椭圆、双曲线、抛物线综合测试题

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椭圆、双曲线、抛物线综合测试题

一 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1设双曲线2212yxm的一个焦点为(0,2)，则双曲线的离心率为( ).

A 2 B 2 C 6 D 22

2椭圆221167xy的左、右焦点分别为12,FF，一直线经过1F交椭圆于A、B两点，则2ABF的周长为（ ）

A 32 B 16 C 8 D 4

3 两个正数a、b的等差中项是52，等比中项是6，则椭圆22221xyab的离心率为（ ）

A 32 B 133 C 53 D 13

4设1F、2F是双曲线22124yx的两个焦点，P是双曲线上的一点，且31||PF=42||PF，

则12PFF的面积为（ ）

A 42 B 83 C 24 D 48

5 P是双曲线22916xy=1的右支上一点，M、N分别是圆22(5)1xy和22(5)xy=4上的点，则||||PMPN的最大值为（ ）

A 6 B 7 C 8 D 9

6已知抛物线24xy上的动点P在x轴上的射影为点M，点(3,2)A，则||||PAPM的最小值为（ ）

A 101 B 102 C 101 D 102

7 一动圆与两圆221xy和228120xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）

A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线

8若双曲线22221(0,0)xyabab的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ） 学习好资料 欢迎下载

A 2 B 3 C 5 D 2

9抛物线2yx上到直线20xy距离最近的点的坐标（ ）

A 35,24 B (1,1) C 39,24 D (2,4)

10已知c是椭圆22221xyab(0)ab的半焦距，则bca的取值范围（ ）

A (1,) B (2,) C (1,2) D (1,2]

11方程2mxny0与22mxny1(0,0,)mnmn表示的曲线在同一坐标系中图象可能是（ ）

12若AB是抛物线22(0)ypxp的动弦，且||(2)ABaap，则AB的中点M到y轴的最近距离是（ ）

A 12a B 12p C 1122ap D 12a－12p

二 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上）

13 设1F、2F分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且12FPF=60o，

12PFFS=123，离心率为2，则双曲线方程的标准方程为 ．

14 已知椭圆221xymn与双曲线221xypq(,,,,)mnpqRmn，有共同的焦点1F、2F，点P是双曲线与椭圆的一个交点，则12||||PFPF= ．

15 已知抛物线22(0)xpyp上一点A(0,4)到其焦点的距离为174，则p= ．

16已知双曲线2222xya=12a的两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为 ．

三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程： y

x o B y

x o C y

x o

D y

x o

A 学习好资料 欢迎下载

⑴ 焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为54；

⑵ 顶点间的距离为6，渐近线方程为32yx.

18．（12分）在平面直角坐标系中，已知两点(3,0)A及(3,0)B．动点Q到点A的距离为10，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P．

⑴求||||PAPB的值；

⑵写出点P的轨迹方程．

19．（12分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，过右焦点2F且与x轴垂直的直线l与椭圆相交，其中一个交点为(2,1)M．

⑴求椭圆的方程；

⑵设椭圆的一个顶点为(0,)Bb，直线2BF交椭圆于另一点N，求1FBN的面积．

20．（12分）已知抛物线方程24xy，过点(,4)Pt作抛物线的两条切线PA、PB，切点为A、B．

⑴求证：直线AB过定点(0,4)；

⑵求OAB（O为坐标原点）面积的最小值．

21 ．（12分）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线的右支上，且1||PF=3|2|PF．

⑴求双曲线离心率e的取值范围，并写出e取得最大值时，双曲线的渐近线方程；

⑵若点P的坐标为43(10,10)55，且12PFPF=0，求双曲线方程．

22．（12分）已知O为坐标原点，点F、T、M、1P满足OF=(1,0)，(1,)OTt，FMMT，1PM⊥FT，1PT∥OF．

⑴求当t变化时，点1P的轨迹方程；

⑵若2P是轨迹上不同于1P的另一点，且存在非零实数使得12FPFP， 学习好资料 欢迎下载

求证：1211||||FPFP=1.

参考答案

1A 提示：根据题意得222cab=2m=4，∴m=2，∴222cabeaa=

222112ba=2．故选A．

2B 提示：2ABF的周长=12||||AFAF+12||||BFBF=4a=16.故选B．

3C 提示：根据题意得56abab，解得a3，b2，∴c=5，∴cea=53．

4C 提示：∵P是双曲线上的一点，且31||PF=42||PF，

1||PF－2||PF=2，解得1||PF=8，2||PF=6，又12||FF=2c=10，∴12PFF是直角三角形，12PFFS=1862=24.故选C．

5 D 提示：由于两圆心恰为双曲线的焦点，||PM1||PF+1，

||PN2||PF2，

∴||||PMPN≤1||PF+1—（2||PF2）

=1||PF—2||PF+3=2a+3=9.

6A 提示：设d为点P到准线1y的距离，F为抛物线的焦点，由抛物线的定义及数形结合得，||||PAPM=d－1+||PA=||PA+||PF－1≥||AF－1=101．故选A．

7C 提示：设圆221xy的圆心为(0,0)O，半径为1，圆228120xyx的圆心为1(4,0)O，O为动圆的圆心，r为动圆的半径，则1||||OOOO=(2)(1)rr=1，

所以根据双曲线的定义可知．故选C． x y

P

M N

O F1 F2

2题图 学习好资料 欢迎下载

8C 提示：设其中一个焦点为(,0)Fc，一条渐近线方程为byxa，根据题意得2||1bcaba=2a，化简得2ba，∴ eca=222aba=21ba=14=5．故选C．

9 B 提示：设2(,)Pxx为抛物线2yx上任意一点，则点P到直线的距离为2|24|5xxd=2|(1)3|5x，∴当1x时，距离最小，即点P(1,1)．故选B．

10 D 提示：由于22222bcbcbcaa≤22222bcbca=2，则bca≤2，

又bca，则bca＞1.故选D．

11 C 提示：椭圆与抛物线开口向左．

12 D 提示：设11(,)Axy，22(,)Bxy，结合抛物线的定义和相关性质，则AB的中点M到y轴的距离为122xx=||||222ppAFBF=||||2AFBFp，显然当AB过焦点时，其值最小，即为12a－12p．故选D．

二 填空题

13 221412xy 提示：设双曲线方程为22221xyab，∵2cea，∴2ca．∵12PFFS=123，∴1||PF×2||PF=48.22c21||PF+22||PF-21||PF2||PF12cosFPF，解得216c，∴2a=4，2b=12.

14 mp 提示：根据题意得1212||||2||||2PFPFmPFPFp，解得1||PFmp，2||PFmp．∴12||||PFPF=mp．

15 12 提示：利用抛物线的定义可知4()2p=174，p=12． 学习好资料 欢迎下载

16 233 提示：根据题意得233a，6a，∴22c，∴cea233．

三 解答题

17解：⑴因为焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为22221(0,0)xyabab，

∴22221254abcbca，解得 8a，6b，10c，∴双曲线的标准方程为2216436xy．

⑵设以32yx为渐近线的双曲线的标准方程为2249xy，

① 当0时，24=6，解得94，此时所求的双曲线的标准方程为2218194xy；

② 当0时，29=6，解得1，此时所求的双曲线的标准方程为22194yx．

18解：⑴ 因为线段BQ的垂直平分线交AQ于点P，∴||PB=||PQ，

∴||||PAPB=||PA+||PQ=||AQ=10；

⑵由⑴知||||PAPB=10（常数），又||||PAPB=10＞6=||AB，∴点P的轨迹是中心在原点，以,AB为焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中210,26ac，所以椭圆的轨迹方程为2212516xy．

19解：⑴∵l⊥x轴，∴2(2,0)F，根据题意得22222112abab，解得2242ab，

∴所求椭圆的方程为：22142xy．