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第四讲数列求和知识梳理知识点一公式法求和1.如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式.2.等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋3.等比数列的前n 项和公式：S n 1，＝a 1(1－q n)1－q，q ≠1.注意等比数列公比q 的取值情况，要分q ＝1，q ≠1.知识点二分组求和法一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n 项和.知识点三倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的.知识点四错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的.知识点五裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.知识点六并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和.如{a n }是等差数列，求数列{(－1)n a n }的前n 项和，可用并项求和法求解.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可考虑采用两项合并求解.归纳拓展1.常见的裂项公式(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1n (n ＋k )＝(3)1n 2－1＝(4)1(2n －1)(2n ＋1)＝(5)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )；(6)1n (n ＋1)(n ＋2)＝121n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)；(7)2n (2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1.双基自测题组一走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n ＋11－q.(√)(2)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 287°＋sin 288°＋sin 289°可用倒序相加求和.(√)(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.(×)(4)当n ≥2时，1n 2－1＝√)(5)2n＋n 项和可用分组求和.(√)[解析](1)因为数列{a n }为等比数列，且公比不等于1.则其前n 项和为S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a 1q n 1－q ＝a 1－a n ＋11－q.(2)因为sin 21°＋sin 289°＝sin 22°＋sin 288°＝sin 23°＋sin 287°＝sin 244°＋sin 246°＝2sin 245°＝1，所以sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 287°＋sin 288°＋sin 289°可用倒序相加求和.(3)要分a ＝0或a ＝1或a ≠0且a ≠1讨论求解.(4)＝12·n ＋1－(n －1)(n －1)(n ＋1)＝1n 2－1.题组二走进教材2.(选修2P 51T2改编)在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为20252026，则项数n ＝(C )A.2023B ．2024C.2025D ．2026[解析]a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝20252026，∴n ＝2025.故选C.3.(选修2P 56T11改编)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n sin n π3，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2021＝(D )A.10113B ．－523C.523D．－10113[解析]因为f(n)＝sin nπ3的周期为T＝2ππ3＝6，所以a6k－5＋a6k－4＋a6k－3＋a6k－2＋a6k－1＋a6k＝(6k－5)×32＋(6k－4)×32＋(6k－3)×0＋(6k－2)(6k－1)6k×0＝－33，然后求和即可.因为f(n)＝sin nπ3的周期为T＝2ππ3＝6，a6k－5＋a6k－4＋a6k－3＋a6k－2＋a6k－1＋a6k＝(6k－5)×32＋(6k－4)×32＋(6k－3)×0＋(6k－2)(6k－1)6k×0＝－33，k∈N*，则a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝a1＋a2＋a3＋…＋a2021＋a2022－a2022＝337×(－33)－2022sin 2022π3＝－10113，故选D.4.(选修2P40T3改编)S n＝12＋12＋38＋…＋n2n等于(B)A.2n－n－12n B．2n＋1－n－22nC.2n－n＋12n D．2n＋1－n＋22n[解析]解法一：由S n＝12＋222＋323＋…＋n2n①得12S n＝122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1②①－②得，1 2S n＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1，＝1211－12－n2n＋1，∴S n＝2n＋1－n－22n.解法二：此类问题可先考虑排除法，令n＝1即得B正确.5.(选修2P 56T10改编)(2024·河北“五个一”名校质检)若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2(n ＋1).[解析]由f (x )＋f (1－x )＝4，可得f (0)＋f (1)＝4，…，4，所以2a n ＝[f (0)＋f (1)]…＋[f (1)＋f (0)]＝4(n ＋1)，即a n ＝2(n ＋1).题组三走向高考6.(2017·课标Ⅱ，15,5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则错误!1S k ＝2n n ＋1.[解析]本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和.设公差为d 1＋2d ＝3，a 1＋6d ＝10，1＝1，＝1，∴a n ＝n .∴前n 项和S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴1S n ＝2n (n ＋1)＝∴错误!1S k ＝－12＋12－13＋…＋1n －2·n n ＋1＝2n n ＋1.分组求和法——师生共研1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2a 1＋a 2＋…＋a 2020＝(B )A.2019×20202B ．2021×20202C.2019×20192D．2020×20202[解析]由a n＝n2sin n为奇数时，a n＝－n2，当n为偶数时，a n＝n2，故S n＝－12＋22－32＋42＋…－20192＋20202＝1＋2＋3＋4＋…＋2019＋2020＝2020(1＋2020)2＝2020×20212.故选B.2.(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝n＋1，n为奇数，n＋2，n为偶数.(1)记b n＝a2n，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；(2)求{a n}的前20项和.[解析](1)因为b n＝a2n，所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝a1＋1＋3＝a1＋4＝5.由题意得a2n＋1＝a2n＋2，a2n＋2＝a2n＋1＋1，所以a2n＋2＝a2n＋3，即b n＋1＝b n＋3，所以数列{b n}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以b n＝2＋(n－1)×3＝3n－1.(2)当n为奇数时，a n＝a n＋1－1.设数列{a n}的前n项和为S n，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝[(a2－1)＋(a4－1)＋…＋(a20－1)]＋(a2＋a4＋…＋a20)＝2(a2＋a4＋…＋a20)－10，由(1)可知a2＋a4＋…＋a20＝b1＋b2＋…＋b10＝10×2＋10×92×3＝155，故S20＝2×155－10＝300，即{a n}的前20项和为300.名师点拨：分组转化法求和的常见类型1.若a n＝b n±c n，且{b n}，{c n}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n}的前n项和.2.通项公式为a n n ，n 为奇数，n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.【变式训练】1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (n 2－n )，前n 项和为S n ，则满足S 2n＋1≤－2023的最小正整数n 的值为(D )A.28B ．30C ．31D ．32[解析]用分组(并项)求和法求得和S 2n ＋1，然后解不等式S 2n ＋1<－2023，结合n 是正整数得解.由题意，得S 2n ＋1＝(22－12)＋(42－32)＋…＋[(2n )2－(2n －1)2]－(2n ＋1)2－[－1＋2－3＋4－5＋…＋2n －(2n ＋1)]＝(2－1)×(1＋2)＋(4－3)×(3＋4)＋…＋[2n －(2n －1)][(2n －1)＋2n ]－(2n ＋1)2－[n －(2n ＋1)]＝1＋2＋3＋4＋…＋2n －(2n ＋1)2＋n ＋1＝2n (1＋2n )2－(2n ＋1)2＋n ＋1＝－2(n 2＋n )，由S 2n＋1≤－2023，得－2(n 2＋n )≤－2023，即n 2＋n ≥20232，结合n ∈N *，解得n ≥32，故n 的最小值为32.故选D.2.(2024·信阳模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2n ＋2，n 是奇数，a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为(C )A.1121B ．1122C ．1123D ．1124[解析]由题意知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×(1－210)1－2＋10×1＋10×92×2＝1123.裂项相消法——多维探究角度1形如b n ＝1a n a n ＋1({a n }为等差数列)型求和：(1)S n＝1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋…＋n；(2)S n＝11×3＋12×4＋…＋1n(n＋2)；(3)S n＝11×3＋13×5＋…＋1(2n－1)(2n＋1).[解析](1)∵a n＝2n(n＋1)＝∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝＋…＝2n n＋1.(2)∵a n＝1n(n＋2)＝∴S n －13＋12－14＋…＋1n－＋1 2－1n＋1－＝34－2n＋32(n＋1)(n＋2).(3)∵a n＝1(2n－1)(2n＋1)∴S n…n 2n＋1.角度2形如a n＝1n＋k＋n型(2023·西安八校联考)已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令a n＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N ＋.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2025等于(C )A.2024－1B ．2024＋1C.2025－1D ．2025＋1[解析]由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2025＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2025＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2025－2024)＝2025－1.角度3形如an ＝2n ＋kn 2(n ＋k )2型已知数列{a n }满足a n ＝n ＋1n 2(n ＋2)2，S n 为{a n }的前n 项和，则S n ＝1454－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2.[解析]∵a n ＝n ＋1n 2(n ＋2)2＝141n 2－1(n ＋2)2，∴S n…＋＝141＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2＝1454－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2.角度4形如a n ＝ka n(a n－1)(a n ＋1－1)(a >0，a ≠1)型已知数列{a n }，a 1＝23，a n ＋1＝2a n －a n a n ＋1n 项和为S n，则S2023＝(D)A.1 3－122021＋1B．13－122022＋1C.1 3－122023＋1D．13－122024＋1[解析]由原数列的递推式可得a n＋1＝2a n1＋a n，两边取倒数，再两边同时减去1，结合等比数列的定义和通项公式，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和.由a n＋1＝2a n－a n a n＋1，可得a n＋1＝2a n1＋a n，两边取倒数，可得1a n＋1＝1a n＋1－1，则1an－1－1，即有a n＝2n2n＋1，a n2n＋1＋1＝2n(2n＋1)(2n＋1＋1)＝12n＋1－12n＋1＋1，所以S2023＝13－15＋15－19＋…＋122023＋1－1 22024＋1＝13－122024＋1.故选D.名师点拨：裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多变.在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{a n}的通项公式，达到求解的目的.1.直接考查裂项相消法求和.解决此类问题应注意以下两点：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如：若{a n}是等差数列，则1a n a n＋11a n a n＋2＝2.与不等式相结合考查裂项相消法求和.解决此类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式.【变式训练】1.(角度1)数列{a n }是正项等比数列，满足a n a n ＋1＝4n ，的前n 项和T n ＝(A )A.4n 2n ＋1B ．4n 2n －1C.n 2n ＋1D ．n 2n －1[解析]数列{a n }是正项等比数列，设公比为q (q >0)，由a n a n ＋1＝4n ，可得a 1a 2＝a 21q ＝4，a 2a 3＝a 21q 3＝16，解得a 1＝2，q ＝2，则a n ＝a 1q n －1＝2·2n －1＝2n －12，则1log 2a n ·log 2a n ＋1＝1log 22n －12·log 22n ＋12＝1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝T n ＝－13＋13－15＋…＋12n －1－4n2n ＋1.故选A.2.(角度2)求和S ＝11＋3＋13＋5＋…＋1119＋121＝(A )A.5B ．4C ．10D ．9[解析]S ＝1－31－3＋3－53－5＋…＋119－121119－121＝1－11－2＝5，故选A.3.(角度3)已知等差数列{a n }，a 2＝2，a 5＋a 7＝12，设b n ＝2n ＋1a 2n a 2n ＋1，S n 为{b n }的前n 项和，则S n ＝n 2＋2n(n ＋1)2.[解析]1＋d ＝2，a 1＋10d ＝12，1＝1，＝1，∴a n ＝n ∴b n ＝2n ＋1n 2(n ＋1)2＝1n 2－1(n ＋1)2∴S n ＝…＋1n 2－1(n ＋1)2＝1－1(n ＋1)2＝n 2＋2n(n ＋1)2.4.(角度4)数列{a n }是等比数列，a 2＝12，a 5＝116，b n ＝a n ＋1(a n ＋1)(a n ＋1＋1)，则数列{b n }的前n 项和为(A )A.2n －12(2n＋1)B ．2n －12n＋1C.12n＋1D ．2n －12n＋2[解析]a 5＝a 2·q 3，∴q 3＝18，∴q ＝12，a 1＝1，∴a n－1，b n－1＋＋11＋11－1＋1，∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝＋＋…1＋1－12＝2n －12(2n＋1).故选A.错位相减法——师生共研(2023·全国甲，理，17)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝1,2S n ＝na n .(1)求{a n}的通项公式；(2)n 项和T n .[解析](1)当n ＝1时，2S 1＝a 1，即2a 1＝a 1，所以a 1＝0.当n ≥2时，由2S n ＝na n ，得2S n －1＝(n －1)a n －1，两式相减得2a n＝na n－(n－1)a n－1，(题眼)即(n－1)a n－1＝(n－2)a n，当n＝2时，可得a1＝0，故当n≥3时，a na n－1＝n－1n－2，则a na n－1·a n－1a n－2·…·a3a2＝n－1n－2·n－2n－3 (2)1，整理得a na2＝n－1，因为a2＝1，所以a n＝n－1(n≥3).当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以a n＝n－1.(2)解法一：令b n＝a n＋12n＝n 2n，则T n＝b1＋b2＋…＋b n－1＋b n＝12＋222＋…＋n－12n－1＋n2n①，1 2T n＝122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1②，由①－②得12T n＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1＝21－12－n2n＋1＝1－2＋n2n＋1，即T n＝2－2＋n 2n.解法二：设b n＝a n＋1 2n，所以b n＝a n＋12n＝n2n＝＋－1，故a＝12，b＝0，q＝12.故A＝aq－1＝1212－1＝－1，B＝b－Aq－1＝0＋112－1＝－2，C＝－B＝2.故T n＝(An＋B)·q n＋C＝(－n－＋2，整理得T n＝2－2＋n2n.名师点拨：用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{a n·b n}是由等差数列{a n}与等比数列{b n}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{a n·b n}的前n项和为T n，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有q k(k∈N*)的项对齐，然后两边同时作差.第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出T n.用错位相减法求和应注意的问题1.如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.2.在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式.3.“S n－qS n”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是n－1项，一般是n－1项.4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论求解.【变式训练】(2020·课标全国Ⅰ，理)设{a n}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.(1)求{a n}的公比；(2)若a1＝1，求数列{na n}的前n项和.[解析](1)设{a n}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3，又a1≠0，∴q2＋q－2＝0.∵q≠1，∴q＝－2.(2)设{na n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＝(－2)n－1，S n＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，－2S n＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n(－2)n，两式相减，得3S n＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n＝1－(－2)n1－(－2)－n(－2)n＝1－(1＋3n)(－2)n3，∴S n＝1－(1＋3n)(－2)n9.数列的求和——倒序相加法[解析]∵f(x)＝4x4x＋2，∴f(1－x)＝41－x41－x＋2＝2 2＋4x.∴f(x)＋f(1－x)＝4x4x＋2＋22＋4x＝1.S＝12022＋22022…＋20212022S＝20212022＋20202022…＋12022①＋②，得2S f12022＋f20212022＋f22022＋f20202022＋…＋f20212022＋12022＝2021.∴S＝2021 2.名师点拨：倒序相加法应用的条件与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法求解.【变式训练】设f(x)＝x21＋x2，则1202212021f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝4043 2.[解析]∵f(x)＝x21＋x2，∴f(x)＋1x＝1.令S＝…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2022).①则S＝f(2022)＋f(2021)＋…＋f(1)＋…＋②∴2S＝4043，∴S＝40432.提能训练练案[38]A组基础巩固一、单选题1.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，{b n}为等比数列，且a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3，设c n＝a n＋b n，则数列{c n}的前10项和为(A)A.1078B．1068C．566D．556[解析]设等差数列{a n}的公差为d≠0，等比数列{b n}的公比为q，根据a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3，利用通项公式即可解得d，q，再利用求和公式即可得出结论.设等差数列{a n}的公差为d≠0，等比数列{b n}的公比为q，∵a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3，∴1＋d＝q,1＋3d＝q2，d≠0，解得：d＝1，q＝2.∴a n＝1＋n－1＝n，b n＝2n－1.∴c n＝a n＋b n＝n＋2n－1.则数列{c n}的前10项和＝10×(1＋10)2＋210－12－1＝1078.故选A.2.已知数列{a n}满足a1＝16，(n＋1)a n＋1＝2(n＋2)a n，则{a n}的前100项和为(D)A.25×2102B．25×2103C.25×2104D．25×2105[解析]因为(n＋1)a n＋1＝2(n＋2)a n，a1＝16，所以a n＋1n＋2＝2a nn＋1，a12＝8.所以8为首项，2为公比的等比数列，则a nn＋1＝8×2n－1＝2n＋2，即a n ＝(n＋1)2n＋2，设{a n}的前n项和为S n，则S n＝2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n＋1)×2n＋2，则2S n＝2×24＋3×25＋4×26＋…＋n×2n＋2＋(n＋1)×2n＋3，两式相减得－S n ＝2×23＋24＋25＋26＋…＋2n ＋2－(n ＋1)2n ＋3＝2＋2(1－2n ＋2)1－2－(n ＋1)2n ＋3＝－n ×2n ＋3，所以S n ＝n ×2n ＋3，所以S 100＝100×2103＝25×2105，选D.3.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于(D )A.13B ．10C ．9D ．6[解析]∵a n ＝2n －12n ＝1－12n ，∴S n ＝n ＋122＋…n －1＋12n .而32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋164.∴n ＝6.4.设数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (2n －1)·cos n π2－1，其前n 项和为S n ，则S 2022＝(D )A.4041B ．－5C ．－2021D ．－4045[解析]根据题意，分类讨论n ＝4k －3或n ＝4k －1，k ∈N *时，cos n π2＝0，n ＝4k －2，k ∈N *时，cos n π2＝－1，n ＝4k ，k ∈N *时，cos n π2＝1，即可得出答案.∵a n ＝(－1)n (2n －1)·cosn π2－1，∴当n ＝4k －3或n ＝4k －1，k ∈N *时，cos n π2＝0，a 4k －3＝a 4k －1＝－1；当n ＝4k －2，k ∈N *时，cosn π2＝－1，a 4k －2＝[2×(4k －2)－1]×(－1)－1＝－8k ＋4；当n ＝4k ，k ∈N *时，cosn π2＝1，a 4k ＝2×4k －1－1＝8k －2，∴a 4k －3＋a 4k －2＋a 4k －1＋a 4k ＝0，∴S 2022＝S 2020＋a 2021＋a 2022＝a 2021＋a 2022＝－1＋(2×2022－1)·(－1)－1＝－4045，故选D.5.已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，前100项和为(D )A.100101B ．99100C ．101100D ．200101[解析]∵a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝1＋n .∴a n －a n －1＝n (n ≥2).∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2.∴1a n ＝2n (n ＋1)＝100项和为－12＋12－13＋…＋1100－200101.故选D.6.(2022·重庆调研)已知数列{a n }满足a n ＝n n ＋1，则a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 202220222＝(A )A.20222023B ．20202021C.20212022D ．20192020[解析]由题知，数列{a n }满足a n ＝n n ＋1的通项公式为a nn 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 202220222＝1－12＋12－13＋…＋12022－12023＝1－12023＝20222023.7.在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于(B )A.(3n －1)2B ．12(9n －1)C.9n －1D ．14(3n －1)[解析]因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2).则当n≥2时，a n＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以a n＝2·3n－1(n∈N*).则数列{a2n}是首项为4，公比为9的等比数列，a21＋…＋a2n＝4(1－9n)1－9＝12(9n－1).故选B.8.(2023·辽宁凌源二中联考)已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a n>0,6S n＝a2n＋3a n，n∈N*，b n＝2a n(2a n－1)(2a n＋1－1)，若对任意的n∈N*，k>T n恒成立，则k的最小值是(C)A.17B．49C．149D．8441[解析]当n＝1时，6a1＝a21＋3a1，解得a1＝3或a1＝0(舍去)，又6S n＝a2n＋3a n，∴6S n＋1＝a2n＋1＋3a n＋1，两式作差可得6a n＋1＝a2n＋1－a2n＋3a n＋1－3a n，整理可得(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n－3)＝0，结合a n>0可得a n＋1－a n－3＝0，∴a n＋1－a n＝3，故数列{a n}是首项为3，公差为3的等差数列，∴a n＝3＋(n－1)×3＝3n，则b n＝2a n(2a n－1)(2a n＋1－1)＝8n(8n－1)(8n＋1－1)＝∴Tn＝17＝<149，∴k≥149.故选C.二、多选题9.(2023·济南调研)已知数列{a n}：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n＝1a n·a n＋1，设数列{b n}的前n项和S n，则(AC)A.a n＝n2B．a n＝nC.S n＝4nn＋1D．S n＝5nn＋1[解析]由题意得a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1n 2·n ＋12＝4n (n ＋1)＝∴数列{b n }的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －＝＝4nn ＋1.故选AC.10.(2024·重庆月考)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n a n －1＝2n n －1(n ≥2，n ∈N *)，{a n }的前n 项和为S n ，则(ABD )A.a 2＝－8B ．a n ＝－2n ·n C.S 3＝－30D ．S n ＝(1－n )·2n ＋1－2[解析]由题意可得，a 2a 1＝2×21，a 3a 2＝2×32，a 4a 3＝2×43，…，a n a n －1＝2×n n －1(n ≥2，n ∈N *)，以上式子左、右分别相乘得an a 1＝2n －1·n (n ≥2，n ∈N *)，把a 1＝－2代入，得a n ＝－2n ·n (n ≥2，n ∈N *)，又a 1＝－2符合上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ·n (n ∈N *)，a 2＝－8，故A ，B 正确；S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，则2S n ＝－[1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1]，两式相减，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2(n ∈N *)，故S 3＝－34，故C 错误，D 正确.11.已知数列{a n }的首项为4，且满足2(n ＋1)a n －na n ＋1＝0(n ∈N *)，则(BD )A.B.数列{a n }为递增数列C.数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)·2n ＋1＋4D.n 项和T n ＝n 2＋n 2[解析]由2(n ＋1)a n －na n ＋1＝0得a n ＋1n ＋1＝2×a n n ，是以a11＝a 1＝4为首项，2为公比的等比数列，故A 错误；因为a n n＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝n ·2n＋1，显然递增，故B 正确；因为S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1,2S n ＝1×23＋2×24＋…＋n ·2n ＋2，所以－S n ＝1×22＋23＋…＋2n ＋1－n ·2n ＋2＝22(1－2n )1－2－n ·2n ＋2，故S n ＝(n －1)·2n ＋2＋4，故C 错误；因为a n 2n ＋1＝n ·2n ＋12n ＋1＝nn 项和T n ＝n (1＋n )2＝n 2＋n2，故D 正确.三、填空题12.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝42[解析]∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －－1n ＋1－＝34－13.(2023·海南三亚模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2，数列{b n }满足b n ＝|a n |，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 4＝24，T 30＝650.[解析]当n ＝1时，a 1＝S 1＝9，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n －n 2－[10(n－1)－(n －1)2]＝－2n ＋11，当n ＝1时也满足，所以a n ＝－2n ＋11(n ∈N *)，所以当n ≤5时，a n >0，b n ＝a n ，当n >5时，a n <0，b n ＝－a n ，所以T 4＝S 4＝10×4－42＝24，T 30＝S 5－a 6－a 7－…－a 30＝2S 5－S 30＝2×(10×5－52)－(10×30－302)＝650.14.(2023·广东省五校协作体高三第一次联考)已知数列{a n}满足：a1为正整数，a n＋1a n为偶数，n＋1，a n为奇数，如果a1＝1，则a1＋a2＋a3＋…＋a2018＝4709. [解析]由已知得a1＝1，a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝4，a6＝2，{a n}是周期为3的数列，a1＋a2＋…＋a2018＝(1＋4＋2)×672＋1＋4＝4709.四、解答题15.(2017·课标全国Ⅲ)设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)n项和.[解析](1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)a n－1＝2(n－1).两式相减得(2n－1)a n＝2，所以a n＝22n－1(n≥2).又由题设可得a1＝2，满足上式.从而{a n}的通项公式为a n＝2 2n－1.(2)n项和为S n.由(1)知a n2n＋1＝2(2n＋1)(2n－1)＝12n－1－12n＋1.则S n＝11－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝2n2n＋1.16.(2023·郑州市第一次质量预测)已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1＋b2＋b3＝12.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令c n＝4b n·b n＋1＋a n，求数列{c n}的前n项和S n.[解析](1)由b n＝log2a n和b1＋b2＋b3＝12，得log2(a1a2a3)＝12，∴a1a2a3＝212.设等比数列{a n}的公比为q，∵a1＝4，∴a1a2a3＝4·4q·4q2＝26·q3＝212，计算得q＝4.∴a n＝4·4n－1＝4n.(2)由(1)得b n ＝log 24n ＝2n ，c n ＝42n ·2(n ＋1)＋4n ＝1n (n ＋1)＋4n ＝1n －1n ＋1＋4n .n 项和为A n ，则A n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1，设数列{4n}的前n 项和为B n ，则B n ＝4(1－4n )1－4＝43(4n－1)，∴S n ＝n n ＋1＋43(4n －1).B 组能力提升1.若数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为(B )A.13B ．512C ．12D ．712[解析]∵b n ＝1a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，∴S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512.2.已知数列{a n }的前n 项积为T n ，且满足a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，若a 1＝14，则T 2019为(C )A.－4B ．－35C ．－53D ．14[解析]直接利用数列的递推关系求出数列的周期，进一步求出结果.由a n ＋1＝1＋a n 1－a n，a 1＝14，解得a 2＝53，a 3＝－4，a 4＝－35，a 5＝14，…，所以T 4＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1,2019＝4×504＋3，所以T 2019＝(a 1a 2a 3a 4)·(a 5a 6a 7a 8)·…·(a 2017a 2018a 2019)＝1×1×1×…×14×53×(－4)＝－53.故选C.3.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：(1)构造数列1，12，13，14，…，1n；①(2)将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝(C )A.n 24B ．(n －1)24C.n (n －1)4D ．n (n ＋1)4[解析]依题意可得新数列为n 2，n 4，n 6，…，1n ×n2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n2411×2＋12×3＋…＋1(n －1)n－12＋12－13＋…＋1n －1－＝n 24×n －1n ＝n (n －1)4.故选C.4.1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1.(其中x ≠0)[解析]当x ＝1时，1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当x ≠1时.解法一：记S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1，则xS n ＝x ＋2x 2＋…＋(n －1)x n －1＋nx n ，两式相减得：(1－x )S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －1－nx n ＝1－x n 1－x－nx n ，∴S n ＝1－(1＋n )x n ＋nx n ＋1(1－x )2.解法二：1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n－1＝(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )′＝x (1－x n )1－x ′＝1－(1＋n )x n ＋nx n ＋1(1－x )2，综上可知1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝x ≠1).5.(2023·山东省济南市历城第二中学高三模拟考试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n n 为奇数n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .[解析](1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，＋6＋d ＝10，＋4d －2q ＝3＋2d ，＝2，＝2，∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)，当n 为奇数，c n ＝2S n ＝1n －1n ＋2，当n 为偶数，c n ＝2n －1.∴T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )…(2＋23＋…＋22n －1)＝1－12n ＋1＋2(1－4n )1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1).6.已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *).[解析](1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q>0，解得q＝2.所以b n＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得a n＝3n－2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，数列{b n}的通项公式为b n＝2n.(2)设数列{a2n b2n－1)的前n项和为T n，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，有a2n b2n－1＝(3n－1)×4n，故T n＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4T n＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3T n＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝12×(1－4n)1－4－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8.得T n＝3n－23×4n＋1＋83.所以数列{a2n b2n－1}的前n项和为3n－23×4n＋1＋83.。

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第04练基本不等式及其应用（精练）1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最值问题．3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>二、多选题2．（2022·全国·高考真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥三、填空题3．（2023·天津·高考真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b ==，用,a b表示AE =；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．四、解答题4．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．【A 级基础巩固练】一、单选题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若0x >，则22y x x=+的最小值是（）A ．B C ．4D ．22．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知04x <<）A ．12B ．1C D ．33．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（）A ．3-B ．3C ．1D ．6【答案】B【分析】利用基本不等式，直接计算即可.取得等号，满足题意4．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．165．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若0,0a b >>且1a mb +=，若ab 的最大值为8，则正常数m =（）A ．1B ．2C ．3D ．46．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．87．（23-24高一下·福建南平·期中）已知0a >，0b >，230a b +-=，则21a b++的最小值为（）A ．2B ．1C ．32D ．348．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知向量()2,1a m m =+，(),12b n =，若向量a ，b 共线且0m >，则n 的最大值为（）A ．6B ．4C ．8D ．39．（23-24高一下·浙江·期中）已知实数a ，b ，满足310ab +=（1b >），则31b a ++的取值范围是（）A ．()(),04,-∞⋃+∞B ．()4,+∞C ．(][),04,-∞+∞U D ．[)4,+∞10．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知0a >，0b >，2a b +=，则（）A ．01a <≤B ．01ab <≤C ．222a b +>D ．12b <<11．（2024·山东枣庄·一模）已知0,0a b >>，则“2a b +>”是“222a b +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知,a b 均为正实数，240a b -+≤，则23a ba b++的最小值为（）A ．135B ．145C ．3D ．513二、多选题13．（2024高三·全国·专题练习）已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A ．22xy x =+B ．2y =C ．13y xx=-D ．411y x x =-+14．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知正数a ，b 满足5a b ab +=，则（）A ．151a b+=B ．a 与b 可能相等C 6≥D ．a b +的最小值为6+【答案】BD15．（23-24高二下·浙江·期中）已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（）A ．111a b+=B ．25ab b+³C ．4a b +≥D ．228a b +≤三、填空题16．（23-24高一上·北京·期中）已知()8233y x x x =+>，则当x =时，y 取最小值为．17．（2024·上海徐汇·二模）若正数a b 、满足1a b+=，则2a b +的最小值为.18．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数,a b 满足232a b a b =+，则a 的最小值是．19．（23-24高二下·云南·阶段练习）设0,0m n >>，若直线:22l mx y +=过曲线11x y a -=+（0a >，且1a ≠）的定点，则11m n+的最小值为．20．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.21．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙CD 修建一个直角梯形花坛ABCD ，设直角边AD x =米，2BC x =米，若12AD AB BC ++=米，问当x =米时，直角梯形花坛ABCD 的面积最大．22．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知02a <<，则2a a+-的最小值为．四、解答题23．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位；cm ）满足关系：()()161102C x x x =≤≤+，设()f x 为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．(1)求()f x 的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．24．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）已知0a >，0b >，0c >，求证：(1)6b c a c a ba b c+++++≥；(2)()()()2222226a b c b a c c a b abc +++++≥.25．（23-24高一上·浙江·期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本()R x 万元，且()228020,05064002015200,50x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本）(1)求2024年的利润()W x （单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．(2)2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？26．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列不等式的证明：(1)对任意的正实数a ，b ，c，证明：a b c ++(2)设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=，证明：13ab ac bc ++≤.【B 级能力提升练】一、单选题1．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知0,0x y >>，且41x y +=，则2y xxy+的最小值为（）A ．5B ．C ．4D ．2．（2023·河南信阳·模拟预测）若51x -<<-，则函数()22f x x ++=+有（）A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值1-D ．最大值1-所以函数()f x 有最大值1-.故选：D.3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x ，y 满足3x >，且2312xy x y +-=，则x y +的最小值为（）A ．1+B ．8C ．D ．1+4．（2024·辽宁·一模）已知20m n >>，则2m mm n n+-的最小值为（）A ．3+B ．3-C ．2+D ．25．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式中不成立．．．的是（）A ．01ab <<B ．122a b ->C >D ．114a b+>【答案】C【分析】对于AB ，利用对数函数的性质即可判断；对于CD ，利用对数的运算得到1a b +=，结合基本不等式即可判断.【详解】因为lg 2,lg5a b ==，所以lg 2lg 5lg101a b +=+==，6．（2024·辽宁大连·一模）若()()ln 0,01f x m n n x+=>>--奇函数，则41m n ++的最小值为（）.A ．65B ．95C ．4D ．57．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约176cm ，横约95cm ，挂在墙上最低点B 离地面194cm ，小兰身高160cm (头顶距眼睛的距离为10cm).为使观测视角θ最大，小兰离墙距离S 应为（）A．B ．94cm C．D ．76cm8．（2024·全国·模拟预测）已知0x >，0y >且1x y +=，则222211x y x y +++的最小值为（）A ．15B ．25C ．35D ．459．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中ABCD 区域是休闲健身区，以CD 为底边的等腰三角形区域PCD 是儿童活动区，P ，C ，D 三点在圆弧上，AB 中点恰好在圆心O ，则当健身广场的面积最大时，OB 的长度为（）A ．100米B ．150米C．米D．由于2AD BC OC ==-都是上底为21R t -，下底为所以，健身广场的面积S 从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是()22111tt t t t -+=-+=()223323223t t t +-+-≤=二、多选题10．（2023·浙江绍兴·二模）已知0a >，0b >，a b ab +=，则（）A ．1a >且1b >B ．4ab ≥C ．49a b +≤D ．11b ab+>11．（2024·全国·模拟预测）已知0a >，0b >且2a b+=，则下列说法正确的是（）A ．ab 有最小值4B ．a b +有最小值92C ．2ab a +有最小值D的最小值为12．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知0,1a b a b >>+=．则下列结论正确的有（）A ．a 32B ．22122a b ++的最小值为C ．1422a b a b+的最小值为3D ．sin 1a b +<三、填空题13．（23-24高一下·河北保定·开学考试）若正数,m n 满足2212516m n +=，则mn 的最大值为．14．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若1x >，1y >，10xy =，则lg lg x y 的最大值为.15．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且2x y +=，则11y x +-的最小值是．17．（2024·上海普陀·二模）若实数a ，b 满足20a b -≥，则24ab+的最小值为.18．（23-24高一上·浙江·期末）已知22321(,R)x xy y x y -+=∈，则222x y +的最小值为．四、解答题19．（2024·全国·二模）已知实数0,0a b >>，满足a b +=(1)求证：2224a b +≥；(2)求()()2211ab ab++的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)1220．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知0a >，0b >，且2a b +=．(1)求证：11413a b +≥+；(2)求证：42aab b+≥．21．（23-24高一下·甘肃白银·期中）养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘（记为菱形ABCD ）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成ABD ，DEFB ，CEF 三块区域，图中,BD EF 是不锈钢网露出水面的分界网边，E 在鱼塘岸边DC 上（点E 与D ，C 均不重合），F 在鱼塘岸边BC ．上（点F 与B ，C 均不重合）．其中△ECF 的面积与四边形DEFB 的面积相等，△DAB 为等边三角形．(1)若测得EC 的长为80米，求CF 的长．(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E ，F 应如何设置，才能使得购买不锈钢1.414=）22．（2023·贵州黔西·一模）设a，b，c均为正数，且1a b c++=，证明：(1)2221 3a b c++≥；(2)333a cb ac b abc++≥．23．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知0a >，0b >．(1)若4a b -=，证明：471a b +≥+．(2)若8a b ab ++=，求a b +的最小值．(3)若229327a b ab ++=，求3a b +的最大值．【C 级拓广探索练】一、单选题1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）设正实数,,x y z 满足22-3+4-=0x xy y z ，则当xyz取得最大值时，212+-x y z 的最大值为（）A ．9B ．1C ．94D ．32．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x 为正实数，y 为非负实数，且22x y +=，则1x y +++的最小值为（）A ．34B ．94C ．32D ．923．（2024·全国·模拟预测）设{}max ,,x y z 为,,x y z 中最大的数.已知正实数,a b ，记max 8,2M a b⎧=⎨⎩，则M 的最小值为（）A ．1B C ．2D ．44．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知22321x xy y -+=(),R x y ∈，则22x y +的最小值为（）A 6B 6C ．6D ．6二、多选题5．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知0,0,21x y x y >>+=，则（）A ．42x y +的最小值为B ．22log log x y +的最大值为3-C ．y x xy --的最小值为1-D ．22221x y x y +++的最小值为16正确；三、填空题6．（2023·山西·模拟预测）已知0,0a b >>，且122a b +=，则161211a b +--的最小值是.7．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知实数,x y 满足22221x xy y -+=，则22x y -的最大值为.四、解答题8．（2023·全国·模拟预测）已知(),,0,x y z ∈+∞，且1x y z ++=．(1)1z>-；(2)求222544x y z xy yz xz +++++的最大值．，三式相加，可得：9．（23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射t ml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间x（单位：小时）的关系如下：162,06,89,618.2t xxyx t x⎧⎛⎫-≤≤⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<≤⎪⎪⎝⎭⎩当血药浓度不低于2ug/ml时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2ml．(1)若注射1ml药品，求药品的有效治疗时间；(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml 药品，12小时之后又注射a ml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求a的最小值．。

数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
2．若sinπ6－α＝12，则cosπ3－2α＝( A )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
D．－
3 2
解析 因为sinπ6－α＝12， 所以cos3π－2α＝cos2π6－α ＝1－2sin2π6－α＝1－2×122＝12.
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3．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( A )
1 A.2
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
解析 sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
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— 11 —
3＋ 3×
333＝－223 3
3 ＝－
3 3.
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— 21 —
命题点2 三角函数公式的逆用和变形应用
例2 (1)计算：4cos 10°－csoins 1100°°＝ － 3 .
(2)(2022·江苏盐城模拟)tan
9π＋tan
29π＋
3tan
π 9tan
命题点3 三角函数公式的灵活应用
考向1 角的变换
例3 已知cos52π－α＝2cos(2π＋α)，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为( D )
A．－7
B．7
C．1
D．－1
解析
因为cos 52π－α ＝2cos(2π＋α)，所以sin
α＝2cos
α，所以tan
α＝

高三数学第一轮复习：角函数总结及统练人教版（文）【本讲教育信息】一. 本周教学内容：三角函数总结及统练（一）基础知识1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。

4. 三角函数线正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系：倒数关系：1cot tan =⋅αα1csc sin =⋅αα1sec cos =⋅αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

ααπ+k 2 α- απ- απ+απ-2 απ-2απ+2正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切αcotαcot -αcot -αcotαcot -αtanαtan -⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-=-⋅-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+⋅=-⋅-⋅=+⋅-⋅=-⋅+⋅=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin( 8. 二倍角公式——代换：令αβ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=⋅=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα半角公式：2cos 12sinαα-±=；2cos 12cos αα+±=；αααcos 1cos 12tan +-±=αααααcos 1sin sin cos 12tan+=-=9. 三角函数的图象和性质函数x y sin =x y cos = x y tan =图象定义域RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,2|ππ且10. 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象变换 0,0>>ωA函数)sin(ϕω+=x A y 的图象可以通过下列两种方式得到：（1）−−−−−−−−−→−+=−−−−→−=倍横坐标缩短到原来的图象左移ωϕϕ1)sin(sin x y x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的（2）−−−−→−=−−−−−−−−−→−=ωϕωω图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin 1x y x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的（二）数学思想与基本解题方法1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。