海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准2013．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B D C B D二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d因为11a =，1910101002a a S +=⨯= ……………………2分 所以1101,19a a == ……………………4分 所以2d =所以 21n a n =- ……………………6分（II ）因为26n S n n =-当2n ≥时，21(1)6(1)n S n n -=---所以27n a n =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-所以 27n a n =- ……………………10分所以247n n S a n n +=--所以2472n n n -->，即2670n n -->9． 1i -+10．乙 11. 16-或 16 12．22 13．1π2π;(,)233- 14．1;02k <≤所以7n >或1n <-，所以7n >，N n ∈ ……………………13分16. 解：（I ）因为75ADB ∠=，所以45DAC ∠=在ACD ∆中，2AD =， 根据正弦定理有sin45sin30CD AD = ……………………4分 所以2CD = ……………………6分 （II ）所以4BD = ……………………7分 又在ABD ∆中，75ADB ∠=，62sin75sin(4530)4+=+=……………………9分 所以1sin75312ADB S AD BD ∆=⋅⋅=+ ……………………12分 所以333322ABC ABD S S ∆∆+== ……………………13分 同理，根据根据正弦定理有sin105sin30AC AD = 而 62sin105sin(4560)4+=+= ……………………8分 所以31AC =+ ……………………10分 又4BD =，6BC = ……………………11分 所以1333sin3022ABC S AC BC ∆+=⋅⋅= ……………………13分 17.解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………2分因为AB BC =，所以O 是AC 中点， …………………3分所以//OE PA …………………4分 同理//OF AD又,OE OF O PA AD A ==所以平面//OEF 平面PDA …………………6分 （II ）因为//OF AD ，AD CD ⊥所以OF CD ⊥ …………………7分 又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC所以PO ⊥CD …………………8分 又OF PO O =所以CD ⊥平面POF …………………10分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………11分 因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF所以CD PF ⊥又E 为PC 中点，所以 12EF PC =…………………12分 同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分 所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分18.解：（I ）当因为1a =, 211'(),()f x g x x x== …………………2分 若函数()f x 在点00(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点00(,())P x g x处的切线平行， 所以20011x x =，解得01x = 此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x = …………………4分 （II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f x g x ≥+记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-， 只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0 221'()a x a F x x x x-=-= …………………6分 则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表： x(0,)a a (,)a +∞ '()F x - 0 +()F x 极大值…………………8分 当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e 2a ≥ 所以e a ≥ …………………10分 当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增 ， ()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得e a ≥ 所以e e a ≤< ………………12分 综上，e a ≤ ………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2， 一内角为60 的菱形的四个顶点,所以3,1a b ==,椭圆C 的方程为2213x y += ………………4分 (II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为||3,||3AB PO ==，所以60PAO ∠=，所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分 当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x += 所以 123||31x k =+，则2222333||13131k AO k k k +=+=++ ………………8分设AB 的垂直平分线为1y x k=-，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y 所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩, 则2299||(1)k PO k +=- ………………10分 因为PAB ∆为等边三角形， 所以应有||3||PO AO = 代入得到22229933|3(1)31k k k k ++=-+，解得0k =（舍），1k =-……………13分 此时直线AB 的方程为y x =-综上，直线AB 的方程为y x =-或0y = ………………14分20.解：（I ）法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行 法2：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列 法3：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列 （写出一种即可）…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则 22221212a a a a a a a a ----- 则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1a a ==.…………………6分② 如果操作第一行 22221212a a a a a a a a ----- 则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a解得1a = …………………9分综上1a =…………………10分 (III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和） 由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得 数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只 是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于11||m nij i j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分。
