圆辅助线

圆中常作哪些辅助线？通过作辅助线能使复杂问题简单化，圆问题中常用的辅助线是哪些呢？现把一些规律总结如下:弦与弦心距，密切紧相连直径对直角，圆心作半径已知有两圆，常画连心线遇到相交圆，连接公共弦遇到相切圆，作条公切线“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间一、作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.因此“弦与弦心距，密切紧相连例1.如图，AB是O O的直径，P0丄AB交O O于P点, 弦PN与AB相交于点M，求B 证：PM?PN=2PO 2分析：要证明PM?PN=2PO12，即证明PM ?—PN =PO 2 ,2过O点作OC丄PN于C,根据垂经定理-PN =PC，只需证明2爭、。

…企M0PM ?PC=PO 2，由PO_PM亠,“三点定型”法可判断需证。

_。

丈Z企OCPC PO明Rt △^OC s Rt△^MO.证明：过圆心O作OC丄PN于C,.・.PC= — PN2 •••PO 丄AB, OC 丄PN ,•••/"OP= /OCP=90 0又V/0PC= /MPO APOCsRt△PMO.PO PM 2•——=——，即•P02= PM ?PC.PC PO1•••PO 2= PM ?—PN ,.・.PM?PN=2PO 22二、连结半径与切线相互垂直”都与圆的半径有关 .连结半径是常用的方法之一例2 .已知：△KBC 中，/ B=90 0, O 是AB 上一点，以 0为圆心，以 0B 为半径的圆 切AC 与D 点，交AB 与E 点，AD=2 , AE=1.求证:CD 的长.分析：D 为切点，连结 DO ,/ODA=90 0.根据切线长定理A CD=CB.DO=EO= 半径r ，在Rt △ADO 中根据勾股定理或 Rt △ADO- Rt △KBC ，求出 CD.证明：连结DO••QD 丄 AC 于 D, •••JOCP=90 0 ••AB 过 O 点，/B=90 0.•••BC 为O O 的切线，•••CD=CB 设 CD=CB=x,DO=EO=y 在 Rt △KDO 中，AO 2 =AD 2+ DO 2, AD=2 , AE=1 3 .•(1+y) 2=2 2+y 2, • y= 一2在 Rt △KBC 中，AC 2=AB 2+ BC 2，即(2+x) 2=(1 +•••CD=3. 三、连结公共弦第2页共9页 二_圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如:“同圆的半径相等”和“过切点的半径3+3)2+x 2,.・.X=32 2在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把A“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦例3 .已知：如图，O O i和O 02相交于点A和B,0201的延长线交O 0i于点C, CA、CB的延长线分别和O 02相交于点D、E,求证：AD=BE.分析：O 01和O 02是相交的两圆，作公共弦AB为辅助线.证明：连结AB交0201于P点，•••01 02丄A B且01 02的平分AB•••CA=CB•••ZAC P= /BC P•••点02到线段AD、CE的距离相等•••AD=BE.四、作连心线两圆相交，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切，连心线必过切点.通过作两圆的连心线，可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系.因此，“已知有两圆，常画连心线.”例4 .已知：如图，O A和O B外切于P点, O A的半径为r和O B的半径为3r, CD为O A、••AC 丄CD , BD 丄CD第3页共9页•••/BAC= 90 0•••AB 丄 A C .O B 的外公切线，C 、D 为切点，求：（1 ） CD与弧PD 及弧PC 所围成的阴影部分的面积解：连结AB 、AC 、BD• O A 和O B 外切于P 点，••• AB 过P 点 •••CD 为O A 、O B 的外公切线，C 、D 为切点,过A 点作AE 丄BD 于E ,则四边形 ACDE 为矩形.的长；（2）•••/BAC= 90 0•••AB 丄 A C .题中，所作的内公切线 MN 起到沟通两圆的作用.因此，相切两圆过切点的公切线是常用辅 助线.例5 .已知：O O i 和O O 2外切于点A , BC 是O 求证：AB 丄A C证明：过切点A 作公切线MN 交BC 于P 点,•••BC 是O 01和O 02外公切线,.•.PB = PA=PC•••/PBA= /PAB ,/P AC= /PCA •//PBA+ /P AB+ /P AC+ /P CA= 180 0•••DE=AC= r , BE=BD-DE=3r-r=2r 在 Rt △AEB 中，AB=AP+PB=r+3r=4r ,BE=2r••AE= J AB 2 - BE 2 = J16r 2 -4r 2 =273r .•••CD=2 J 3 r .•••COSB=匹卫」，•/B=60 0.AB 4r 2•••2CAB= /CAE+ /BAE=90 0+3O 0=120 0•S 阴影=S 梯形ABDC -S 扇形BPD -S 扇形ACP_ 3 1— =4 V 3 r 2 -------- n r 2 ------- 冗r 2 = (4 J 3 —2 311—n) r 2.6五、作公切线分析：相切两圆过切点有一条公切线,这条公切线在解题时起着非常重要的作用，如本01和O 02外公切线，B 、C 为切点 N六、切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是：“经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”就是说, 要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条: (1 )直线经过半径的外端，(2)直线垂直于这条半径，所以，在证明直线是切线时，往往需要通过作恰当的辅助线，才能顺利地解决问题•下面是添辅助线的小规律1 .无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线, 证明垂足到圆心的距离等于半径D例6 .已知：如图，AB是半圆的直径，AD丄AB于A , BC丄AB于B,若/DOC= 90 0.求证：DC是半圆的切线.A分析：DC与O O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OE丄DC,只需证0E等于圆的半径•因为AO为半径，若能证OE=OA即可•而0E、0A 在MEO、8AO 中，如何证明ADEO空DAO呢?证明：作OE丄DC于E点，取DC的中点F,连结OF.又•••/DOC= 90 0••• FO=FD••AD 丄AB , BC 丄AB,••• /2= /3.•••OF为梯形的中位线.•••OF /AD .•••DO是/ADE的角平分线.••OA 丄DA , OE 丄DC ,•••OA=OE=圆的半径.• DC是半圆的切线.2 .有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直例7 . AB为O O的直径，BC为O O的切线，切点为B, OC平行于弦AD，求证：CD是O O的切线.分析：D在O O上，“有点连圆心”，连结DO，证明DO丄DC即可.证明：连结DO , V OC //AD •••/DAO= /COB , /DAO= /DOC •••JDOC= /COB，又OC=OC , DO=BO •••△DOC ^^BOC •••/ODC= /OBC ,•••BC为O O的切线，切点为B •••/OBC=90 0［课后冲浪］•••/ODC=90 0，又 D 在O O 上,•••CD是O O的切线.一、证明解答题且AB=CD.求证：P0平分/BPD .0相切.19 •如图，学校 A 附近有一公路 MN ，—拖拉机从 P 点出发向PN 方向行驶，已知/ NPA=30 °,AP=160米，假使拖拉机行使时，A 周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为 18千米/小时，则受噪音影响的时间是多少秒?20 .如图，A 是半径为1的圆0外的一点，0A=2 切线，B 是切点，弦BC//0A ，连结AC ，求阴影部分的面积.16 .已知：P 是O O 外一点，PB , 17 .如图，A ABC 中，/C=90 圆0分别与AC 、BC 相切于 M 、N ,如果 A0=15 cm, BO=10 cm,求圆 O18 .已知：CABCD 的对角线 AC 、BD 交于0点，BC 切O 0于E 点.求证：AD 也和OPPD 分别交O 0于A 、B 和C 、_■CD 是弦，AE 丄CD ，垂足为 E,BF 丄CD ，垂足为02为圆心，0i 02为半径作一个圆交O 01于C ,AF.求证：DE=CF.D .直线0i 02分别交O 0i 于延长线和O 结AC , BC .⑴求证：AC=BC ;⑵设O 0i 连AD , BD ,求证：四边形ADBC 是菱形;0i , O 02于点A 与点B .连的面积. 23 .已知：如图， AB 是O 0的直径，BC 是O 0的切线，连 AC 交O 0 21 .如图，已知 AB 是O O 的直径,22 .如图，02是O O i 上的一点，以于D ，过D 作O O 的切线EF ,交BC 于E 点.求证：OE //AC.二、探索题BC 是O O 的切线，切点为B , OC 平行于弦 AD .求察P 点在DE 的什么位置？并说明理由B24 .已知：图a, AB 是O O 的直径, 证：（1） DC 是O O 的切线，（2 ）过D 点作DE 丄AB ，图b 所示，交AC 于P 点，请考。

( 1 )AC与☉D相切吗?
( 2 )你能找到AB,BE,AC之间的数量关系吗?
解:( 1 )AC与☉D相切.
( 2 )AC=AB+BE.
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类型6 连切点,得垂直
14.如图,☉O与矩形ABCD的边BC相切于点G,与AD相交于点E,F,若EF=CD=4,则☉O的半径为
2.5 .
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在 Rt△OEC 和 Rt△OFD 中,OE=OF,OC=OD,
∴Rt△OEC≌Rt△OFD( HL ),
∴∠COE=∠DOF,∴ = ,∴AC=BD.
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类型 2 作垂直,用“垂径”
4.如图,以点 O 为圆心的两个圆中,大圆的弦 AB 交小圆于点 C,D,已
知 AB=4,CD=2,点 O 到弦 AB 的距离等于 1,那么这两个圆的半径之
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2 021年8 月下午 6时32 分21.8.7 18:32A ugust 7, 2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2 021年8 月7日 星期六6 时32分 23秒18 :32:237 August 2021要 自强不 息。下 午6时32 分23秒 下午6 时32分1 8:32:23 21.8.7
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谢谢观赏
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我们，还在路上……
∵AC=2,∴BD=1,∴S 阴影=S△DEB=
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类型 4 连半径,证垂直
12.如图,AB 是☉O 的直径,AC 是弦,弦 AE 平分∠BAC,ED⊥AC,交 AC
的延长线于点 D.

中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。

百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。

添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。

下面以几道题目为例加以说明。

1. 有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

例1 如图1, O O的弦AB、CD相交于点P,且AC=BD。

求证：PO平分/ APD。

=> OE=OF ]/ OEP= / OFP=90 °=> △OPE^A OPF0OP=OP=> / OPE= / OPF => PO 平分/ APD分析2:如图1-1，欲证PO平分/ APD，即证分析1：由等弦AC=BD可得出等弧AC BD,进一步得出A B = C D，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线丄CD,易证△ OPE^A OPF,得出PO平分/ APD。

证法1 :作OE丄AB于E, OF丄CD于F(=>(=AB CDAC=BD A C B D=> AB=CDOE丄AB, OF/ OPA= / OPD，可把/ OPA与/ OPD构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA，OD，因此易证△ ACP^A DBP,得AP=DP，从而易证△ OPAOPDODP B图1-1证法2:连结OA, OD。

/ CAP= / BDP/ APC= / DPB => △ACP^A DBPAC=BD=>AP=DP、OA=O D => △ OPAOPD => / OPA= / OPD =>PO 平分/ APD OP=OP J2. 有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。

专题16 圆的有关性质常用的七种辅助线（原卷版）类型一连半径遇到弦时，连半径。

作用：①链接圆心和弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形。

②连接圆周上一点和弦的两个端点们根据圆周角的性质得到相等的圆周角。

1．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（）A．70°B．55°C．45°D．35°2．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°3．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，则α取值范围是（）A．36°≤α≤45°B．45°≤α≤54°C．54°≤α≤72°D．72°≤α≤90°4．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD 的长为（）A．1B．2√2C．√2D．√3二、见弦作弦心距解决有关弦的问题，长作弦心距，或者垂直于弦的半径，再连接过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦、弦心距的关系；③利用弦的一半，弦心距和半径组成的直角三角形，根据勾股定理求有关量。

5．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C 的纵坐标为．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心AC为半径作弧AD交AB于D，求AD的长．7．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5√3，求弦CD及圆O的半径长．类型三见直径构造直角，见直角连接直径遇到直径时，常添加直径所对的圆周角，遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点。