2012-2013高数IB试卷A

2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是 ◆答案：1- ★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=-2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=， 故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 52a c b a c A A B c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为 ◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M ==所以 1.M ≤=≤当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值 为 ◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为 正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠= ,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==, 故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥-又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为 ◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

2012-13-1高等数学（A ）期末考试参考答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、()2,3--2、()0f x '-3、04、()()x x f e e f x ----5、8π 二、选择题 (本大题共5小题，每小题4分，共20分)1、C2、A3、C4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 1、解：原式=tan 2tan 00011sec 1lim lim lim sin cos sin x x xx x x x x e x e e x x x x x --→→→=--⋅=⋅-……………每步2分 2、解：令sin x t =，则cos dx tdt =， 原式2sin cos cos t tdt t=⎰………………………………………………………………………2分 21cos 211sin sin 2222t tdt dt t t c -⎡⎤===-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰………………………………………4分 [].1arcsin 212c x x x +--=…………………………………………………………6分 3、解：1(),P x x =sin (),x Q x x =于是所求通解为： 11sin dx dx x x x y e e dx C x -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰=⋅+⎰ln ln sin x x x e e dx C x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅+⎰1(cos ).x C x =-+……每步2分 四、解答下列各题(本大题共3小题，每小题7分，总计21分)1、解：当000x t y ===，，，()1(0)2t x t e x ''=+=　………………………………3分cos sin 0,(0)0y y e y t e t y y '''-+==…………………………………………6分 故，00x dy dx ==……………………………………………………………………7分 2、证明：()()()a TT a T a aT f x dx f x dx f x dx ++=+⎰⎰⎰………………………………………2分 00()()()a Ta a T x t T f x dx f t T dt f t dt +=+=+=⎰⎰⎰对后者，令，=⎰f x dx a ()0…………5分 所以，f x dx f x dx f x dx a a T a T a ()()()+⎰⎰⎰=+0=⎰f x dx T()0。

2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。

设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。

由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。

2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。

若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。

考试类别[学生填写]（□正考 □补考 □重修 □补修 □缓考 □其它）2012-2013学年第二学期《高等数学》期末考试试卷A 本试卷共六大题， 100分试卷号：20130619一、填空题（每题3分，共15分）1.积分⎰-=⎪⎭⎫⎝⎛++11211sin dx x x .2. 设函数22xy y x z +=，则=)1,1(dz .3. 函数2294y x z +=在点(2,1)的梯度为 .4. 设函数()x f 是以π2为周期的周期函数，它在[)ππ，-上的表达式为()⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x x f 000， 则，在π=x 处，其傅里叶级数收敛于 . 5. 函数)ln(y x z -=的定义域为 .二、选择题（每题3分，共15分）1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数()y x f ,在该点处存在偏导数的（ ）． A ．充分条件； B ．必要条件；C ．充分必要条件；D ．既不是必要，也不是充分条件．2. 下列级数中，属于条件收敛的是（ ）．A ．()()∑∞=+-111n nnn ； B ．()∑∞=-1sin 1n nn nn π；C ．()∑∞=-121n n n ； D ．()∑∞=-11n n n．3. 由曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积为（ ）A 2B 1 C31 D 32 4.累次积分210(,)x x dx f x y dy ⎰⎰可化为（ ）A210(,)x x d y f x y d x ⎰⎰ B10(,)ydy x y dx ⎰C210(,)y ydy f x y dx⎰⎰ D1(,)yf x y dx ⎰5. 设曲线x y L =:，从点A （0,0）到点B （1,1），则积分22()Ly x ds -=⎰（ ）A.31 B. 0 C. 1 D. 32三、计算题（共6小题，每题8分，）1.求极限()⎰→x x dt mt x0230sin 1lim .线订装郑州轻工业学院 — 学年 第 学期 试卷专业年级及班级 姓名 学号2.计算定积分：I=x xxd ln 31e1⎰-.3. 求幂级数∑∞=-1)1(n nn x n 的收敛域.4.计算积分：dy x y e dx y y e x Lx )2sin ()2cos (+-+⎰曲线()0,11:22≥=+-y y x L ，从点A （2,0）到点B （0,0）.5.计算二重积分：I=⎰⎰+Dy x y x d d 22 ，其中D 是由曲线122=+y x 所围成的闭区域.（三本各专业做该题）5*.计算三重积分⎰⎰⎰Ω+v y x d 22，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面3,0==z z 所围的闭区域。

某某科学高中2012-2013学年第一学期期末考试试题考试时长：90分钟 卷面总分：100分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效．选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净．解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出答题框．相关公式：1213V h S S =+台体（ 一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1. 过两点(4,)A y ，(2,3)B -的直线的倾斜角是45︒，则y 等于( ).(A)1-（B ）5-(C)1(D)52. a ，b 为异面直线，且a α⊂，b β⊂，若l αβ=，则直线l 必定( ).(A)与a ，b 都相交（B ）与a ，b 都不相交(C)至少与a ，b 之一相交(D)至多与a ，b 之一相交3. 函数()ln 26f x x x =+-的零点所在的区间为( ).(A) (1,2)（B ）(2,3)(C) (3,4)(D) (4,5)4. 在△ABC 中，AB=2，BC=3，∠ABC=120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( ).(A) 6π (B)5π (C) 4π (D) 3π 5. 过两点(1,1)-和(3,9)的直线在x 轴上的截距为 ( ). (A)32-（B ）23-(C)25(D)2 6. 直线l 垂直于梯形ABCD 的两腰AB 和CD ，直线m 垂直于AD 和BC ，则l 与m 的位置关系是( )(A)相交（B ）平行(C)异面(D)不确定7. 过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程为( ).(A)250x y +-= (B)240x y +-=(C)370x y +-= (D)350x y +-=8. 如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点，若BC 1∥平面AB 1D 1，则1111A D D C 等于( ).(A)12（B ）1(C)2(D)3二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9. 已知直线1l 过点P(2,1)且与直线2:1l y x =+垂直，则1l 的点斜式方程为．10. 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为_____________．11. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,则用个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体.12. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面△ABC 是等边三角形，且3，AA 1=32,则二面角A 1-BC-A 等于．13. 已知A(5,-2)，B(-1,2)，C(a,0)，且|AB|=2|BC|，则实数a=．14. 某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个分裂成4096个需经过小时.三、解答题(4大题，共44分)15. （本题10分）已知直线30x y m +-=和2210x y m -+-=的交点M 在第四象限，某某数m 的取值X 围.16.（本题10分）某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h.对于一个平均每月用电量为200 kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少?17. （本题12分）如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证:(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.18. （本题12分）（1）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点.求证:AE⊥PD.(2)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4.求证:平面BDE⊥平面BEC.某某科学高中2012-2013学年第一学期期末考试试题答案年级：高一科目：数学（国际体系）考试时长：90分钟卷面总分：100分一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１A ， 2C ， 3B ， 4D ， 5A ， 6D， 7A， 8B.二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．y-1=-(x-2)；10． 3:1:2；11．3 ；12．45°；13． 2或-4；14．3．三、解答题(4大题，共44分)15. (本题10分)已知直线x+y-3m=0和2x-y+2m-1=0的交点M在第四象限,某某数m的取值X围.分析:解方程组得交点坐标,再根据点M在第四象限列出不等式组,解得m的取值X围.解:由30,2210,x y mx y m+-=⎧⎨-+-=⎩..................................2分得1,381.3mxmy+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩. ..................................5分∴交点M的坐标为181(,)33m m+-.∵交点M在第四象限,∴10,3810,3mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩..................................7分解得118m-<<. ...................................9分∴m的取值X围是1(1,)8-. ..................................10分16.（本题10分）某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后,峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h,谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h.对于一个平均每月用电量为200 kW·h的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的10%,则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少?解:原来电费y1=0.52×200=104(元). ..................................2分设峰时用电量为x kW.h,电费为y元,谷时段用电量为(200-x) kW.h. . (4)分则y=0.55x+0.35(200-x)≤(1-10%)y1, .............................7分即0.55x+70-0.35x≤93.6,则0.2x≤23.6,∴x≤118, ..................................9分即这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118 kW·h. ................10分17.（本题12分）如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证:(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明:(1)如图，取B1D1的中点O，连接GO，OB， ............................1分易证OG∥B1C1，且OG=12B1C1， ............................2分BE∥B1C1，且BE=12B1C1. ............................3分∴OG∥BE且OG=BE， ............................4分∴四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE. ............................5分∵OB⊂平面BDD1B1，GE⊄平面BDD1B1，∴GE∥平面BB1D1D. ............................6分(2)由正方体的性质易知B1D1∥BD，且易证BF∥D1H（取DD1中点P，连接AP，FP，由于FP//AB，且FP=AB，所以四边ABFP为平行四边形，所以AP//FB，又HD1//AP，故BF∥D1H）. .........................9分∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF. .........................10分∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF. .........................11分又∵B1D1∩HD1=D1，∴平面BDF∥平面B1D1H. ..........................12分5.（本题12分）(1)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点.求证:AE⊥PD.分析:转化为证明AE⊥平面PAD，进而转化为证明AE⊥AD，AE⊥PA.证明:∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形.∵E为BC的中点，∴AE⊥BC. .........................2分又BC∥AD，∴AE⊥AD. .........................3分∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE. .........................4分又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD. .........................5分又PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD. .........................6分(2)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4.求证:平面BDE⊥平面BEC.分析:转化为证明线面垂直，即证明平面BEC内的直线BC⊥平面BDE.证明:∵四边形ADEF为正方形，∴ED⊥AD.又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD∴ED⊥BC. .........................8分在直角梯形ABCD中，AB=AD=2,CD=4，可得BC=2.在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，∴BC⊥BD. ........................10分又BD∩ED=D，∴BC⊥平面BDE. ........................11分又∵BC⊂平面BEC，∴平面BDE⊥平面BEC. ........................12分。

2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

2012-2013学年第一学期期末试卷-A 卷高等数学1B课程号： 11020014B 课序号： 01—18 开课院系： 数学与数量经济学院一、单项选择题（本题10分，每小题2分，请将正确答案的字母填在括号里）1．设⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，⎩⎨⎧≤>-=0,10,1)(x x x g ，则=+)()(x g x f （ ）．（A ） 0 (B) 1 (C) 2 (D) ⎩⎨⎧=≠0,20,0x x2．点1=x 是函数11arctan)(-=x x f 的（ ）． （A ）连续点 （B ）跳跃间断点 （C ）可去间断点 （D ）无穷间断点3. 已知函数)(x f 在a x =点可导，则=--→a x x af a xf ax )()(lim（ ）.（A ）)(a f ' (B) )(a f a ' （C ）)()(a f a f a -' （D ）)()(a f a f a +'-4. 曲线32352353x x y -=的单调递减且是凹的区间为（ ）．（A ）)0,(-∞ (B) )1,0( (C) )1,(-∞ (D) ),1(∞+ 5．若点()00,y x 是曲线)(x f y =的一个拐点，则下列说法中，正确的是（ ）． (A)0)(0='x f (B) 0)(0=''x f(C))(x f 在0x 的左右两侧凹凸性相反 (D) )(x f 在0x 的左右两侧单调性相反二、填空题（本题10分，每小题2分，请将正确答案写在横线上）1．函数xx f ln 1)(=的连续区间为 . 2.若数列{}n y 满足不等式：122+<<+n n y nn n n ，则=∞→n n y lim .3．设xx y =，则='y ．4．曲线x x y 23-=在点1=x 处的切线方程为 ．5．微分()=x d 2arctanx d .三、计算题（本题21分，每小题7分，请写出主要计算过程）1．求极限()()xx x x exx arcsin 111lim220⋅-++⋅-→2．求极限 303sin sin 3lim xxx x -→３.求极限xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1cos 2sin lim2012-2013学年第一学期期末试卷-A 卷四、计算题（本题35分，每小题7分，请写出主要计算过程）1.设x x y arctan )1(2+=，求y '及y ''2. 已知函数)(x f 二阶可导，且2)0()0()0(=''='=f f f ，1)2()2()2(=''='=f f f .设[])(x f f y =，求x dydx=及022=x dx y d3. 已知由方程y e y x =++)4tan(π确定了y 是x 的函数，求0==y x dxdy4．求不定积分dx x x ⎰-354)2(5．求不定积分dx x )1ln(⎰+五、（本题8分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，求)(x f '的表达式，并讨论)(x f '在点0=x 处的连续性和可导性．2012-2013学年第一学期期末试卷-A 卷六、（本题8分）某厂商决定对其产品做广告宣传，若广告投入x （单位：万元）与收益R （单位：万元）的关系为xe x R 21520)(--=．求（1）在广告投入水平为10=x 时的边际收益；（2）在广告投入水平为10=x 时，若再增加%1，收益会增加或减少百分之几？（3）如果你是决策者，你会投入多少广告费？ （附： 72≈e ，4.330ln ≈，计算结果精确到0.1 ）七、证明题（本题8分）1．证明：当1≠x 时，ex e x>．2．设函数)(x f 在]2,0[上连续,在)2,0(内可导, 且0)2()1(,0)0(=+=f f f ．试证:至少存在一点)2,0(∈ξ,使得)()(ξξf f ='．。

2013 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）一.选择题：本大题共 10 小题。

每小题 5 分，共 50 分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1)2（ 1）已知集合 M = { x | ( < 4, x ∈ R } ， N =｛ 1, 0, 1, 2, 3｝，则 M ∩N= x（ A ） {0, 1, 2 ｝ （ B ） { 1, 0, 1, 2} （ C ）{ 1, 0, 2, 3} （D ） {0, 1, 2, 3 } 答案： A1)2【解】将 N 中的元素代入不等式：(x <4 进行检验即可 . （ 2）设复数 z 满足 (1i )z =2 i ，则 z = （ A ） 1+ i （ B ） 1 i （ C ） 1+ i （D ）1i 答案： A【解法一】将原式化为 z = 2i i ,再分母实数化即可 . 【解法二】将各选项一一检验即可.1 （ 3）等比数列 { a n } 的的前 n 项和为 Sn ，已知 S 3 = a2 +10a 1 ， a 5 =9 ，则 a 1 =1 1 1 1（ A ） 3 错误！未找到引用源。

（ B ） 3 （C ）9 （ D ） 9 答案： C【解】由 S 3 = a 2+10a 1? a 3 = 9a 1 ? 2 = 9 ? a 1 a5 = 1 q = 4 9q （ 4）已知 m, n 为异面直线， m ⊥平面 ， n ⊥平面 . 直线 l 满足 l ⊥ m ，l ⊥n ， l / ， l / 则：（ A ） ∥ 且 l∥ （ B ） ⊥ 且 l ⊥（ C ） 与 相交，且交线垂直于l （ D ） 与 相交，且交线平行于 l 答案： D【解】显然 与 相交，不然 ∥ 时 ? m ∥ n 与 m, n 为异面矛盾 . 与相交时，易知交线平行于 l .（ 5）已知 (1+ax)(1+ x)5 的展开式中 x 2的系数为 5，则 a = （ A ） 4 （ B ） 3 （ C ） 2 （ D ） 1答案： D 【解】 x 2 的系数为 5 ?2 1 ? a = 1 C 5 + aC 5 = 5 （ 6）执行右面的程序框图，如果输入的 N =S =（ A ） 1+1 + 1 + 1 错误！未找23 + , 10 （ B ） 1+1 1 1 2! + 3! + , +10! （ C ） 1+1 + 1 + 1 错误！未找23+ ,11开始输入 Nk=1, S = 0,T =1T T= kS= S+Tk= k +1否k > N是输出 S结束（ D ） 1+1+ 1 + 12! 3! + ,11!答案： B【解】变量 T, S, k 的赋值关系分别是：T n Tn +1 = kn, S n +1 = S n + T n +1, k n +1 = k n + 1.( k 0 =1, T 0 =1, S 0 = 0)第 1 页 共 19 页? k n = n + 1, T n = T n Tn 1T1 1× 1 ×, × 1 = 1 ,×× , × × T 0 = Tn 1 Tn 2 T0 kn 1 kn2k0 n!111S n =(S n Sn 1) + ( Sn 1 Sn 2) + , + (S1 S0 ) + S0 = Tn+ Tn 1 + , + T0= 1+ 2! + 3! + , + n! 满足 k n > N 的最小值为 k 10 = 11，此时输出的 S 为 S 10（ 7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是 (1, 0, 1)，(1, 1, 0），(0, 1, 1），(0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)答案： A【解】 （ 8）设 a = log 36， b = log 5 10， c = log 714，则（ A ） c > b > a （ B ） b > c > a （ C ） a > c > b （D ） a >b > c答案： D【解】 a = 1 + log 2， b = 1 + log 5 2， c = 1 +log7 2 3log 23 < log 25 < log 27 ? log 32 > log 52 > log72? a > b > cx ≥1（ 9）已知 a ， x , y 满足约束条件 x +y ≤3 , 若 z =2x + y 的最小值为 1，则 a = > 0 y ≥ a(x 3)（ A ） 11 y A(1, 2) 4 错误！未找到引用源。