概率论中几种收敛及其联系1

概率论中的收敛-正文概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。

设{X n,n≥1}是概率空间(Ω,F,P)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种：以概率1收敛若,则称｛X n,n≥1｝以概率1收敛于X。

强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率 1收敛于该事件的概率和总体的均值。

以概率 1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。

依概率收敛若对任一正数ε,都有，则称{X n,n≥1}依概率收敛于X。

它表明随机变量X n与X发生较大偏差(≥ε)的概率随n无限增大而趋于零。

概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件 A发生的频率依概率收敛于其概率P(A)的。

依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。

r阶平均收敛对r≥1,若X n-X的r阶绝对矩(见矩)的极限,则称{X n,n≥1}r阶平均收敛于X。

特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。

弱收敛设X n的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y都有,则称{X n,n≥1}弱收敛于X。

由平均收敛可以推出弱收敛。

从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。

分布弱收敛设F n、F分别表示随机变量X n、X的分布函数,若对F的每一个连续点x都有，则称X n的分布F n弱收敛于X的分布F,也称X n依分布收敛于X。

分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数ƒ(x)，img src="image/254-6.gif" align="absmiddle">。

分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。

中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。

泛函分析关于各种收敛的定义及其关系讨论1.弱收敛：设χ是一个巴拿赫空间，{}n x ⊂χ，x χ∈，称{}n x 弱收敛到x ，记做nx x ，是指：对于∀f ∈χ*都有()()lim .n n f x f x →∞=这时x 称做点列n x 的弱极限。

2.强收敛：0n x x -→()n →∞，也称为按范数收敛，x 是n x 的强极限。

强收敛与弱收敛的关系：若dim χ<∞，则弱收敛与强收敛是等价的。

命题：弱收敛若存在必唯一，强极限若存在必是弱极限。

当dim =χ∞时，弱极限存在却未必有强极限。

定理：设是一个巴拿赫空间，nx x ，则0，()01,2,,i i n λ∃≥=，11ni i λ==∑，使得01.ni ii x xλε=-≤∑既然也是一个赋范线性空间，在上自然也有两种收敛性：强收敛和弱收敛。

所谓弱收敛nf f ，是指对x χ****∀∈都有()().n n x f x f **→3.*弱收敛：设χ是巴拿赫空间，{}n f χ*⊂，f χ*∈。

称n f *弱收敛到f，记做lim n n f f ω*→∞-=，是指：对于x χ∀∈，都有()()lim n n f x f x →∞=。

这时f 称做泛函序列{}n f 的*弱极限。

*弱收敛与弱收敛的关系：由于χχ**⊂，因此χ*上的弱收敛蕴含着χ*上的*弱收敛，而且当χ是一个自反空间时，*弱收敛与弱收敛等价。

定理：设χ是巴拿赫空间，又设{}n x ⊂χ，x χ∈，则为了nx x ，必须且仅须⑴n x 有界；⑵对χ*中的一个稠密子集M *上的一切f 都有()()lim n n f x f x →∞=。

定理：设χ是一个B 空间，又设{}n f χ*⊂，{}f χ*⊂，则为了n f *弱收敛到f ，必须且仅须⑴n f 有界；⑵对χ中的一个稠密子集M 上的一切x 都有()()lim n n f x f x →∞=。

4.依测度收敛： 设{}n f 是q E R ⊂上的一列..a e 有限的可测函数列，若在E 上..a e 有限的可测函数()f x 满足下列关系：对于任意的0σ>有lim 0n x mE f f σ→∞⎡-≥⎤=⎣⎦，则称函数列{}n f 依测度收敛于f ，记为()()n f x f x ⇒。

概率论中几乎处处收敛和依测度收敛的关系概率论中几乎处处收敛和依测度收敛是两个不同的概念，但它们之间存在一定的关系。

几乎处处收敛是指在某个概率空间中，随机变量序列在几乎所有样本点处收敛于一个确定的随机变量，而依测度收敛则是指随着样本容量的增大，随机变量序列趋向于某个随机变量的分布，这种趋向是在概率测度的意义下进行的。

在一些情况下，几乎处处收敛和依测度收敛可能同时出现，比如对于一些收敛速度比较快的随机变量序列，在满足一定的条件下，几乎处处收敛和依测度收敛都会发生。

但是，对于一些收敛速度比较慢的随机变量序列，可能只存在几乎处处收敛或者只存在依测度收敛。

总的来说，在概率论中，几乎处处收敛和依测度收敛都是非常重要的概念，它们的性质和应用都是十分广泛的。

对于随机变量序列的研究和应用，需要综合考虑这两种收敛方式的特点和优缺点，才能做出正确的判断和应用。

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依概率收敛大数定律中心极限定理依概率收敛、大数定律和中心极限定理是概率论中重要的三个定理，它们在统计学、经济学、物理学等领域有着广泛的应用。

本文将分别介绍这三个定理的定义、原理和应用。

一、依概率收敛1.1 定义依概率收敛是指，对于一组随机变量序列X1,X2,...,Xn,...，如果对于任意给定的正数ε>0，都有：lim P(|Xn-X|≥ε)=0(n→∞)其中，X为常数，则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X。

1.2 原理依概率收敛是弱收敛的一种形式。

它表示当样本容量趋近于无限大时，样本均值与总体均值之间的差距会越来越小，并最终趋于零。

1.3 应用依概率收敛在经济学和金融学中有着广泛的应用。

例如，在股票市场上，当投资者持有股票时，他们通常希望股票价格能够稳定增长。

而依概率收敛则可以帮助投资者预测股票价格的未来趋势，从而制定出更为科学合理的投资策略。

二、大数定律2.1 定义大数定律是指，对于一组独立同分布的随机变量序列X1,X2,...,Xn,...，如果E(Xi)=μ，则对于任意给定的正数ε>0，都有：lim P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≥ε)=0(n→∞)其中，μ为总体均值，则称随机变量序列{Xn}满足大数定律。

2.2 原理大数定律是概率论中最基本也是最重要的一条定理。

它表明当样本容量越来越大时，样本均值会越来越接近总体均值。

换句话说，当样本容量充分大时，样本均值就可以代表总体均值。

2.3 应用大数定律在统计学中有着广泛的应用。

例如，在进行人口普查或调查时，如果样本容量太小，则无法准确地反映总体情况。

而通过应用大数定律可以帮助我们确定一个合适的样本容量范围，并保证调查结果的准确性和可靠性。

三、中心极限定理3.1 定义中心极限定理是指，对于一组独立同分布的随机变量序列X1,X2,...,Xn,...，如果E(Xi)=μ，Var(Xi)=σ²，则随机变量序列：Zn=(X1+X2+...+Xn-μn)/σ√n近似服从标准正态分布，则称随机变量序列{Xn}满足中心极限定理。

论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。

概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。

主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。

给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。

本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。

关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。

AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is asequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship. This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows: 1. Convergence of random variables the concept of theory; 2. the convergence of several random variables between; From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： 41 几种收敛性定义 42 依概率收敛与依分布收敛的关系 53 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 114 依概率收敛与r阶收敛的关系 135 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 17总结 19四种收敛性 19四种收敛蕴涵关系 19致谢 21参考文献 22引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

概率论控制收敛定理概率论控制收敛定理是概率论中的一个重要定理，它描述了随机变量序列的收敛性质。

在实际问题中，我们经常需要研究随机变量的极限行为，而概率论控制收敛定理为我们提供了一种判断随机变量序列是否收敛的方法。

概率论控制收敛定理的核心思想是通过控制随机变量序列的矩或特征函数来判断其收敛性。

其中，矩是随机变量的一个重要特征，它能够刻画随机变量的分布情况。

特征函数则是随机变量的另一种特征描述方式，它是随机变量的分布函数的傅里叶变换。

概率论控制收敛定理主要包括三种形式：切比雪夫型、布瓦杰-拉普拉斯型和林德伯格型。

切比雪夫型定理是最基本的收敛定理，它利用切比雪夫不等式给出了一个上界，通过控制该上界可以判断随机变量序列的收敛性。

布瓦杰-拉普拉斯型定理是一种强收敛定理，它给出了一个直接的收敛判别条件，不需要额外的条件限制。

而林德伯格型定理则是在一些特殊情况下的收敛定理，它给出了一种弱收敛的判别方法。

概率论控制收敛定理在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在大数定律中，我们需要判断随机变量序列的均值是否收敛于某个常数，这时可以利用概率论控制收敛定理来判断。

在中心极限定理中，我们需要判断随机变量序列的标准化和是否收敛于标准正态分布，也可以借助概率论控制收敛定理来进行判别。

此外，在统计推断中，我们还可以利用概率论控制收敛定理来研究参数估计的收敛性。

概率论控制收敛定理是概率论中的一个重要工具，它为我们研究随机变量序列的收敛性提供了一种有效的方法。

通过控制随机变量序列的矩或特征函数，我们可以判断其是否收敛，并在实际问题中得到广泛应用。

概率论控制收敛定理的研究不仅对于理论研究有着重要的意义，也对于实际应用有着重要的指导作用。

概率论中几种收敛及其联系 西北师范大学数学与应用数学专业 甘肃兰州 730070摘要：概率极限理论是概率论的重要组成部分,内容十分丰富,本文仅介绍依概率收敛,平均收敛,依分布收敛,a.s.收敛，完全性收敛以及事件序列的无穷次发生之间的联系.关键词：示性函数 概率 随机变量 收敛 分布函数Abstract : The probability limit theory is an important part of the probability theory, is rich in content, this article describes only the convergence in probability, the averageconvergence, converge in distribution, as convergence, complete convergence, as well as the infinite sequence of events occurred betweenKey words : indicator function probability random variable convergence distribution function首先，为了研究这几种收敛性，我们需要估计概率。

所以首先需要建立必要的概率不等式。

我们以I(A)表示事件A 的示性函数，即有⎩⎨⎧∉∈=.,0;,1)(A A A I ωω那么，显然当B A ⊂时，有).()(B I A I ≤，并且有).()(A EI A P =定理 1 （Chebyshev 不等式）设)(x g 是定义在 [)∞,0 上的非降的非负值函数，如果对随机变量η，有∞<)(ηEg ，那么对任何使得0)(>a g 的0>a ，我们都有.)()()(a g Eg a P ηη≤≥证明：首先，由)(x g 的非降性知 ()()()().a g g a ≥⊂≥ηη 因此()()()()()()()()().a g g I a g g a g g I a I ≥≤≥≤≥ηηηη其中)(A I 是事件A 的示性函数;其中的第二个不等号是由于在事件()()()a g g ≥η上面有()()1≥a g g η由上述不等式立得()()()()()()()()()()()().a g Eg a g g I a g g E a g g EI a EI a P ηηηηηη≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤≥≤≥=≥Chebyshev 不等式在以后的证明中有非常重要的作用,所以我们在这里先将其提出. 下面让我们先从较简单的依概率收敛谈起.定义 1 已知随机变量序列{n ξ,N n ∈}与随机变量ξ.如果对0>∀ε，都有.0)|(|lim =≥-∞→εξξn n P那么我们就称随机变量序列{N n n ∈,ξ}依概率收敛到随机变量ξ，记为ξξ−→−Pn其实,依概率收敛的本质是n ξ对ξ的绝对偏差不小于任一给定量的可能性将随着n 增大而减小.或者说,绝对偏差小于任一给定量的可能性将随着增大而接近1,即上式等价于1)(lim =<-∞→εξξn n P .特别当ξ为退化分布时,即()1==c P ξ,则称序列{}n ξ依概率收敛于c ,即c Pn −→−ξ.下面, 我们来引入随机变量序列的另外一种收敛:平均收敛.定义 2 如果{}0;,>n n ξξ是r L 中的随机变量, 其中,0>r {}∞<=rr E L ξξ,并且0→-ξξn E , ()∞→n .则称随机变量序列{}N n n ∈,ξ依r 阶平均收敛到随机变量,ξ记作ξξ−→−rLn 当1=r 时简称为依平均收敛，并记为.ξξ−→−Ln在依概率收敛和平均收敛之间存在如下关系:定理 2 r 阶平均收敛蕴含依概率收敛. 证明:因为0lim =-∞→rn n E ξξ,故对,,0N ∃>∀ε当N n >时,有εξξrrn a E <- .又由Chebyshev 不等式知对任何0>a ，有()rrn n aE a P ξξξξ-≤≥-，故()εξξ<≥-a P n ，因此()0lim =≥-∞→a P n n ξξ.但是,反之不真.反例如下:例1 设概率空间为区间上的几何型概率空间,即有 ()1,0=Ω , () 1.0B F = , L P =. 令()0=ωξ, ()1,0∈∀ω, 而易知,对任何0>ε,当∞→n 时,都有 ()()020→=>≤>-nP P n n ξεξξ,所以ξξ−→−Pn ;但是1≡=-n n E E ξξξ, 所以n ξ不依平均收敛到ξ.在概率极限理论中,研究随机变量序列收敛性的同时当然也要研究相应的分布函数序列的收敛性,下面就让我们来谈一谈依分布收敛.定义3 设{}N n x F n ∈),(是一列定义在R 上的有界非降的左连续函数，如果存在一个定义在上的有界非降的左连续函数).(x F 使得),(),()(lim F C x x F x F n n ∈∀=∞→则称{})(x F n 弱收敛到)(x F 记为),()(x F x F n −→−ω并称)(x F 是{})(x F n 的弱极限。