19.2 一次函数第1课时

课题：19.2.2 一次函数（第1课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十九章第2节（第1课时）2.内容解析本节课内容是在学习了变量与函数、函数图象、正比例函数的定义、图象、性质等后，安排的内容.以寻找实际问题中变量的“关系式”入手，依据方程与正比例函数的定义，类比过渡到一次函数的定义，归纳出一次函数的三个特征：从指数看，自变量x指数为1；从外形来看，等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；从常数看，k、b为常数，且k≠0.体验类比思想，化归思想，并使这些思想在函数的图象、性质和应用中得到进一步的强化与深化.在知识类型上属于程序性知识，是后续学习后继续学习“函数与方程（组）与不等式、二次函数，反比例函数”等知识的基础；是学习物理、化学等其他学科知识的数学基础，是“函数思想”在实际问题中的重要体现.在“数与代数”的知识板块中具有承上启下的作用.基于上述分析，我将本节课的教学重点确定为：【教学重点】一次函数概念的形成.二、目标和目标解析1.目标（1）理解一次函数的概念；知道一次函数与正比例函数的关系.（2）经历一次函数概念的形成过程，体会函数思想、特殊到一般和类比思想.（3）积累建立一次函数模型和类比学习的经验；提升数学抽象和数学建模的核心素养.2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一次函数解析式右边是关于自变量的一次整式、常数k、b的要求，知道一次函数与正比例函数之间属于一般与特殊的关系.达成目标（2）的标志是：学生能类比正比例函数，以自主、合作的学习形式，通过观察实际例子中解析式的特征，归纳总结出一次函数的概念.达成目标（3）的标志是：学生能确定具体问题情境中的一次函数解析式并用函数模型解决相关的问题，积累建立一次函数模型的经验，提升数学抽象和数学建模的核心素养.三、教学问题诊断分析本节课是以类比的思想方法为主线，研究什么是一次函数. 通过前面的学习学生具备了方程、函数、正比例函数的定义、图象与性质的知识基础，具备了找等量关系、区分多项式次数、项数的能力基础，通过正比例函数的学习学生初步具备了如何研究一个具体函数（从定义到图象与性质）的方法基础.但学生对函数概念的理解，函数的类型理解还不够深入，类比、抽象与概括能力还有待于提高，所以学习过程中教师要细心了解学生的内心世界，关注每一个变化，努力调动他们的学习积极性，要善于发现他们在学习过程中的闪光点，及时给予鼓励性的评价和引导.因此，本节课的教学难点为：【教学难点】理解一次函数的概念.四、教学策略分析本课根据函数概念教学的特点，利用童话故事设置情景导入课题，让学生在情境中体验数学，激发兴趣；面对众多关系式，设计从书写形式上与正比例函数()=≠0有何异y kx k同，让学生通过类比感悟数学；面对多角度、多层次的变式应用，用辨析的方式来固化概念；绘制知识树构建知识体系，让学生在反思中养成养梳理知识的意识与能力.因此，我采用的教法是：引导启发，学导迁移；学法是：合作探究，抽象类比.五、教学过程设计（一）情境导学【播放视频】乌鸦喝水思考：假设故事中，瓶子为圆柱形，每个石子体积相同，瓶里原有水深5cm，放一粒石子水位上升0.3cm，那么放x 粒石子后，水瓶的水深y cm怎样表示呢？生：0.35=+y x师：y是x的函数吗？师：y是x的正比例函数吗？为什么？【设计意图】激发学习兴趣，体验函数概念的实际背景，感知数学源于实际生活.初步体会运用函数思想建立函数模型的过程与方法，在此过程中体会学习新知的必要性.师生通过观察、思考、讨论、形成课堂的合力.师：像上面两变量之间的函数关系就是我们今天要研究的一种新的函数.我们先给它一个名称叫：一次函数（板书课题），为了揭开一次函数的面纱，让我们先回顾一下正比例函数的学习过程.问题1：我们已经学习了正比例函数，你能总结一下正比例函数研究了哪些内容吗？问题2：类比正比例函数的学习方法，你能推测一下一次函数将要研究了哪些内容吗？问题3生：从课本上我们不难看出，正比例函数定义形成的历经了下面三步：【设计意图】通过类比正比例函数研究的内容、线索，推测出一次函数研究的内容、线索.让学生对本节有一个整体的认识，使学生学会函数研究的“基本思路与方法”，也便于学生在后续函数的研究中明确方向，增强学习的预见性与主动性.（二）活动研学活动一：感悟概念问题4：类比正比例函数概念的形成过程，你认为该如何来学习一次函数的概念呢？ 问题5:下列问题中，两变量间是函数关系吗？若是，请写出函数关系式.①有人发现，在20℃～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C 与温度t （℃）有关，即C •的值约是t 的7倍与35的差. 735(2025)=-≤≤C t t②一种计算成年人标准体重G （单位：kg ）的方法是，以厘米为单位量出身高值 h ，再减常数105，所得差是G 的值；105G h =-③某城市的市内电话的月收费额 y （单位：元）包括月租费22元和拨打电话 x min 的计时费（按0.1元/min 收取）；0.122y x =+④某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km 气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高x km 时，他们所在的位置的气温是y ℃，试写出y 与x 之间的关系式.65y x =-+活动二：形成概念0.35y x =+ 735(2025)=-≤≤C t t 105G h =- 0.122y x =+ 65y x =-+问题6: 观察以上出现的五个函数解析式，类比正比例函数 y =kx (k ≠0)的定义方式，你能写出一次函数的一般表达式吗？问题7:关注一次函数的一般表达式的特征，你能提出哪些问题？（学生小组讨论后，发言）（预设）生问1：从自变量的次数来看有何特征？生答1：自变量x 的次数都是1生问2：从解析式右边的书写形式与项数来看有何特征？生答2：解析式右边都是关于自变量x 的一次二项式生问3：等式右边的kx 与b 分别是什么项？生答3：kx 是一次项，k 是一次项系数，b 是常数项．生问4：y 是关于自变量x 的几次函数的概念？生答4：y 是关于自变量x 的一次函数．生问5：解析式中的字母k 、b 有什么限定吗？生答5：k 为常数，k ≠0，k 、b 为常数生问6：能类比正比例函数的概念，归纳出一次函数的概念吗？生答6：一般地，形如y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）的函数叫一次函数．（板书）【设计意图】通过五个问题得到五个函数，引导学生在分化和类化各式的特征中发现一类不同于正比例函数的函数，训练学生的数学建模与数学抽象思维能力，进一步引出研究一次函数的必要性，并为类比、抽象、概括出一次函数的定义作铺垫.让学生在思考、对比、分析、类比、迁移中，亲身经历一次函数的概念的构建过程.活动三：理解概念【PPT 展示并板书】【设计意图】概念的精致是为了促进学生对概念的进一步理解与记忆，也是对帮助学生达到思维能力上的又一步提升.问题8:对比y =kx +b （k ≠0）与y =kx （k ≠0）回答下列问题①一次函数y =kx +b （k ≠0）中的b 可以为零吗？当b =0时，y =kx +b （k ≠0）变成了什么函数？②一次函数与正比例函数之间有何关系？③请在(1)(2)两个区域内填上一次函数与正比例函数.【设计意图】引发学生的思维冲突，让学生对比两种函数概念，自主寻找得出一次函数与正比例函数的关系，在思考中理解正比例函数与一次函数的关系.（三）检测评学活动四：应用概念（1）我辨析问题9：下列函数中哪些是一次函数，哪些还是正比例函数？并说明理由.①0.51y x =-- ②32-=x y ③256y x =+ ④8y x =- ⑤y kx b =+ y 是x 的一次函数的有 ， y 是x 的正比例函数的有 .（只填序号）（2）我深化 问题10：若1(2)3k y k x -=-+是一次函数，求k 的值（学生演板，师生共同讨论完成）【设计意图】遵循学生的认知规律，多角度，多层次地设置习题，在类比中应用，在应用中加深学生对一次函数概念的理解.（3）我活用<故事的延续……>问题11：在前面乌鸦喝水的故事中，假设瓶子为圆柱形，每个石子体积相同，瓶里原有水深5cm ，放一粒石子水位上升0.3cm ，瓶高10cm ，乌鸦嘴2cm ，投入的石子的个数为a ，请分组写出下列变量关于a 的关系式.①水面的高度x ；②水面上升的高度y ；③水面与瓶口的距离z活动要求：①小组合作讨论; ②1-3组写x 与a 的关系式，4—6组完成y 与a 的关系式，7—8组写z 与a 的关系式.问题12：在上面出现的几种情况中，每种情况最少投入多少个石子，乌鸦正好可以喝到水？追问1：借助三个函数关系式求得同体积石子的个数一样吗？追问2：: 通过一致的结果我们可以得到什么启示呢？师：我们用不同的两个变量解决同一问题，虽然函数解析式不同，但殊途同归，求得的两组结果分别一致，说明建立函数解析式时，所设自变量与函数可以不一样，但不影响问题解决的结果.【设计意图】通过“具体——抽象——具体”的过程，使学生进一步加深对一次函数概念的认识，并在这个过程中，体会一次函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型，感悟函数的思想.（四）反思提升问题13：本节课——你学到了…小组合作将本节课学到内容整理成知识结构图或知识树，画在草稿纸上，然后上台展示、分享.【设计意图】创设反思情境，搭建交流平台，学生在小结归纳的基础上，能及时将新知识纳入已有的知识系统，加深概念的理解与思维的升华（五）课外延伸1. 课本P90-91页练习第2、3题.2. 探究：类比正比例函数的学习过程，举出一个一次函数的实例，写出它的解析式并尝试画出该函数的图象，试探究这个函数的性质，下节课以小组为单位展示你们探究的成果.【设计意图】巩固对概念的理解，为下节课做好铺垫，进一步体会“类比思想”与同类知识的研究“套路”.六、教学反思1.以活动为主线童话故事导出课题，让学生在实例中感悟数学，激发了学生的探究兴趣，渗透了建模思想.讨论、对话、对比“正比例函数”得到一次函数的定义，让学生在最近思维区引发认知上的联系与冲突，让学生学会函数研究的“基本思路与方法”，同时也让学生对本节的内容有了一个整体的了解，使他们在后续学习与研究中能“见木见林”，增强学习的预见性与主动性，以练习和问题的评析为载体，内化概念、夯实基础、激发潜能、提升技能、水到渠成.2.以思维为核心以正比例函数概念形成的“三部曲”为主线的“结构性”学习过程，既让学生深入理解一次函数概念的生成过程，体验知识点之间的联系与区别，又使类比思想、数学抽象、数学建模的思维呼之欲出；以学生自己提出问题，自行解答问题的形式逐步逼近结论，既让学生的猜想不断清晰，又引发学生对“函数”与“整式”、“函数”与“方程”的进一步思考，为学生思维能力的培养提供了平台，迁移恰到好处，知识与思想同授.3.不足之处因学生刚开始学习函数及整式的知识有所淡忘，学生在解答问题时对自变量与未知数；次数与指数等在叙述有些口误式的混淆.由于时间关系，在表展示本节课的知识结构图时没有让更多的学生参与，没有为更多的人提供展示的平台.。

课题：19.2.2 一次函数（第1课时）教学点评本节课展示了李老师全面良好的个人素质和数学功底，李老师思维严谨缜密、教态自然，语言简练，教学组织张弛有度。

该课既展示了概念课型的教学模式，又彰显“结构教学、情境激趣、展示释疑”的教学方式。

1. 情境激趣，整体构建上课伊始，以乌鸦喝水的视频为问题背景，创设情境，引入新课符合学生的心理与学习经历，使学生倍感亲近，既激发了学生的学习兴趣，又开门见山，切入主题。

紧接着师生一起回忆正比例函数的学习内容，引导学生采用“结构学习”的方式猜想一次函数的学习内容，使学生明确学习方向。

教师展示了正比例函数学习的三步曲：实际问题、抽取解析式、从形式特征定义等，使学生熟悉了正比例函数定义的学习过程与方法，为类比一次函数的定义提供了情境与思路。

若乌鸦喝水是一个感性的情境，那么正比例函数定义的过程是一个理性的情境，实现了从感性到理性的过渡。

2. 充分活动，开放思维有效的数学课堂应该包含丰富的数学思维活动和学生的小组活动，两者缺一不可。

在活动研学环节，两个活动都给学生充足的时间进行独立思考、小组讨论、展示交流、发现问题、释疑问题。

为了站在学生的位置，让学生理解概念，教师大胆设计了一个问题：“你能写出一次函数一般表达式吗？关注一次函数的一般表达式你能提出哪些问题？”，学生自己问自己答，大大增加了认识一次函数的广度及深度。

学源于思，思源于疑，此环节学生主动质疑、相互释疑，创新了学生活动的场域，大大的增加了学生的思维量。

3. 紧扣本质，碰撞思维学贵在应用。

在解决实际问题的环节，采用乌鸦喝水故事的延续，使课堂前后呼应，延伸拓展。

设计三个不同的变量，求解三个不同一次函数，使“运用一次函数解决实际问题”的难点得以突破；通过追问：”投入多少石子，乌鸦正好可以喝到水”，把函数与方程联系起来；通过结果发现不同的解析式，求得的结果完全相同，提升对函数本质的感悟，使学生的思维上升到一个新高度。

4. 概念教学，推陈出新本课的重点是一次函数概念的学习。