北京市海淀区2012高三二模数 学（理科）2012.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若sin cos 0θθ<，则角θ是 （A ）第一或第二象限角 （B ）第二或第三象限角 （C ）第三或第四象限角 （D ）第二或第四象限角 （2）已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是 （A ）0x ∀∈R ，021x ≠ （B ）0x ∀∉R ，021x ≠ （C ）0x ∃∈R ，021x ≠（D ）0x ∃∉R ，021x ≠（3）直线11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为（A ）4-π （B ）4π （C ）2π（D ）34π（4）若整数,x y 满足1,1,3,2x y x y y ìïïï-?ïïï+?íïïïï£ïïî则2x y +的最大值是 （A ）1（B ）5（C ）2 （D ）3（5）已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +u u u r u u u u r的最小值是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D）（6）为了得到函数2log y =2log y x =的图象上所有的点的（A ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度（D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（A ）203（B ）43（C ）6 （D ）4（8）点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的周长有最小值4+；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________． （10）已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++L . 若数列123,,,,(111,)k a a a a k k ＃?Z L 是一个单调递增数列，则k 的最大值是 . （11）在ABC ∆中，若120A ??，5c =，ABC ∆的面积为，则a = .（12）如图，O e 的直径AB 与弦CD 交于点P ，7, 5, 15CP PD AP ===，则DCB Ð＝______.（13）某同学为研究函数()1)f x x =＃的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的图象的对称轴是 ；函数()4()9g x f x =-的零点的个数是 .俯视图主视图BEFAB C DP（14）曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹. 则曲线C 与y 轴交点的坐标是 ；又已知点(,1)B a （a 为常数），那么PB PA +的最小值()d a = . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知公差不为０的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1{}nS 的前n 项和公式. (16)（本小题满分14分）如图所示，PA ^平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30CBA??，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在»AB 上，且OM ∥AC ． （Ⅰ）求证：平面MOE ∥平面P AC ；（Ⅱ）求证：平面P AC ^平面PCB ；（Ⅲ）设二面角M BP C --的大小为θ，求cos θ的值．(17)（本小题满分13分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A ,B 两个项目可供选择： (1)投资A 项目一年后获得的利润X且X 1的数学期望E (X 1)=12；(2)投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p (0< p <1)和1-p . 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X (次)与X 2的关系如下表所示：（Ⅱ）求X 2的分布列；（Ⅲ）若E (X 1)< E (X 2)，则选择投资B 项目，求此时 p 的取值范围.(18)（本小题满分13分）ME BOCAP已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分14分）已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+； （Ⅲ）当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值.（本题可参考数据：99ln 20.7,ln 0.8,ln 0.5945≈≈≈）(20)（本小题满分13分）将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p +++?N L 的形式，其中*i a ÎN ，1,2,,i p =L ，且p a a a ≤≤≤Λ21，记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故5)4(=f ）.（Ⅰ）写出)5(),3(f f 的值，并说明理由；（Ⅱ）对任意正整数n ，比较)1(+n f 与)]2()([21++n f n f 的大小，并给出证明； （Ⅲ）当正整数6≥n 时，求证：134)(-≥n n f ．海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．05一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.最新整理二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）12（10）６（11（12）45°（13）12x=；2（14）(0,±；1.41,4, 1.41,2,1 1.a aa aa aìï??ïïï+-<?íïï--<<ïïïî或注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为0d¹.因为346S a=+，所以11323362da a d创+=++. ①……………………………………3分因为1413,,a a a成等比数列，所以2111(12)(3)a a d a d+=+. ②……………………………………5分由①，②可得：13,2a d==. ……………………………………6分所以21na n=+.……………………………………7分（Ⅱ）由21na n=+可知：2(321)22nn nS n n++?==+.……………………………………9分所以11111()(2)22nS n n n n==-++. ……………………………………11分所以123111111n nS S S S S-+++++L11111111111()2132435112n n n n=-+-+-++-+--++L21111135()212124(1)(2)n nn n n n+=+--=++++.所以数列1{}nS的前n项和为2354(1)(2)n nn n+++.最新整理……………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以 OE ∥PA . ……………………………………1分 因为 PA Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，所以 OE ∥平面P AC . ……………………………………2分因为 OM ∥AC ， 因为 AC Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，所以 OM ∥平面P AC . ……………………………………3分因为 OE Ì平面MOE ，OM Ì平面MOE ，OE OM O =I ，所以 平面MOE ∥平面P AC . ………………………………………5分（Ⅱ）证明：因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以 90ACB??，即BC AC ⊥.因为 PA ^平面ABC ，BC Ì平面ABC ， 所以PA BC ⊥. ……………………………………7分因为 AC Ì平面PAC ，PA Ì平面PAC ，PA AC A =I ，所以 BC ^平面PAC . 因为 BC Ì平面PBC ，所以 平面P AC ^平面PCB . ……………………………………9分（Ⅲ）解：如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 因为 30CBA??，2PA AB ==，所以2cos30CB =?1AC =.延长MO 交CB 于点D . 因为 OM ∥AC ，所以131, 1,2222MD CB MD CD CB ^=+===.最新整理所以 (1,0,2)P ，(0,0,0)C，B，3(,,0)22M . 所以 (1,0,2)CP =u u u r，CB =u u u r.设平面PCB 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.CP CBìï?ïíï?ïîu u u r u u u r m m所以(,,)(1,0,2)0,(,,)0,x y z x y z ì?ïïíï?ïî即20,0.x z ì+=ïïíï=ïî令1z =，则2,0x y =-=.所以 (2,0,1)=-m . ……………………………………12分 同理可求平面PMB 的一个法向量n ()=.……………………………………13分 所以 1cos ,5⋅==-⋅m n m n m n . 所以 1cos 5θ=. ………………………………………14分 (17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得：0.41,11120.41712.a b a b ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得：0.5,0.1a b ==. ……………………………………3分 （Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，()220.40(1)P X p p ==-.所以X 2的分布列为:（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()2224.12(1)11.76(1)20.40(1)E Xp p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦211.76p p =-++. ……………………………………11分因为E (X 1)< E (X 2)，所以21211.76p p <-++.最新整理所以0.40.6p <<.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是()0.4,0.6.……………………………………13分(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意知：1c =.根据椭圆的定义得：22a =，即a = ……………………………………3分 所以 2211b =-=.所以 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. ……………………………………4分 （Ⅱ）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率为0时，(A B .则7,0)(,0)16m m ?=-. 解得 54m =?. ……………………………………6分 当直线l的斜率不存在时，(1,(1,22A B -.由于557(1,(1,424216+?-?，所以54m ?. 下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.……………………………………8分显然 直线l 的斜率为0时，716QA QB ⋅=-u u u r u u u r .当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=. 显然0∆>.1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî……………………………………10分最新整理因为 111x ty =+，221x ty =+，所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+ 2121211(1)()416t y y t y y =+-++2221121(1)24216t t t t t =-+++++ 22222172(2)1616t t t --+=+=-+.综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r恒成立. ……………………………………13分 (19)（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(,)a +∞.2(1)'()1a x a xf x x x a x a-++=-+=--. ……………………………………1分令'()0f x =，0x =或+1x a =.当10a -<<时，+10a >，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)a +，单调递减区间是(,0)a 和(1,)a ++?.……………………………………3分当1a =-时，2'()01x f x x -=≤+. 所以，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+?. ……………………………………4分 当1a <-时，+10a <，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)a +，单调递减区间是(,1)a a +和(0,)+?.最新整理……………………………………5分（Ⅱ）证明：当12(ln21)0a -<<-<时，由（Ⅰ）知，()f x 的极小值为(0)f ，极大值为(1)f a +.因为(0)ln()0f a a =->，2211(1)(1)(1)(1)022f a a a a +=-+++=->，且()f x 在(1,)a ++?上是减函数，所以()f x 至多有一个零点. ……………………………………7分 又因为211(2)ln 2[2(ln 21)]022f a a a a a a +=--=---<， 所以 函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+.……………………………………9分（Ⅲ）解：因为412(ln 21)5-<-<-， 所以 对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=由(Ⅱ)可知：1[0,1)x a ∈+，20(1,]x a x ∈+，且21x ≥. ……………………………………10分因为 函数()f x 在[0,1)a +上是增函数，在(1,)a ++?上是减函数，所以 1()f x (0)f ≥，2()f x (1)f ≤. ……………………………………11分 所以 12()()(0)(1)f x f x f f -?.当45a =-时，1(0)(1)ln()12a f f a a -=--=491ln 542->0. 所以 12()()(0)(1)0f x f x f f -?>. ……………………………………13分所以 21()()f x f x -的最小值为491(0)(1)ln 542f f -=-. 所以 使得21()()f x f x m -≥恒成立的m 的最大值为491ln 542-.……………………………………14分(20)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以3)3(=f ．因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1， 所以7)5(=f ． ……………………………………3分 （Ⅱ）结论是)1(+n f )]2()([21++≤n f n f . 证明如下：由结论知，只需证).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f最新整理. 因为21≥+n ，把1+n 的一个表示法中11a =的1a 去掉，就可得到一个n 的表示法；反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个1n +的表示法，即1+n 的表示法中11a =的表示法种数等于n 的表示法种数，所以)()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数，)1()2(+-+n f n f 是2n +的表示法中11a ¹的表示法数．同样，把一个11a ¹的1+n 的表示法中的p a 加上1， 就可得到一个11a ¹的2n +的表示法，这样就构造了从11a ¹的1+n 的表示法到11a ¹的2+n 的表示法的一个对应.所以有).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f ……………………………………9分 （Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知：当正整数6m ³时，()(1)(1)(2)(6)(5)f m f m f m f m f f --?--吵-L . 又,7)5(,11)6(==f f 所以 ()(1)4f m f m --?. *对于*式，分别取m 为n ,,7,6Λ，将所得等式相加得)5(4)5()(-≥-n f n f .即134)(-≥n n f ． ……………………………………13分。
