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高等数学(下册)期末复习试题及答案

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- .- 一、填空题（共21分 每小题3分）

1．曲线012xyz绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122yxz．

2．直线35422:1zyxL与直线tztytxL72313:2的夹角为2． 3．设函数22232),,(zyxzyxf，则)1,1,1(gradf}6,4,2{．

4．设级数1nnu收敛，则nnulim0．

5．设周期函数在一个周期内的表达式为

,0,10,0)(xxx

xf 则它的傅里叶级数在x处

收敛于21． 6．全微分方程0ddyxxy的通解为 Cxy． 7．写出微分方程xeyyy2的特解的形式xaxey*． 二、解答题（共18分 每小题6分）

1．求过点)1,2,1(且垂直于直线02032zyxzyx的平面方程．

解：设所求平面的法向量为n，则3,2,1111121kjin (4分) 所求平面方程为 032zyx (6分) 2．将积分vzyxfd),,(

化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面

)(222yxz及22yxz所围成的区域．

解： 20 ,10 ,2 :2

rrzr (3分) - .- vzyxfd),,(



221020d),sin,cos(ddr

rzzrrfrr

(6分)

3．计算二重积分DyxyxeIdd)(22，其中闭区域.4:22yxD

解 2020dd2rreIr20220)(dd212rer202d221re)1(4e

三、解答题（共35分 每题7分） 1．设vuez，而22yxu，xyv，求zd．

解：)2(232yyxxeyuexexvvzxuuzxzxyvv (3分) )2(223xyxyexueyeyvvzyuuzyzxyvv

 (6分)

yxyxyexyyxxezxyxyd)2(d)2(d2332 (7分)

2．函数),(yxzz由方程0xyzez所确定，求yzxz

,．

解：令xyzezyxFz),,(， (2分)

则 ,yzFx ,xzFy ,xyeFzz

(5分)

xyeyzFFxzzzx

， xyexzFFyzzzy． (7分)

3．计算曲线积分Lyxxydd

，其中L是在圆周22xxy上由)0,2(A到点)0,0(O的有

向弧段． 解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D，根据格林公式 OADLyxxyyxyxxydddd2dd

(5分) - .- 022 (7分)

4．设曲线积分Lxyxfxyxfed)(d)]([

与路径无关，其中)(xf是连续可微函数且满足1)0(f，

求)(xf．

解： 由xQyP 得 )()(xfxfex

，

即xexfxf)()( (3分)

所以 )d()(dd)1(Cxeeexfxxx)(Cxex

， (6分)

代入初始条件，解得1C，所以)1()(xexfx． (7分)

5．判断级数12)!2()!(nnn的敛散性．

解： 因为 )!2()!()!22(])!1[(limlim221nnnnuunnnn (3分)

)12)(22()1(lim2nnnn141 (6分)

故该级数收敛． (7分) 四、（7分）计算曲面积分

yxzxzyzyxdddddd

，其中是上半球

面221zyx的上侧．

解：添加辅助曲面1,0:221yxz，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用

高斯公式得 yxzxzyzyxdddddd



1ddddddyxzxzyzyx

1ddddddyxzxzyzyx

(4分)

0d3

v

(6分) - .- 342132

． (7分)

五、（6分）在半径为R的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．

解：设三角形各边所对圆心角分别为zyx,,，则2zyx，

且面积为)sinsin(sin2

12zyxRA，

令)2(sinsinsinzyxzyxF (3分)

由 20cos0cos0coszyxzFyFxFzyx (4分)得

3

2zyx．此

时，其边长为RR32

3

2． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三

角形时其面积最大． (6分)

六、（8分）求级数1nnnx的收敛域，并求其和函数．

解： 1)1(limlim1nnaaRnnnn，故收敛半径为1R． (2分) 当1x时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当1x时， 级数为调和级数，发散． 故原级数的收敛域为)1,1[． (5分)

设和为)(xS，即1)(nn

nx

xS，求导得

11)(nnxxS

x1

1， (6分)

再积分得 xxxSxS0d)()( - .- xxxd110)1ln(x，)11(x (8分)

七、（5分）设函数)(xf在正实轴上连续，且等式

yxxyttfxttfyttf111d)(d)(d)(

对任何0,0yx成立．如果3)1(f，求)(xf． 解：等式两边对y求偏导得 )(d)()(1yfxttfyxfxx (2分)

上式对任何0,0yx仍成立．令1y，且因3)1(f，故有 xxttfxxf13d)()(

． (3分)

由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得

3)()()(xfxfxfx 即)0(3)(xxxf．

故通解为 Cxxfln3)(．当1x时，3)1(f，故3C． 因此所求的函数为 )1(ln3)(xxf． (5分) 八． （5分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe是对应齐次方程的两个线性无 关的解，xxe是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为

)(2xfyyy

将xxey代入上式，得xxxeexf2)(，因此所求的微分方程为

xxxeeyyy22

解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe是对应齐次方程的两个线性无 关的解，xxe是非齐次方程的一个特解，故xxxeCeCxey221是所 求微分方程的通解，从而有 - .- xxxxeCeCxeey2212，

xxxxeCeCxeey22142

消去21,CC

，得所求的微分方程为

xxxeeyyy22

06高数B 一、填空题（共30分 每小题3分）

1．xoy坐标面上的双曲线369422

yx绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为

36)(94222zyx．

2．设函数22),,(zyzxzyxf，则)1,0,1(gradf)2,1,2(．

3．直线35422:1zyxL与直线tztytxL72313:2的夹角为2． 4. 设是曲面222yxz及22yxz所围成的区域积分，则vzyxfd),,(化为柱面

坐标系下的三次积分形式是221020d),sin,cos(ddrrzzrrfrr ． 5. 设L是圆周22xxy，取正向，则曲线积分Lyxxydd

2

．

6. 幂级数11)1(nnnnx的收敛半径1R． 7．设级数1nnu收敛，则nnulim0．

8．设周期函数在一个周期内的表达式为

,0,0,0)(xxx

xf 则它的傅

里叶级数在x处收敛于2． 9．全微分方程0ddyyxx的通解为 Cxy．

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又
1 zx2
z
2 y
a
a2 x2 y2 ，…..………【３】
第3页共2页
高数
故
dS z
Dxy
adxdy a2 x2 y2
a
2 d
0
a2 h2 0
d a2 2
2
a
1 2
ln(a2
2
)0
a2 h2
2 a ln a ..【7】 h
三、【9 分】解：设 M (x, y, z) 为该椭圆上的任一点，则点 M 到原点的距离为 d x2 y2 z2 ……【1】
n1
n
4、设 z f (xy, x ) sin y ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z ,
2z
．
y
x xy
5、计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的顶部．
z
三、（本题满分 9 分） 抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离
第1页共2页
的最大值与最小值．
高数
（本题满分 10 分）
计算曲线积分 (ex sin y m)dx (ex cos y mx)dy ， L
其中 m 为常数， L 为由点 A(a, 0) 至原点 O(0, 0) 的上半圆周 x2 y2 ax (a 0) ．
四、（本题满分 10 分）
xn
3 , 1 2
3 ,2
3),
1 M2( 2
3 , 1 2
3 ,2
3). …………………【7】
又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．
高等数学下期末试题（七套附答案）

高等数学下期末试题（七套附答案）

⾼等数学下期末试题（七套附答案）⾼等数学（下）试卷⼀⼀、填空题（每空3分，共15分）（1）函数的定义域为（2）已知函数，则（3）交换积分次序，＝（4）已知是连接两点的直线段，则（5）已知微分⽅程，则其通解为⼆、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线为，平⾯为，则（） A. 平⾏于 B. 在上 C.垂直于D. 与斜交（2）设是由⽅程确定，则在点处的（） A.B.C. D.（3）已知是由曲⾯及平⾯所围成的闭区域，将在柱⾯坐标系下化成三次积分为（） A. B. C.D.（4）已知幂级数，则其收敛半径（）A.B. C.D.三、计算题（每题8分，共48分）1、求过直线:且平⾏于直线：的平⾯⽅程2、已知，求，3、设，利⽤极坐标求4、求函数的极值5、计算曲线积分，其中为摆线从点到的⼀段弧 6、求微分⽅程满⾜的特解得分阅卷⼈四.解答题（共22分）1、利⽤⾼斯公式计算，其中由圆锥⾯与上半球⾯所围成的⽴体表⾯的外侧2、（1）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（）（2）在求幂级数的和函数（）⾼等数学（下）试卷⼆⼀．填空题（每空3分，共15分）（1）函数的定义域为；（2）已知函数，则在处的全微分；之间的⼀段弧，则；（5）已知微分⽅程，则其通解为 .⼆．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线为，平⾯为，则与的夹⾓为（）；A. B. C. D.（2）设是由⽅程确定，则（）； A.B.C. D.（3）微分⽅程的特解的形式为（）； A.B.C. D.（4）已知是由球⾯所围成的闭区域, 将在球⾯坐标系下化成三次积分为（）； A B.C.D.（5）已知幂级数，则其收敛半径（）.B. C.D.三．计算题（每题8分，共48分）得分阅卷⼈5、求过且与两平⾯和平⾏的直线⽅程.6、已知，求，.8、求函数的极值.得分9、利⽤格林公式计算，其中为沿上半圆周、从到的弧段.6、求微分⽅程的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（）在区间内求幂级数的和函数 .2、利⽤⾼斯公式计算，为抛物⾯的下侧⾼等数学（下）模拟试卷三⼀．填空题（每空3分，共15分）1、函数的定义域为.2、= .3、已知，在处的微分 .4、定积分 .5、求由⽅程所确定的隐函数的导数 .⼆．选择题（每空3分，共15分）1、是函数的间断点（A）可去（B）跳跃（C）⽆穷（D）振荡2、积分= .(A) (B)(C) 0 (D) 13、函数在内的单调性是。

高等数学下册期末考试试题及答案

高等数学下册期末考试试题及答案

高等数学A （下册）期末考试试题【A 卷】考试日期：2009年一、A 填空题：(本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =,2b =，则a b ⋅= —4．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂ —1/（y ＊y ） ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2x+4y+z-14=0 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ 1.414 ．※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题:（本题共5小题,每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 解：两边同时对x 求导并移项。

2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛?如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 条件收敛4、设(,)sin xz f xy y y=+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z z x x y ∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 (本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分)求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰， 其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、(本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =,222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω是由曲面z=与z =,求 3()lim t F t t +→． ———--——-———-—-—-——————-—-————--——-—-—备注：①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。

高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)

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高等数学（下册）考试试卷（一）之巴公井开创作一、填空题（每小题3分, 共计24分） 1、D=. 2.3为, 其值为.4、设曲线L5、设曲面∑为介于及间的部份的外侧, 则.7. 8.二、选择题（每小题2分, 共计16分）1） （A（B（C是无穷小；（D2、有二阶连续导数,是（ ）（AB(D)0 .3）（A ）B（CD4、球面与柱面所围成的立体体积V=（ ） （A（B（C（D5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成, L 取正向, 函数D 上具有一阶连续偏导数,（A（B（C（D 6、下列说法中毛病的是（）（A ）（B ） （C ）（D）.7,,）（A（B（C（D8）（A）收敛；（B）发散；（C）纷歧定；（D）绝对收敛.三、求解下列问题（共计15分）1、（72、（8四、求解下列问题（共计15分）.17分）2闭区域（8分）五、（13其中L.六、（9在,七、（8.高等数学（下册）考试试卷（二）123交换积分次第后 4,5、设L 则曲线积分67. 8则它的Fourier二、选择题（每小题2分, 共计16分）. 1则在点（0, 0）处（ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在. 2D 上具有二阶连续偏导数, 且满足及 则（ ）（A ）最年夜值点和最小值点肯建都在D 的内部； （B ）最年夜值点和最小值点肯建都在D 的鸿沟上；（C ）最年夜值点在D 的内部, 最小值点在D 的鸿沟上； （D ）最小值点在D 的内部, 最年夜值点在D 的鸿沟上.3、设平面区域D 则有（ ）（A （B ） （C （D ）不能比力. 4、设是由曲面及 所围成的空间区域, 则（ ）（B （C ； （D 5、设在曲线弧L 上有界说且连续, L 的参数方程为, 其上具有一阶连续导数, 且）；6则曲面积分（ ）(A) 0 ；；；7、下列方程中, , （ ）8, 则（ ）(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)则必收敛.三、求解下列问题（共计15分）1、（8A（0, 1, 0）沿A指向点B （3, -2, 2）的方向的方向导数.2、（7成的闭区域D上的最年夜值和最小值.四、求解下列问题（共计15分）1、（7分）计所围成的立体域.,2、（8五、求解下列问题（15分）1、（8其中L是从A（a,0O（0, 0）的弧., 其中是2、（7分）计算的外侧., 并使曲线积分六、（15,一、填空题（每小题3分, 共计24分）120, 03、曲围成的立体, 如果将三重积分, 则I=.4,56,面所组成,导数, 则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：, 该关系式称为公式.78,二、选择题（每小题2分, 共计16分） 1,（ ）（AB ）0；（C ）D2结论正确的是（ ）（A（B（C（D3, 积分域D , 对称部份记为D上连续,）（A）0；（B）C）4）（A（B（D5L,则曲线弧Ｌ）（B（C（D M为曲线弧Ｌ的质量., 则）（A）0；（D）（A（B（C（D８、则它的Fourier展开（）（A（B）0；（C（D,,,离最短.的面积Ａ.六、（１２分）计其球面的的外侧.七、（10八、（10.高等数学（下册）考试试卷（一）参考谜底一、12、负号； 345、678、1；二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C；三、122于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0, 0）时D 内连续.所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0, 0）时,D 内除O （0, 0）外都连续,逆时针方向,, 则 六、由所给条件易得：即又,, 原级数发散；,, R=1, 收敛区间为[1, 3].高等数学（下册）考试试卷（二）参考谜底一、1、1； 2、-1/6； 3； 4、5678、0；二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、C ；三、1A （1, 0, 1）处可微, 且故在A2DD 四、12、在柱面坐标系中 所以五、12上侧, 则由Gauss 公式得：.即高等数学（下册）考试试卷（三）参考谜底一、123467二、1、C ；2、B ；3、A ；4、C ；5、A ；6、D ；7、B ；8、B即得：,离为于是由：依题意, 椭圆到直线一定有最短距离存在, 其中.由图形的对称性,于是：。