22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质知能演练提升能力提升1.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位长度,那么所得新抛物线的解析式是( )A.y=(x-1)2+2B.y=(x+1)2+2C.y=x2+1D.y=x2+32.已知抛物线y=-x2+2,当1≤x≤5时,y的最大值是( )A.2B.C.D.3.若二次函数y=ax2+c当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为( )A.a+cB.a-cC.-cD.c4.如图,已知抛物线y1=-2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1,y2.若y1≠y2,取y1,y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如:当x=1时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0.下列判断:①当x>0时,y1>y2;②当x<0时,x值越大,M值越小;③使得M大于2的x值不存在;④使得M=1的x值是-.其中正确的是( )A.①②B.①④C.②③D.③④5.廊桥是我国古老的文化遗产.下面是某座抛物线形的廊桥示意图,已知抛物线的函数表达式为y=-x2+10,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面AB高为8 m的点E,F处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离EF是 m.(精确到1 m)6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长为.7.若抛物线y=2+m-5的顶点在x轴下方,则m= .8.已知函数y1=-x2,y2=-x2+3和y3=-x2-1,y4=-x2+6.(1)分别画出它们的图象;(2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;(3)试说明函数y2=-x2+3,y3=-x2-1,y4=-x2+6的图象分别由抛物线y1=-x2作怎样的平移才能得到?9.已知直线y=2x与抛物线y=ax2+3相交于点(2,b).(1)求a,b的值;(2)若直线y=2x上纵坐标为2的点为A,抛物线y=ax2+3的顶点为B,求S△AOB.★10.如图,二次函数y=-x2+c的图象经过点D,与x轴交于A,B两点.(1)求c的值;(2)设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点,直线AC将四边形ABCD的面积二等分,试证明线段BD被直线AC平分,并求此时直线AC的函数解析式.创新应用★11.明珠大剧场坐落在聊城东昌湖西岸,其上部为能够旋转的拱形钢结构,并且具有开启、闭合功能,如图①.舞台顶部横剖面拱形可近似看作抛物线的一部分,其中舞台高度为1.15 m,台口高度为13.5 m,台口宽度为29 m,如图②.以ED所在直线为x轴,过拱顶点A且垂直于ED的直线为y轴,建立平面直角坐标系.①②(1)求拱形抛物线的函数解析式;(2)舞台大幕悬挂在长度为20 m的横梁MN上,其下沿恰与舞台面接触,求大幕的高度(精确到0.01 m).答案：能力提升1.C2.C 因为a=-<0,所以抛物线的开口向下,当x>0时,y随x的增大而减小,因为1≤x≤5,所以当x=1时,y有最大值,为.故选C.3.D 因为抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴,再由抛物线的对称性知x1和x2互为相反数,所以x1+x2=0,把x=0代入y=ax2+c得y=c.故选D.4.D 观察题中图象可知当x>0时,y1<y2,故①不正确;②当x<0时,x值越大,M值越大,故②不正确;由图象可知M的最大值为2,故使得M大于2的x值不存在,故③正确;当M=1时,2x+2=1(-1≤x≤0)或-2x2+2=1(x>0),解得x=-或x=,故④正确.5.18 要求EF的长,只需求出点E或点F的横坐标即可.由题意知点E的纵坐标为8,所以得8=-x2+10,解得x=±4,所以点E(-4,8),点F(4,8),EF=8≈18(m).6.6 在函数y=ax2+3中,当x=0时,y=3,故点A坐标为(0,3).把y=3代入y=x2,解得x=±3,故点B坐标为(-3,3),点C坐标为(3,3),BC=6.7.-1 依题意可知m2-4m-3=2,且m-5<0,故m=-1.8.解:(1)函数图象如下图,从上到下依次为函数y4=-x2+6,y2=-x2+3,y1=-x2,y3=-x2-1的图象.(2)如下表: 抛物线开口 方向对称轴 顶点坐标y 1=-x 2向下x=0 (0,0)y 2=-x 2+3 向下x=0 (0,3)y 3=-x 2-1向下 x=0 (0,-1)y 4=-x 2+6 向下x=0 (0,6)(3)分别由抛物线y 1=-x 2向上平移3个单位长度、向下平移1个单位长度、向上平移6个单位长度得到.9.解:(1)因为点(2,b)在直线y=2x 上,所以b=4.又因为(2,b)即(2,4)在抛物线y=ax2+3上,所以4a+3=4.所以a=.(2)在y=2x中,令y=2,则x=1,所以A(1,2).又因为抛物线y=x2+3的顶点B为(0,3),所以S△AOB=OB·|x A|=×3×1=.10.分析:(1)将点D的坐标代入二次函数解析式即可求出c的值;(2)要证明线段BD被直线AC平分,从“直线AC将四边形ABCD的面积二等分”来寻求解题思路,不难发现S△=S△ADC.通过面积法可得公共边AC上的两条高相等,再通过全等可得线段BD被直线ABCAC平分.解:(1)因为抛物线经过点D,所以-×(-)2+c=.所以c=6.(2)如图,过点D,B分别作直线AC的垂线,垂足分别为E,F,设AC与BD交于点M,因为AC将四边形ABCD的面积二等分,即S△ABC=S△ADC,所以DE=BF.又因为∠DME=∠BMF,∠DEM=∠BFM,所以△DEM≌△BFM.所以DM=BM,即AC平分BD.因为c=6,所以抛物线的解析式为y=-x2+6.所以A(-2,0),B(2,0).因为M是BD的中点,所以M.设直线AC的解析式为y=kx+b,由直线AC经过点A,M,可得解得所以直线AC的解析式为y=x+.创新应用11.解:(1)由题设可知,OA=13.5+1.15=14.65(m),OD=(m),则A(0,14.65),C.设拱形抛物线的解析式为y=ax2+c,则解得a=-,c=14.65.故所求函数的解析式为y=-x2+14.65.(2)由MN=20 m,设点N的坐标为(10,y0),代入关系式,得y0=-×102+14.65≈8.229.故y0-1.15=8.229-1.15=7.079≈7.08,即大幕的高度约为7.08 m.。
人教版九年级数学上册第22章22.1.3.1 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质 同步练习题一、选择题1．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是(B)2．下列关于抛物线y ＝－x 2＋2的说法正确的是(D) A ．开口向上 B ．顶点坐标为(－1，2)C ．对称轴是直线x ＝1D ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大3．与抛物线y ＝－45x 2－1的顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是(B)A ．y ＝－45x 2－1B ．y ＝45x 2－1C ．y ＝－45x 2＋1D ．y ＝45x 2＋14．函数y ＝13x 2＋1与y ＝13x 2的图象的不同之处是(C)A ．对称轴B ．开口方向C ．顶点D ．形状5．一次函数y ＝ax ＋b(a ≠0，b ≠0)的图象如图所示，则二次函数y ＝bx 2＋a 的大致图象是(C)6．已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A(－3，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是(A)A ．a>0B ．a<0C ．a ≥0D ．a ≤07．已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等．当x取x1＋x2时，函数值为(D)A．a＋c B．a－c C．－c D．c二、填空题8.抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是上升(填“上升”或“下降”)的．9．二次函数y＝3x2－3的图象开口向上，顶点坐标为(0，－3)，对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小．因为a＝3>0，所以y有最小值，当x＝0时，y的最小值是－3．10．抛物线y＝ax2－1(a＞0)上有两点A(1，y1)，B(3，y2)，则y1＜y2.(填“＞”“＜”或“＝”)11．如果将抛物线y＝－3x2向上平移2个单位长度，那么得到的新抛物线的解析式为y＝－3x2＋2．12．对于二次函数y＝－2x2＋4，当－2＜x≤1时，y的取值范围是－4＜y≤4．13．已知函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝3，k＝2．三、解答题14．在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝－2x2，y＝－2x2＋3的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝－2x2＋3可由抛物线y＝－2x2向上平移3个单位长度得到．解：如图所示．抛物线y＝－2x2开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)．抛物线y＝－2x2＋3开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，3)．15．能否通过适当地上下平移二次函数y ＝13x 2的图象，使得到的新的函数图象过点(3，－3)？若能，请说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能．把函数y ＝13x 2的图象沿y 轴向下平移6个单位长度，得到新的函数y ＝13x 2－6的图象过点(3，－3)．16．如图是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A ，B ，C ，D 分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB 是半圆的直径，抛物线的解析式为y ＝32x 2－32，求CD 的长．解：令y ＝32x 2－32＝0，解得x ＝1或－1.∴AB ＝2. ∴CO ＝12AB ＝1.令x ＝0，解得y ＝－32.即OD ＝32.∴CD ＝CO ＋OD ＝1＋32＝52.17.已知抛物线y ＝ax 2＋k 向下平移2个单位长度后，所得抛物线为y ＝－3x 2＋2. (1)试求a ，k 的值；(2)分别指出两条抛物线的开口方向、对称轴和顶点．解：(1)因为抛物线y ＝ax 2＋k 向下平移2个单位长度后，所得抛物线为y ＝ax 2＋k －2.所以根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k －2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k ＝4.(2)抛物线y ＝－3x 2＋2的开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，2)； 抛物线y ＝－3x 2＋4的开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，4)．18．已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等．如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一个动点，求△PMF 周长的最小值．解：过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线y ＝14x 2＋1于点P ，此时△PMF 的周长最小．∵F(0，2)，M(3，3)，∴ME ＝3，FM ＝（3－0）2＋（3－2）2＝2. 又由题意可知PF ＝PE ，∴当ME ⊥x 轴于点P 时，PF ＋PM 最短为PE ＋PM ＝ME. ∴△PMF 周长的最小值为ME ＋FM ＝3＋2＝5.。
人教版九年级数学上册22.1.3《二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.3节《二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2》，主要介绍了二次函数的两种标准形式：y=ax2+k和y=a(x-h)2。
这一节内容是在学习了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步深化学生对二次函数图像和性质的理解。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数的两种标准形式的适用范围和转换关系，能够根据实际问题选择合适的二次函数形式，并能够熟练运用二次函数的性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的一般形式，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数的两种标准形式的理解和应用还不够深入。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，从而加深对二次函数两种标准形式的理解，提高运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的两种标准形式，理解二次函数的图像和性质，能够根据实际问题选择合适的二次函数形式。
2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：掌握二次函数的两种标准形式，理解二次函数的图像和性质。
2.教学难点：如何引导学生通过观察、思考、探究，深入理解二次函数两种标准形式的适用范围和转换关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动参与课堂，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数学软件等辅助教学，提高课堂教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际问题，引导学生回顾二次函数的一般形式，激发学生学习二次函数两种标准形式的兴趣。
2.讲解新课：介绍二次函数的两种标准形式，解释二次函数的图像和性质，引导学生通过观察、思考、探究，深入理解二次函数两种标准形式的适用范围和转换关系。
22.1.3二次函数k ax y +=2的图象和性质学习目标：1．知道二次函数k ax y +=2与2ax y =的联系． 2.掌握二次函数k ax y +=2的性质，并会应用；学习重点：会用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋b 的图象，理解二次函数y ＝ax 2＋b 的性质，理解函数y ＝ax 2＋b 与函数y ＝ax 2的相互关系。
学习难点：二次函数k ax y +=2的性质的应用 教学过程：（一）【创设情境，引入课题】1.直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。
2.由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗？ 猜想： 。
设计意图:通过回顾以前所学知识进行以下学习。
（二）【探究新知，练习巩固】1.在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =，12+=x y ，12-=x y 的图象并填表。
2．可以发现，把抛物线2x y =向______平移______个单位，就得到抛物线12+=x y ；把抛物线x2x y =向_______平移______个单位，就得到抛物线12-=x y .3． 抛物线2x y =，12+=x y ，12-=x y 的形状_____________．开口大小相同。
设计意图： 引导学生认真观察，积极思考。
（三）【合作探究，尝试求解】1. 抛物线22x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线22x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．2.抛物线232+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当x = 时，y 有最 值是 。
设计意图：巩固函数y=ax 2+k 的图像和函数y=ax 2的图像之间联系。
（四）【概括提炼，课堂小结】 抛物线k ax y +=2特点：1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 。
