高三2011-2012期末数学试题

2011-2012学年安徽省安庆市重点中学高三（下）联考数学试卷（理科）一、选择题（本题共10小题，每小题仅有一个选项符合题意，每小题5分，共50分）． 1. 集合A ={x|y =x 12}，B ={y|y =log 2x ，x ∈R}，则A ∩B 等于（ ） A [0, +∞) B (0, +∞) C R D ⌀ 2. 如果复数2−bi 1+2i（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）A √2B 23 C −23D 23. 把函数y =sinx(x ∈R)的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A y =sin(2x −π3)，x ∈R B y =sin(x 2+π6)，x ∈R C y =sin(2x +π3)，x ∈R D y =sin(2x +2π3)，x ∈R4. 在极坐标中，定点A(1, π)，动点B 在直线ρsin(θ+π4)=√22上运动，则AB 的最短长度是（ ）A 12B 1C π3D √25. 下列四种说法中，错误的个数是（ ）①A ={0, 1}的子集有3个；②“若am 2<bm 2，则a <b”的逆命题为真；③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件；④命题“∀x ∈R ，均有x 2−3x −2≥0”的否定是：“∃x ∈R ，使得x 2−3x −2≤0” A 0个 B 1个 C 2个 D 3个6. 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A √33B √23C √22D √327. 已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式(2a √x −1√x)6的展开式中含x 2项的系数是（ ）A −6144B 192C −6D 6144 8.若实数x ，y 满足不等式组{x −2≤0y −1≤0x +2y −a ≥0，目标函数t =x −2y 的最大值为2，则实数a 的值是（ ）A 2B 0C 1D −29. 设a >b >0，则a 22+1ab +1a 2−ab 的最小值是（ ） A √22 B 2√2 C3 D 410. 已知x ∈[−1, 1]，关于x 的不等式tan 2x −4atanx +2+2a ≤0有有限个解，则a 的取值是（ ） A −tan 21+22(2tan1+1)或−12Btan 21+22(2tan1−1)或−tan 21+22(2tan1+1)Ctan 21+22(2tan1−1)或−tan 21+22(2tan1+1)或−12D −12或tan 21+22(2tan1−1)二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填写在答题卡相应横线上）． 11. 函数y =log 2x +log x (2x)的值域是________．12. 如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是________．13. 设f(x)={x 2，x ∈[0,1)1x,x ∈[1,e 2]（其中e 为自然对数的底数），则∫f e 20(x)dx 的值为________．14. 已知A 、B 、C 是圆O:x 2+y 2=1上三点，且A(1, 0)，OA →+OB →=OC →，则AB →⋅OA →=________．15. 用α、β、γ三个字母组成一个长度为(n +1)(n ∈N ∗)个字母的字符串，要求由α开始，相邻两个字母不同．例如：n =1时，排出的字符串是αβ或αγ；n =2时，排出的字符串是αβα、αβγ、αγα、αγβ（如图）．若记这种(n +1)个字符串中，最后一个字母仍是α的字符串的个数为a n ，可知a 1=0，a 2=2，a 3=2，a 4=6，…，则数列{a n }的第n 项a n 与第n −1项a n−1(n ≥2, n ∈N ∗)________．三、解答题（本大题共6小题，共计75分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 设函数f(x)=cos x4(sin x4+cos x4)−12(I)求函数y =f(x)取最值时x 的取值集合；(II)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且满(2a −c)cosB =bcosC ，求函数f(A)的取值范围．17. 对批量（即一批产品中所含产品件数）很大的一批产品进行抽样质量检查时，采取随机的一件一件地抽取进行检查．若检查4件产品未发现不合格产品，则停止检查并认为该批产品合格；若在查到第4件或在此之前发现不合格产品，则也停止检查并认为该批产品不合格．假定该批产品的不合格率为110，检查产品的件数为X ．（1）求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）求通过抽样质量检查，认为该批产品不合格的概率．18. 设多面体ABCDEF ，已知AB // CD // EF ，平面ABCD ⊥平面ADE ，其中△ADE 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，点G 为BC 边中点．若∠ADC =120∘，AD =AB =2，CD =4，EF =3． （1）求证：FG ⊥平面ABCD ；（2）求二面角F −BD −C 的大小．19. 已知数列{a n } 中，a 1＝1，a 2=14，且a n+1=(n−1)a n n−a n(n ＝2, 3, 4,…)．（1）求a 3、a 4的值； （2）设b n =1an+1−1(n ∈N ∗)，试用b n 表示b n+1并求{b n } 的通项公式；（3）设c n =sin3cosbn ⋅cosb n+1(n ∈N ∗)，求数列{c n }的前n 项和S n ．20. 设a >0，函数f(x)=lnx −ax ，g(x)=lnx −2(x−1)x+1（1）证明：当x >1时，g(x)>0恒成立；（2）若函数f(x)无零点，求实数a 的取值范围；（3）若函数f(x)有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1x 2>e 2．21.已知抛物线C 1:x 2=y ，圆C 2:x 2+(y −2)2=1的圆心为M ，点P在抛物线C1上，设点P 坐标(x 0, x 02)，且x 0≠0，x 0≠±1，过点P 作圆C 2的两条切线，并且分别交抛物线C 1于A 、B 两点．（1）设PA 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，试求出k 1+k 2关于x 0的表达式；（2）若PM →⋅AB →=0时，求x 0的值；（3）若x 0=−2，求证：直线AB 与圆C 2相切．2011-2012学年安徽省安庆市重点中学高三（下）联考数学试卷（理科）答案1. A2. C3. C4. D5. D6. A7. C8. A9. B 10. D11. (−∞, −1]∪[3, +∞) 12. π+√3313. 73 14. −3215. a n +a n−1=2n−1，(n ≥2)16. 解：(1)∵ 函数f(x)=cos x4(sin x4+cos x4)−12=12sin x2+1+cos x22−12=12 (sin x 2+cos x2)=√22sin(x 2+π4)，…故当 x 2+π4=kπ+π2，k ∈z 时，f(x)取最值，此时x 取值的集合：{x|x =kπ+π2 }，k ∈z ． …(2)∵ (2a −c)cosB =Bcosc ，∴ (2sinA −sinC)cosB =sinBcosC ， 2sinAcosB =sinCcosB +sinBcosC =sin(B +C)=sinA ． … ∴ 2conB =1，∴ B =π3．∵ f(A)=√22sin( A 2+π4)，且 0<A <2π3，∴ π4<A 2+π4<7π12，∴ 12<f(A)≤√22，故函数f(A)的取值范围为(12, √22]． … 17. 解：（1）由题设知X =1，2，3，4， P(X =1)=110，P(X =2)=910×110=9100， P(X =3)=910×910×110=811000，P(X =4)=(910)3=7291000，…∴ 随机变量X 的分布列数学期望EX =3.439…（2）认为该批量产品合格的概率是910×910×910×910， 从而该批量产品不合格的概率是P =1−(910)4=0.3439，∴ 认为该批量产品不合格的概率是0.3439…18. （1）证明：取AD 边中点H ，在等腰直角三角形ADE 中有EH ⊥AD又面ADE ⊥面ABCD ，∴ EH ⊥面ABCD ，连接GH ，由于AB // CD // EF ，且AB =2，CD =4∴ 在梯形ABCD 中，HG // AB 且HG =3，∴ HG // EF 且HG =EF ， ∴ 四边形EFGH 为平行四边形 ∴ FG // EH 且FG =EH∴ FG ⊥面ABCD…（2）解法一：在梯形ABCD 中，∠ADC =120∘，∴ ∠DAB =60∘ 又AB =AD =2，∴ ∠ADB =60∘且BD =2，∴ 在△BDC 中，BD =2，CD =4，∠BDC =60∘，∴ BD ⊥BC ， 又由（1）知FG ⊥面ABCD ，而FG ⊂面FBC ，∴ 面FBC ⊥面ABCD ∴ BD ⊥面FBC ，∴ ∠FBG 为二面角F −BD −C 的平面角．…而在Rt △FGB 中，FG =EH =1,BG =12BC =√3，∴ ∠FBG =30∘，∴ 所求二面角大小为30∘…解法二：建立如图所示的空间坐标系，A(1, 0, 0)，D(−1, 0, 0)，E(0, 0, 1)，B(0,√3，0)，HG =3，∠DHG =60∘，∴ G(−32，3√32，0)∴ F(−32，3√32，1)… ∴ 面BDC 的法向量n 1→=(0,0,1)令面BDF 的法向量n 2→=(x,y,z)，则{n 2→⋅DF →=0˙∴ {(x,y,z)⋅(1,√3，0)=0(x,y,z)⋅(−12，3√32，1)=0令y =−1，∴ n 2→=(√3,−1,2√3)，… 记<n 1→,n 2→>为θ，则cosθ=|n 1→||n 1→|˙=(0,0,1)⋅(√3，−1，2√3)1×4=√32，θ=30∘∴ 二面角大小为30∘．…19. ∵ 数列{a n } 中，a 1＝1，a 2=14， 且a n+1=(n−1)a n n−a n(n ＝2, 3, 4,…)，∴ a 3=(2−1)a 22−a 2=142−14=17，a 4=(3−1)a 33−a 3=2×173−17=110， ∴ a 3=17，a 4=110．当n ≥2时，1a n+1−1=n−a n (n−1)a n−1=n(1−a n )(n−1)a n=nn−1(1a n−1)，∴ 当n ≥2时，b n =nn−1b n−1， 故b n+1=n+1nb n ,n ∈N ∗，累乘得b n ＝nb 1，∵ b 1＝3，∴ b n ＝3n ，n ∈N ∗． ∵ c n =sin3cosbn ⋅cosb n+1=sin(3n+3−3n)cos(3n+3)⋅cos3n =tan(3n +3)−tan3n ，∴ S n ＝c 1+c 2+...+c n＝(tan6−tan3)+(tan9−tan6)+...+(tan(3n +3)−tan3n) ＝tan(3n +3)−tan3．20. （1）证明：g′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2，由于已知x >1，∴ g ′(x)>0恒成立∴ g(x)在(1, +∞)递增，∴ g(x)>g(1)=0 ∴ x >1时，g(x)>0恒成立．（2）f(x)=lnx −ax 的定义域是(0, +∞)，f′(x)=1x −a =1−ax x，由于a >0，x >0，令f′(x)>0，解得0<x <1a ， ∴ f(x)在(0,1a)上递增，在(1a，+∞)上递减．∴ f(x)≤f(1a )=−lna −1，欲使函数f(x)无零点，则只要−lna −1<0，即lna >−1，∴ a >1e ．故所求a 的范围是(1e ，+∞)．（3）因为f(x)有两个相异的零点，又由于x >0，故不妨令x 1>x 2>0，且有lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，∴ lnx 1+lnx 2=a(x 1+x 2)，lnx 1−lnx 2=a(x 1−x 2)，要证x 1x 2>e 2⇔ln(x 1x 2)>2⇔lnx 1+lnx 2>2⇔a >2x 1+x 2⇔lnx 1−lnx 2x 1−x 2>2x1+x 2⇔lnx 1−lnx 2>2(x 1−x 2)x 1+x 2⇔lnx 1x 2>2(x 1x 2−1)x 1x 2+1令t =x1x 2，则t >1，故只要证明lnt >2(t−1)t+1，t >1时恒成立，而由（1）知t >1时，lnt −2(t−1)t+1>0恒成立，即lnt >2(t−1)t+1恒成立，从而证明x 1x 2>e 2．故x 1x 2>e 2． 21. 解：（1）由于x 0≠±1，知过P 作圆M 的切线，切线斜率存在，设过点P 的切线方程：y =k(x −x 0)+x 02，即kx −y −kx 0+x 02=0与圆C 2相切， 故有：002√1+k 2=1，整理得：(x 02−1)k 2+2x 0(2−x 02)k +(2−x 02)2−1=0． 依题意，k 1，k 2是上述方程的两根，故有k 1+k 2=2x 0(x 02−2)x 02−1．…（2）设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，(x 1≠x 2)由{y =k(x −x 0)+x 02y =x 2，得x 2−kx +kx 0−x 02=0，又方程有一根为x 0， 则另一根为k −x 0，∴ x 1=k 1−x 0，x 2=k 2−x 0， ∴ k AB =x 12−x 22x 1−x 2=x 1+x 2=k 1+k 2−2x 0，由（1）知k AB =2x 0(x 02−2)x 02−1−2x 0=−2xx 02−1，又x 0≠0，所以k PM =x 02−2x 0，PM →⋅AB →=0，∴ −2xx 02−1⋅(x 02−2x 0)=−1，解得x 02=3，∴ x 0=±√3…（3）证明：由（1），（2）知k AB =x 1+x 2， 当x 0=−2时，k 1+k 2=−83，k 1k 2=1，∴ k AB =k 1+k 2−2x 0=43，x 1x 2=(k 1−x 0)(k 2−x 0)=k 1k 2−x 0(k 1+k 2)+x 02=1+2×(−83)+4=−13，而AB ：y −x 12=(x 1+x 2)(x −x 1)，即y =(x 1+x 2)x −x 1x 2=43x +13， ∴ AB 方程：4x −3y +1=0， 而圆C 2的圆心M(0, 2)， 点M 到AB 的距离是√42+32=1，圆C 2的半径为1， ∴ AB 与圆C 2相切．…。

2011-2012高一(必修一，二)数学期末试卷（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题、解答题）两部分共150分）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷一、 选择题（每小题只有唯一正确答案，请将答案填在答卷纸的表格中，每小 题5 分，共60分）1．已知U 为全集，集合M 、N 是U 的子集，若M ∩N=N ，则( ) A 、u u C M C N ⊇ B 、u MC N⊆ C 、u u C MC N⊆ D 、u MC N⊇2、过直线0121=--y x l ：和0442=++y x l ：的交点，且平行于直线01=+-y x 的直线方程为（ ）。

Ａ、x-y+２=0 Ｂ、x －y －２=0 Ｃ、2x-2y+3=0 Ｄ、2x －2y －3=03、向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量Ｖ与水深ｈ的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( ).4、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有( ).A 、1B 、2C 、3D 、4 5、若1,0,022<<>>b a b a ，则 （ ）A 、10<<<b aB 、10<<<a bC 、1>>a bD 、1>>b a 6、方程022=++-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围是（ ）A 、2≤mB 、m ＜ 2C 、 m ＜21 D 、21≤m7、木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）倍.Ａ、60Ｂ、120 Ｃ、3060 Ｄ、301208、函数y=11+-x x In是 （ ）A 、是奇函数但不是偶函数B 、是偶函数但不是奇函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数 9、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是( ) A 、11A C AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11A C 与1B C 成60角10若圆022=++b y x 与圆08622=+-+y x y x 没有公共点，则b 的取值范围是（ ）.A 、b<－5B 、b<－25C 、 b<－10D 、b<－100 11、函数(]2,1,322-∈--=x x x y 的值域：（ ）A 、[-3，0）B 、[-4,0)C 、(-3,0]D 、(-4,0]12、已知圆Ｃ方程为：9)1()2(22=-+-y x ，直线a 的方程为3x －4y －12=0,在圆Ｃ上到直线a 的距离为１的点有（ ）个。

2011-2012学年山东省某校高三第六次阶段复习达标检测数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{x ∈R|0≤x ≤2}和集合N ＝{x ∈R|x 2−x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是（ ）A B C D 2. 命题：“若−1<x <1，则x 2<1”的逆否命题是( )A 若x ≥1或x ≤−1，则x 2≥1B 若x 2<1，则−1<x <1C 若x 2>1，则x >1或x <−1D 若x 2≥1，则x ≥1或x ≤−13. 同时满足两个条件：①定义域内是减函数②定义域内是奇函数的函数是（ ） A f(x)＝−x|x| B f(x)＝x 3 C f(x)＝sinx D f(x)=lnx x4. 设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题正确的是（ ）A 若m // α，m // n ，则n // αB 若m ⊂α，n ⊂α，m // β，n // β，则α // βC 若α⊥β，m ⊥α，m ⊥n ，则n // βD 若α⊥β，m ⊥α，n // m ，n ⊄β，则n // β 5. 已知x ，y 满足条件{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3则z =y−1x+3的最大值（ ）A 3B 76C 13D −236. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于√5，则该双曲线的方程为（ ） A 5x 2−45y 2=1 B x 25−y 24=1 C y 25−x 24=1 D 5x 2−54y 2=17. 等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 3+a 7−a 10＝8，a 11−a 4＝4，则S 13等于（ ） A 152 B 154 C 156 D 1588. 若把函数y =√3cosx −sinx 的图象向右平移m(m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A π3B 23π C π6D 56π9. 在△ABC 中，B =π3，三边长a ，b ，c 成等差数列，且ac =6，则b 的值是( )A √2B √3C √5D √6 10. 设函数f(x)={log 3x ，x >0log 13(−x)，x <0若f(m)<f(−m)，则实数m 的取值范围是（ ）A (−1, 0)∪(0, 1)B (−∞, −1)∪(1, +∞)C (−1, 0)∪(1, +∞)D (−∞, −1)∪(0, 1)11. 已知函数f(x)在R 上可导，且f(x)=x 2+2x ⋅f′(2)，则f(−1)与f(1)的大小关系为（ ） A f(−1)=f(1) B f(−1)>f(1) C f(−1)<f(1) D 不确定 12. 在△ABC 中，AB =2，AC =1，BD →=DC →，则AD →⋅BD →的值为（ ） A −23 B 23 C −34 D 34二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上.）13. 由两条抛物线y 2=x 和y =x 2所围成的图形的面积为________． 14. 如图，是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为________．15. 已知A(1, 2)，B(3, 4)，C(−2, 2)，D(−3, 5)，则向量AB →在向量CD →上的投影为________． 16. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120∘的直线与椭圆的一个交点为M 若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知函数f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1． （1）求函数f(x)的单调增区间；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a =1，b +c =2，f(A)=12，求△ABC 的面积．18. 如图，平面ABCD ⊥平面PAD ，△APD 是直角三角形，∠APD =90∘，四边形ABCD 是直角梯形，其中BC // AD ，∠BAD =90∘，AD =2BC ，且AB =BC =PD =2，O 是AD 的中点，E ，F 分别是PC ，OD 的中点． （1）求证：EF // 平面PBO ；（2）求二面角A −PF −E 的正切值．19. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1=2S n+2(n∈N∗)（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插人n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，求数列{1d n}的前n项和T n．20. 已知⊙M:x2+(y−2)2=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切⊙M于A、B两点．（1）求证直线AB恒过一个定点；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程．21. 已知椭圆的两焦点为F1(−√3,0)，F2(√3,0)，离心率e=√32．（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l:y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．22. 设函数f(x)=lnx−12ax2−bx．（1）当a=b=12时，求f(x)的最大值；（2）令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(0<x≤3)，其图象上任意一点P(x0, y0)处切线的斜率k≤12恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0，b=−1，方程2mf(x)=x2有唯一实数解，求正数m的值．．2011-2012学年山东省某校高三第六次阶段复习达标检测数学试卷（理科）答案1. B2. D3. A4. D5. A6. D7. C8. C9. D10. D11. B12. C13. 1314. 34+6√5 15.2√10516. 2−√317. 解：（1）因为f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1=√32sin2x −12cos2x +cos2x=√32sin2x +12cos2x =sin(2x +π6)所以函数f(x)的单调递增区间是〔kπ−π3，kπ+π6〕(k ∈Z) （2）因为f(A)=12，所以sin(2A +π6)=12又0<A <π所以π6<2A +π6<13π6从而2A +π6=5π6故A =π3在△ABC 中，∵ a =1，b +c =2，A =π3 ∴ 1=b 2+c 2−2bccosA ，即1=4−3bc ． 故bc =1从而S △ABC =12bcsinA =√3418.解（1）证明：取BP 中点G ，连EG ，由E 为PC 中点故EG =12BC ，且EG // BC 又∵ F 为OD 中点∴ OF =12BC =12OD ，且OF // BC // OD∴ EG 与OF 平行且相等，故四边形OFEG 为平行四边形 ∴ EF // GO 则EF // 面PBO（2）连CO ，OP ，则BA // CO ，又AB ⊥AD ，面ABCD ⊥面APD ∴ CO ⊥面APD 故面COP ⊥面APD过E 作EN ⊥OP 于N ，则EN ⊥面APD 过N 作NH ⊥PF 于H ，连EH ，则EH ⊥PF ，故∠NHE 为二面角A −PF −E 的平面角 由于E 为PC 中点，故EN =12CO =12AB =1∵ ∠APD =90∘，AD =4，PD =2由O 为AD 的中点，故OD =2，又F 为OD 的中点，可知PF ⊥AD 从而NH // OD 又N 是DP 的中点∴ H 为PF 的中点 ∴ NH =12OF =12 ∴ tan∠NHE =NE NH=2∴ 二面角A −PF −E 平面角的正切值为2． 19. 解：（1）由a n+1=2S n +2(n ∈N ∗)可得a n =2s n−1+2(n ≥2) 两式相减可得，a n+1−a n =2a n 即a n+1=3a n (n ≥2)又∵ a 2=2a 1+2，且数列{a n }为等比数列 ∴ a 2=3a 1则2a 1+2=3a 1 ∴ a 1=2∴ a n =2⋅3n−1（2）由（1）知，a n =2⋅3n−1，a n+1=2⋅3n ∵ a n+1=a n +(n +1)d n ∴ d n =a n+1−a n n+1=4×3n−1n+1T n =24⋅30+34⋅31+44⋅32+⋯+n +14⋅3n−113T n =24⋅31+34⋅32+⋯+n 4⋅3n−1+n +14⋅3n 两式相减可得，23T n =24⋅30+14⋅3+14⋅32+⋯+14⋅3n−1−n+14⋅3n=12+14×13(1−13n−1)1−13−n +14⋅3n =58−2n +58⋅3nT n =1516−2n +516⋅3n−120. （1）证明：设Q(a, 0)，由题意知M ，A ，Q ，B 四点共圆，直径为MQ ，设R(x, y)是该圆上任一点， 由MR →⋅QR →=0得，x(x −a)+(y −2)y =0，即x 2+y 2−ax −2y =0．①①式与x 2+(y −2)2=1联立，消去x 2+y 2项得两圆公共弦AB 的方程为−ax +2y =3， ∴ 无论a 取何值，直线AB 恒过点(0, 32)．（2）解：连接MB ，MQ ，设P(x, y)，Q(a, 0)，点M 、P 、Q 在一条直线上，当a ≠0时，得2−a =2−y −x．②由射影定理有|MB|2=|MP|⋅|MQ|，即√x 2+(y −2)2⋅√a 2+4=1．③由②及③消去a ，并注意到y <2，可得x 2+(y −74)2=116(y <2)．当a =0时，P 点为(0, 32)，满足方程x 2+(y −74)2=116(y <2)．∴ 中点P 的轨迹方程为x 2+(y −74)2=116(y <2)． 21. 解：（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，… 则c =√3，ca =√32，…∴ a =2，b 2=a 2−c 2=1…∴ 所求椭圆方程为x 24+y 2=1．…（2）由{y =x +mx 2+4y 2=4，消去y ，得5x 2+8mx +4(m 2−1)=0，…则△=64m 2−80(m 2−1)>0得m 2<5(∗) 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−8m 5，x 1x 2=4(m 2−1)5，y 1−y 2=x 1−x 2，…|PQ|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2[(−8m 5)2−16(m 2−1)5]=2…解得.m 2=158，满足(∗)∴ m =±√304．… （3）设能构成等腰直角三角形ABC ，其中B(0, 1)，由题意可知，直角边BA ，BC 不可能垂直或平行于x 轴，故可设BA 边所在直线的方程为y =kx +1（不妨设k <0），则BC 边所在直线的方程为y =−1k x +1，由{y =kx +1x 2+4y 2=4，得A(−8k 1+4k 2，−8k 21+4k 2+1)，…∴ |AB|=√(−8k1+4k 2)2+(−8k 21+4k 2)2=8|k|√1+k 21+4k 2，…用−1k 代替上式中的k ，得|BC|=8√1+k 24+k 2，由|AB|=|BC|，得|k|(4+k 2)=1+4k 2，… ∵ k <0，∴ 解得：k =−1或k =−3±√52， 故存在三个内接等腰直角三角形．…22. 解：（1）依题意，知f(x)的定义域为(0, +∞)，当a =b =12时，f(x)=lnx −14x 2−12x ，f′(x)=1x −12x −12=−(x+2)(x−1)2x(2′)令f ′(x)=0，解得x =1．(∵ x >0)因为g(x)=0有唯一解，所以g(x 2)=0，当0<x <1时，f ′(x)>0，此时f(x)单调递增；当x >1时，f ′(x)<0，此时f(x)单调递减． 所以f(x)的极大值为f(1)=−34，此即为最大值…（2）F(x)=lnx +ax ，x ∈(0, 3]，则有k =F′(x 0)=x 0−ax 02≤12，在x 0∈(0, 3]上恒成立，所以a ≥(−12x 02+x 0)max ，x 0∈(0, 3]，当x 0=1时，−12x 02+x 0取得最大值12，所以a ≥12…（3）因为方程2mf(x)=x 2有唯一实数解，所以x 2−2mlnx −2mx =0有唯一实数解， 设g(x)=x 2−2mlnx −2mx ，则g′(x)=2x 2−2mx−2mx．令g ′(x)=0，x 2−mx −m =0．因为m >0，x >0， 所以x 1=m−√m 2+4m2<0（舍去），x 2=m+√m 2+4m2，当x ∈(0, x 2)时，g ′(x)<0，g(x)在(0, x 2)上单调递减， 当x ∈(x 2, +∞)时，g ′(x)>0，g(x)在(x 2, +∞)单调递增 当x =x 2时，g ′(x 2)=0，g(x)取最小值g(x 2)．(12′)则{g(x 2)=0g′(x 2)=0既{x 22−2mlnx 2−2mx 2=0x 22−mx 2−m =0.所以2mlnx 2+mx 2−m =0，因为m >0，所以2lnx 2+x 2−1=0(∗)设函数ℎ(x)=2lnx +x −1，因为当x >0时，ℎ(x)是增函数，所以ℎ(x)=0至多有一解． 因为ℎ(1)=0，所以方程(∗)的解为x 2=1，即m+√m 2+4m2=1，解得m =12．…。

2011-2012学年高三数学调研测试试卷（附答案）（南京市）网页版_高三试卷
注意事项：
1.本试卷共160分.考试用时120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后，交回答题纸.参考公式：
一组数据的方差，其中为这组数据的平均数.
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．计算。

2.若复数为纯虚数，则m= 。

3.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，则其方差为。

4.已知等比数列{an}的各项均为正数.若a1=3，前三项的和为21，则a4+a5+a6= 。

5.设P和Q是两个集合，定义集合.若，，则。

6.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果I为。

7.已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为cm2。

8.过椭圆的左顶点A作斜率为1的直线，与该椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B.若AM=MB，则该椭圆的离心率为。

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