g(x)＝f(x－1)，所以g(－x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，g(x＋1)＝f(x)，所以g(－x＋1)＋g(x＋1)＝－f(x)＋f(x)＝0，故D错误．

故选AC.

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(1－x)，则当x＜0时，f(x)＝________.

解析：因为x＜0，所以－x＞0，

所以f(－x)＝(－x)·(1＋x)，

又函数f(x)是奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)(1＋x)＝x(1＋x)，

所以当x＜0时，f(x)＝x(1＋x)．

答案：x(1＋x)

14．已知定义域为R的奇函数f(x)满足fx＋32＝f12－x，且当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则f52＝ ；

解析： ∵定义域为R的奇函数f(x)满足fx＋32＝f12－x，∴fx＋32＝f12－x＝

－fx－12，即f(x＋2)＝－f(x)，则f52＝f2＋12＝－f12＝－123＝－18.

答案：－18

15．若f(x)＝ax，x≥1，－x＋3a，x<1 是R上的单调函数，则实数a的取值范围为____________．

解析：因为f(x)＝－x＋3a在x∈(－∞，1)上是单调递减的，且f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上一定单调递减，所以a>0，a≤－1＋3a， 解得a≥12 ，所以a∈12，＋∞ .

答案：12，＋∞

16．定义符号函数sgnx＝ 1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0.设f(x)＝sgn12－x＋12·f1(x)＋sgnx－12＋12·f2(x)，x∈[0,1]，若f1(x)＝x＋12，f2(x)＝2(1－x)，则f(x)的最大值等于________． 6

解析 由题意知f(x)＝ x＋12，0≤x＜12，1，x＝12，21－x，12＜x≤1，

所以f(x)的最大值等于1.

答案 1

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分) 已知f(x)＝1x－1，x∈[2,6]．

(1)证明f(x)是定义域上的减函数；

(2)求f(x)的最大值和最小值．

证明：(1)设2≤x1

因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，

所以f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2)．

所以f(x)是定义域上的减函数．

解：(2)由(1)的结论可得，f(x)min＝f(6)＝15，

f(x)max＝f(2)＝1.

18. (12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．

(1)求f[f(4)]的值及f(x)的解析式；

(2)若f(x)＝12 ，求实数x的值．

解：(1)根据图象可知f(4)＝0，则f[f(4)]＝f(0)＝1. 7

设线段对应的方程为y＝kx＋b(－1≤x≤0).

将点(0，1)和点(－1，0)代入可得b＝1，k＝1，即y＝x＋1(－1≤x≤0).

当x>0时，设y＝ax2＋bx＋c.

因为图象过点(0，0)，(4，0)，(2，－1)，代入可得y＝14 x2－x.

所以f(x)＝x＋1，－1≤x≤0，14x2－x，x>0.

(2)当x＋1＝12 时，x＝－12 ，符合题意．当14 x2－x＝12 时，解得x＝2＋6 或x＝2－6

(舍去).

故x的值为－12 或2＋6 .

19．(12分)已知y＝f(x)是R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋4x－1.

(1)求y＝f(x)的解析式；

(2)画出y＝f(x)的图象，并指出y＝f(x)的单调区间．

解：(1)设x＞0，则－x＜0，

所以f(－x)＝(－x)2＋4(－x)－1＝x2－4x－1，

又y＝f(x)是R上的奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋4x＋1，又f(0)＝0，

所以f(x)＝x2＋4x－1（x＜0），0（x＝0），－x2＋4x＋1（x＞0）.

(2)先画出y＝f(x)(x＜0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x＞0)的图象，其图象如图所示．

由图可知，y＝f(x)的单调递增区间为[－2，0)和(0，2]，单调递减区间为(－∞，－2]和[2，＋∞).

20．(12分) 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2.

(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)是区间[－5,5]上的单调函数；