2010-2014年全国高中数学联赛加试试题(数论)

全国高中数学联赛赛前集训资料整理——数论部分1.求所有的质数对(,)p q ,使得|(55)p q pq +.解：若2|pq ,不妨设2p =,则2|(55)|(525)p q q q q +⇒+,由费马小定理知|(55)q q -,得|30q ,验证知(2,5)符合.若,p q 为奇数,且5|pq ,此时不妨设5p =,则有515|(55)|(6255)q q q q -+⇒+,当5q =时,(5,5)符合要求,当5q ≠时,由费马小定理有1|(51)q q --,故|626q ,由于q 为奇质数,但626的奇质因子只有313,故313q =.验证知符合要求,若,p q 都不等于2和5,则11|(55)p q pq --+,故11550(m od )p q p --+≡① 由费马小定理知151(m od )p p -≡② 由①②知151(m od )q p -≡-③设12(21)k p r -=-,12(21)l q s -=-,,,,k l r s 为正整数,若k l ≤,则由②③易知：2(21)12(21)2(21)(21)1212111(5)5(5)(1)1(m od )l kl kls p s r s q r r p ----------=≡==≡-≡-,这与2p ≠矛盾,因此k l >,由,p q 对称性有k l <,矛盾.此时无解.故(,)p q 为(2,3),(3,2),(2,5),(5,2),(5,5),(5,313),(313,5).2.设3k ≥,数列{}n a 满足2k a k =,且对n k >都有1 1 2 n n n n a a n a n a n -+⎧=⎨⎩与互质与不互质,证明：数列1{}n n a a --中有无穷多项是质数.证明：假设2()l a l l k =≥,p 为1l -的最小质因子,则 1 1(1,) i p l i p i p≤<⎧-=⎨=⎩.故有 1 1(22,1) i p l i l i p i p≤<⎧+-+-=⎨=⎩,由题设知12 1 1(22 l i l i i p a l p i p+-+-≤<⎧=⎨+-=⎩. 则12(222)(22)l p l p a a l p l p p +-+--=+--+-=(质数),故12(1)l p a l p +-=+-,由以上讨论,可知有无穷多个l k ≥使得2l a l =且12l p l p a a p +-+--=为1l -的最小质因子.3.已知1110()m m m m f x c x c xc x c --=++++ ,其中(0,1,,)i c i m = 是非零整数,数列{}n a 满足：10a =, 1()()n n a f a n N ++=∈,求证：(1)对于正整数,()i j i j <,1j j a a +-是1i i a a +-的倍数；(2)证明：20080a ≠. 证明：(1)当10i i a a +-=时,成立；当10i i a a +-≠时,211111()()()()m mi i i i m i i i i a a f a f a c a a c a a +++++-=-=-++- .故21i i a a ++-能被1i i a a +-整除,余下的可用数学归纳法证明.(2)假设20080a =,则1020092008(0)a a f a a -==-,由(1)可知,2007个差值213220082007,,,a a a a a a --- 都等于(0)f ±,且这些差值的和为200810a a -=,由于2007为奇数,且0(0)0f c =≠,矛盾! 故20080a ≠.第49届I MO预选题(四)第50届IMO预选题(四)费马小定理和欧拉定理的应用关于组合数的几个整除问题多项式一、带余除法与因式定理1、余数定理：多项式()f x 除以x a -的余数为()f a .2、因式定理：()()0x a p x p a -⇔=注：高次多项式因式分解常用因式定理例 1 设,,a b c 为互异的实数,()p x 为实系数多项式,如果()p x 除以x a -的余式为a ,()p x 除以x b -的余式为b ,()p x 除以x c -的余式为c .求()p x 除以()()()x a x b x c ---的余式.解：因为 (),(),()p a a p b b p c c ===所以设()()()()()()p x x a x b x c q x r x =---+,其中(())2r x ∂≤ 则 ()(),()(),()()r a p a a r b p b b r c p c c ======, 所以,,a b c 一定是()0r x x -=的根而 (())2r x x ∂-≤,所以 ()0r x x -≡即 ()r x x ≡所以()p x 除以()()()x a x b x c ---的余式为x .例2 已知()p x 是整系数多项式,1234,,,m m m m 是互不相同的整数,且1234()()()()7p m p m p m p m ====,试证：没有整数m 使得()14p m =.分析：即证()14p x =没有整数解证：因为1234,,,m m m m 是()70p x -=的根所以 1234()7()()()()()p x x m x m x m x m q x -=----,其中()q x 一定是整系数多项式 若存在整数m 使()14p m =,则有 12347147()()()()()m m m m m m m m q m =-=---- 而7为素数,矛盾.故没有整数m 使得()14p m =.注：可以根据例2中规律命制试题()i p m =素数即可.例3 设()p x 是非常数的整系数多项式,()n p 表示满足2(())10p x -=的所有不同整数x 的个数,则()deg(())2n p p x -≤,其中deg(())p x 表示()p x 的次数.分析：2(())1(()1)(()1)0()10p x p x p x p x =⇔-+=⇔-=或()10p x +=()n p 为()10p x -=与()10p x +=的整数解的个数设()10p x -=有k 个整数解12,,,k m m m ⋅⋅⋅,()10p x +=有s 个整数解12,,,s n n n ⋅⋅⋅, 则有 121()1()()()()k p x x m x m x m q x -=--⋅⋅⋅- ①122()1()()()()s p x x n x n x n q x +=--⋅⋅⋅- ②②－①得1221212()()()()()()()()s k x n x n x n q x x m x m x m q x =--⋅⋅⋅----⋅⋅⋅-证：我们证明方程 ()10p x -= ③与()10p x += ④中至少有一个方程的正根的个数不超过2.下用反证法证明.若结论不成立,设方程③与方程④均至少有3个正根.设123,,m m m 是③的3个不同正根,123,,n n n 是④的3个不同正根, 则 1231()1()()()()p x x m x m x m q x -=--- ⑤ 1232()1()()()()p x x n x n x n q x +=--- ⑥ ⑥－⑤,得123212312()()()()()()()()x n x n x n q x x m x m x m q x =------- ⑦ 不妨设 {}3123123max ,,,,,m m m m n n n =将3x m =代入⑦式得 313233232()()()()m n m n m n q m =---因为2是素数,而313233,,m n m n m n ---是互不相同的正整数,故矛盾. 所以结论得证.二、多项式恒等定理如果次数不超过n 的多项式()f x 有1n +个根,则()f x 必为零多项式,即()0f x ≡. 例4 已知自然数1m >,求出所有满足条件(())(())m p p x p x =的所有多项式()p x . 证明：当()p x c =(常数)时,由m c c =有0c =或22cossin,(0,1,,2)11k k c i k m m m ππ=+=⋅⋅⋅---当(())1p x ∂≥时,则对任意复数β,方程()p x β=一定有解,即0x ∃使0()p x β=,又00(())(())m p p x p x =,即()m p ββ=.故一切复数均为()0m p x x -=的解,即()0m p x x -=有无穷多个解,故由多项式恒等定理有()m p x x =.例5 求所有满足条件22(2)(2),f x x f x x R -=-∈的多项式()f x分析：因为222(1)1x x x -=--,2(1)1x x -=--,所以22(2)(2)f x x f x -=- 可化为2((1)1)((1)1)f x f x --=--. 解：令1y x =-,则有22(1)(1)f y f y -=- ① 令()(1)g y f y =-,则有22()(1)g y f y =-,故①式变为22()()g y g y = ② 设 1110(),n n n n g y a y a y a y a --=++⋅⋅⋅++其中0n a ≠ 则②式左边222(1)2110()n n n n g y a y a y a y a --==++⋅⋅⋅++ ②式右边212110()()n n n n g y a y a y a y a --==++⋅⋅⋅++所以有22(1)212110110()n n n n n n n n a y a y a y a a y a y a y a ----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++ ③ 下证122100n n a a a a a --==⋅⋅⋅====,用反证法,设1221,,,,n n a a a a --⋅⋅⋅0,a 中有一个不为0,设k a 是使得0i a ≠的下标最大者, 即1210,0k k k n a a a a ++-≠==⋅⋅⋅==比较2()g y 与2()g y 中n k y +的系数,因为22k n k n <+<,所以③式等号左边n k y +的系数为0,而③式右边n k y +的系数为n k a a ,所以 0n k a a =.这与0,0n k a a ≠≠矛盾,所以 122100n n a a a a a --==⋅⋅⋅====,故()n n g y a y = 再由②式有 222n n n n a y a y =. 又因0n a ≠,所以 1n a =故 ()n g y y =即(1)n f y y -=,所以有()(1)n f x x =+. 例6 确定所有符合下列条件的多项式)(x P ：0)0(1)()1(22=+=+P x P x P 且. 解：构造不动点,令.)(,0,1021n n n n x x P x x x ==+=+下证 用数学归纳法：当0000)0()(,00x P x P x n =====时，； 假设kk x x P k n ==)(时，结论成立，即.222111()(1)()111.()0()0().k k k k k n n k P x P x P x x x n k x P x x P x x P x x ++=+=+=+=+==+∴-=∴-≡≡当时，即当时，结论成立是的根，即例 7 试确定所有实系数多项式)(x P ,使得 )()2()1(t P t t tP -=- (1)对所有实系数t 均成立.(1995年 澳大利亚)解：取.0)0(10==P t ），得代入（ 取.0)1(12==P t ），得代入（则设 )()1()(x q x x x P -=代入(1),有)()1()2()1()2)(1(t q t t t t q t t t --=---, 当时，2,1,0≠t )1()(-=t q t q 则 c t q ≡)(则R c x cx x P ∈-=),1()( 另一方面,若)1()(,-=∈x cx x p R c 满足条件中的等式, 因此所求的多项式为.),1()(R c x cx x P ∈-=三、根与系数的关系例8 (1996 澳大利亚)设)(x P 是三次多项式,321,,x x x 是)(x P 的三个根,已知323121111,1000)0()21()21(x x x x x x P P P ++=-+求的值.解：设d cx bx ax x P +++=23)(,又323121111x x x x x x ++=d b ad ab x x x x x x =--=++321321 且 ,212221)0()21()21(1000d b d db P P P ⋅+=+=-+= 则1996=a b ,于是.1996111323121=++x x x x x x 四、拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式：设)(x P 为n 次多项式,则)()())(()())(()()())(()())(()()())(()())(()(1101101121012000201021n n n n n n n n n n x P x x x x x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x P --------++------+------=推论：若.)(,)()()(10c x P c x P x P x P n ≡====则 例9 设n P P P ,,,21 是半径为1的圆周上的n 个不同的点,.11,11121≥⋅⋅=∑=+-nk kn k k k k k k k k d P P P P P P P P P P d 求证：证明：以单位圆的圆心为原点,建立复平面,令k P 所对应的复数为k Z ,.,,2,1n k =则nk k k k k k k k Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z d --⋅--⋅-=+- 1121,令)())(()())(()())(()())(()(1211211312132--------++------=n n n n n n n Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z f (1)则)(Z f 的次数不超过.1-n 1)()()(21====n Z f Z f Z f .1)(≡∴Z f 特别地,取0=Z 代入(1),有1)()()1()()()1()0(111211121321=--⋅-++---=----n n n n n n nn Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z f则 )()()1()()()1(1111211121321-------++---=n n n n n n nn Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z)()()1()()()1(111211121321-------++---≤n n n n n n nn Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z nd d d 11121+++==∑=nk kd 11已知10n z -=,其单位根为22cossini w i n nππ=+,则解的集合为{}011,,,n w w w -….结论1：若{}12 n m m m ，，…，是模n 的完全剩余系,则{}{}1211,,,,,,nm m m n w w w ww w-=……结论2：设{}{}01112,,,,,,n n z z z w w w -=……,则 (1)120n z z z +++=…；(2)112(1)n n z z z +=-…；(3)12 0 (,)1m m mn n n m z z z n m ⎧+++=⎨=⎩，…，.例 10 设)(),(),(),(x S x R x Q x P 均为多项式,且满足)()1()())(()(2345255x S x x x x x R x x Q x x P ++++=++ (1),求证：1-x 是)(x P 的因式.(美国) 证明：令52sin52cosππωi +=,取），得代入（1k x ω=0)1()1()1(2=++R Q P k k ωω)4,3,2,1(=k ,)1()()1()()1(48642432=++++++++R Q P ωωωωωωωω则0)1()1()1(4=--R Q P (2) 由得,)1(k ω⨯.4,3,2,1,0)1()1()1(32==++k R Q P k k k ωωω 将4个等式相加,得0)1()()1()()1()(4333231342322212432=+++++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅R Q P ωωωωωωωωωωωω故0)1()1()1(=---R Q P (3) 得),3()2(-0)1(5=P ,则0)1(=P ,由因式定理得).(1x P x -平方差型不定方程的解法数论中的不等式问题一道巴尔干地区竞赛题的思考一道印度竞赛题的简解一道预赛题的简证一道数论题的新证法一道重要的二元二次不定方程——佩尔方程。

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1.若正数b a ,)log(log 3log 232b a b a +=+=+,则ba 11+的值为__________. 【答案】1082.设集合}21|3{≤≤≤+b a b a中的最大值与最小值分别为m M ,，则m M -=_________. 【答案】523-【解析】33125,1,2 5.1a b b a b M a ≤≤≤+≤+====由知，当时，得最大元素 33322332 3.b a a a b m a a a+≥+≥⋅====又，当时，得最小元素 3.若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则a 的取值范围为_______. 【答案】[-2,0].【解析】2[1,)()1, 2.2af x x ax a a +∞=+-≤≥-在上，单调递增，等价于-即在 2[0,1](),00.2af x x ax a a =+-≤≤上，单调递增等价于-，即[2,0].a -因此实数的取值范围是 4.数列}{n a 满足)(1)2(2,211⋅+∈++==N n a n n a a n n ，则2013212014...a a a a +++=_________. 【答案】20152013. 【解析】122(1)2(1)21n n n n n n a a a n n n --++==⋅=⋅⋅⋅-112(1)2232(1).12n n n a n n n -+⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=+- {},n n a n S 记数列的前项和为则2n-1=2+23+24++21)n S n ⨯⨯⋅⋅⋅+（23n=22+23+24++21)n S n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅+所以2（122(1)(2222)n n n n S n --=+-++⋅⋅⋅++将上面两式相减，得2(1)22.n n n n n =+-=201320142013122013220152015.220132013aa a a⨯==++⋅⋅⋅+⨯故5.已知正四棱锥ABCDP-中，侧面是边长为1的正三角形，NM,分别是边BCAB,的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是_____________.【答案】24【解析】设底面对角线AC,BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H.由于PO是底面的垂线，故PO⊥CH，又AC⊥CH，所以CH与平面POC垂直，故CH⊥PC.因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又CH=22,24CN=MN PC故异面直线与之间的2.4距离是6.设椭圆Γ的两个焦点是21,FF，过点1F的直线与Γ交于点QP,，若||||212FFPF=，且||4||311QFPF=，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.【答案】26726,b T=因此椭圆的短轴与长轴的比值为26ba=7.设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I 。

.
解答
若 a > 1 时，f (x) = a2x + 3ax − 2 在区间 x ∈ [−1, 1] 上单调递增，
则 f (1) = a2 + 3a − 2 = 8 ⇒ a2 + 3a − 10 = (a − 2)(a + 5) = 0 ⇒ a = 2；
若 0 < a < 1 时，f (x) = a2x + 3ax − 2 在区间 x ∈ [−1, 1] 上单调递减，
求 a 的最大值.
解答
f ′(0) = c,
f
′(x)
=
3ax2
+
2bx
+
c
⇒
ff
′(1) ′1
= 3a + 3
=a
2b + c, +b+c
24
2 ⇒a=
f ′(0) + f ′(1) − 2f ′
1
3
2
f ′(0) = c = 1,
⩽ 2 |f ′(0)| + |f ′(1)| + 2 f ′ 1
······ x = 99 时，y = −98, −97, · · · , 97, 98 共 197 个整点. 所以区域内部整点的个数是 98(3 + 197) = 9800.
2 4. 已知 {an} 是公差不为 0 的等差数列，{bn} 是等比数列，其中 a1 = 3, b1 = 1, a2 =
b2, 3a5 = b3，且存在常数 α, β 使得对每一个正整数 n 都有 an = logα bn + β，则
+ 5r
−
2
=
0.

2010年全国高中数学联赛江西省预赛试题（考试时间：9月24日上午8:30-11:00）一．填空题（共8题，每题10分，合计80分）1．设多项式()f x 满足：对于任意x R ∈，都有2(1)(1)24,f x f x x x ++-=-则()f x 的最小值是＿＿＿＿＿＿.2．数列{},{}n n a b 满足：1,1,2,,k k a b k == 已知数列{}n a 的前n 项和为1n nA n =+，则数列{}n b 的前n 项和nB =＿＿＿＿＿＿.3．函数21()2x f x x -=+的值域是＿＿＿＿＿＿.4．过抛物线28y x =的焦点F ,作一条斜率为2的直线l ，若l 交抛物线于,A B 两点，则OAB ∆的面积是＿＿＿＿＿＿.5.若ABC ∆为锐角三角形，满足sin cos()sin AA B B=+，则t a n A 的最大值为＿＿＿＿＿＿.6.若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为＿＿＿＿＿＿.7.将1,2,,9 随机填入右图正方形ABCD 的九个格子中，则其每行三数，每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率p =＿＿＿＿＿＿.8.将集合{1,2,12}M = 的元素分成不相交的三个子集：M A B C =⋃⋃，其中123412341234{,,,}{,,,}{,,,}A a a a a B b b b b C c c c c ===，1c ＜2c ＜3c ＜4c ，且k k ka b c +=，1,2,3,4,k =则集合C 为：＿＿＿＿＿＿.二．解答题（共2题，合计70分）9.（20分）如图，AB 是圆的一条弦，它将圆分成两部分，M 、N 分别是两段弧的中点，以点B 为旋转中心，将弓形AMB 顺时针旋转一个角度成弓形1A MB ，1AA 的中点为P ，MN 的中点为Q .求证：2MN PQ .10.（25分）给定椭圆2222:1,(x yC aa b+=＞b＞0)以及圆222:O x y b+=，自椭圆上异于其顶点的任意一点P，做O的两条切线，切点为,M N，若直线MN在,x y轴上的截距分别为,m n；证明：222222a b an m b+=.11.（25分）对于2n 个素数组成的集合122{,,,}n M p p p = ，将其元素两两搭配成n 个乘积，得到一个n 元集，如果1234212{,,,,}n n A a a a a a a -= 与1234{,B bb b b =,,212}n n b b -是由此得到的两个n 元集，其中122{,,,}n a a a =122{,,,}n b b b M =，且A B ⋂=∅，就称集合对{,}A B 是由M 炮制成的一副“对联”.(例如当2n =时，由四元集{,,,}a b c d 可炮制成三副“对联”：{,}ab cd {,}ac bd ，{,}ab cd {,}ad bc{,}ac bd {,}ad bc ).(1).当3n =时，求6元素集M {,,,,,}a b c d e f =所能炮制成的“对联”数； （2）对于一般的2n ≥，求由2n 元素集M 所能炮制成的“对联”数()T n .2010年全国高中数学联赛 江西省预赛试题答案1.-22.(1)(2)3n n n ++3.30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.455.246.837.89!8.{8,9,10,12},{7,9,11,12},{6,10,11,12}9.思路：取AB 中点E ，1A B 中点F ，可证PEBF 为菱形； 证明角MFP=角PEN ； 再证角PNE=角MPF ； 然后证角MPN 为直角10.关键步骤：设P 点坐标00(,)x y ，易的OMPN 四点共圆，此圆方程减圆O 方程得直线MN 方程200x x y y b += 11.（1）60;(2)1211()!2n n n T n C D n --=⋅⋅ (其中n D =1111!1(1)1!2!3!!n n n ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭)。