三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质

三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。本文将探讨三角函数的图像与性质，并通过图像展示它们的特点。

一、正弦函数（sine function）

正弦函数是最基本的三角函数之一，常用符号为sin(x)。它的图像是一条连续的曲线，表现出周期性的波动。正弦函数的性质如下：

1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即在每个2π的区间内，函数的值会重复。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。这意味着它的图像关于原点对称。

3. 取值范围：正弦函数的值域在[-1, 1]之间，即函数的值不会超过这个范围。

二、余弦函数（cosine function）

余弦函数是另一个常见的三角函数，常用符号为cos(x)。它的图像也是一条连续的曲线，与正弦函数的图像非常相似。余弦函数的性质如下：

1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。

2. 对称性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。这意味着它的图像关于y轴对称。

3. 取值范围：余弦函数的值域也在[-1, 1]之间，与正弦函数相同。

三、正切函数（tangent function）

正切函数是三角函数中的另一个重要概念，常用符号为tan(x)。正切函数的图像也是一条连续的曲线，但与正弦和余弦函数有所不同。正切函数的性质如下：

1. 周期性：正切函数的周期为π，即在每个π的区间内，函数的值会重复。 2. 奇点：正切函数在π/2和-π/2处有奇点，即函数在这些点上无定义。

3. 取值范围：正切函数的值域为整个实数轴，即它可以取到任意的实数值。

四、其他三角函数

除了正弦、余弦和正切函数，还有许多衍生的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等。它们的图像和性质与前面介绍的三角函数类似，只是在计算和应用中有一些特殊的情况。

五、图像展示

为了更好地理解三角函数的图像与性质，下面是一些图像展示：

第1页 §三角函数的图像与性质

一、知识要点、方法梳理

1．三角函数图像及性质

函数 正弦函数 余弦函数 正切函数

图

像

定义域 R R Zkkxx,2|

值域 ]1,1[

]1,1[ R

周期性 2 2 

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

对称中心 )0,(k（Zk）即正弦值为0的点 )0,2(k（Zk）即余弦值为0的点 )0,2(k（Zk）

对称轴 kx2（Zk） kx（Zk） 无

单调性

区间：]22,22[kk，（Zk）是增区间；

区间：]223,22[kk，（Zk）是减区间； 区间：]2,2[kk，（Zk）是增区间；

区间：]2,2[kk，（Zk）是减区间； 区间：)2,2(kk（Zk）是增区间

2. 三角函数图像的五点作图法：如正弦：)0,0(；)1,2(；)0,(；)1,23(；)0,2(，

余弦：)1,0(；)0,2(；)1,(；)0,23(；)1,2(

这五点是函数图像在一个周期内的最高点、最低点与平衡点。

3．函数图像的变换：

振幅变换：)(xfy 横坐标不变，纵坐标伸长（或缩短）为原来的A倍 )(xAfy 第2页 周期变换：)(xfy

纵坐标不变，横坐标伸长（或缩短）为原来的w1倍 )(wxfy

相位变换：)(xfy 向左（或向右）平移个单位 )(xfy

平移变换：)(xfy 向上（或向下）平移k个单位 kxfy)(

（其中kwA,,,为正数）

二、易错细节与常用小结论梳理

1．三角函数的周期问题：

○1函数kwxAy)sin(、kwxAy)cos(，|)sin(|hwxAy（Rx且,,A为常数，且,0Ah）的周期||2wT。

三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质

sinyx

sinyAxk



图像

值域

周期

对称轴

2xk





2xk





对称中心（零点）

令xk



代入求y

令xk



代入，求出x和y

单调增区间

2,2

22xkk







2,2

22xkk









单调减区间3

2,2

22xkk







3

2,2

22xkk









cosyx



cosyAxk



图像

值域

周期

对称轴xk



xk



对称中心（零点）

2xk





代入，求y

2xk





求出x和y

单调增区间

2,2xkk



2,2xkk



单调减区间

2,2xkk



2,2xkk



tanyx

图像定义域值域周期单调性与对称性

性质【考点分类】

考点一：图像变换：

1．把函数y

＝sinx

的图象向右平移个单位得到y

＝g

（x

）的图象，再把y

＝g

（x

）图象上所有点的纵坐标伸长到

原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）

A．

B．

C．

D．

2．将函数f

（x

）＝sinx

图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g

（x

）的图象，若

g

（x

）的最小正周期为6π，则ω＝（）

A．B．6

C．D．3

3．将函数y

＝2sin2x

图象上的所有点向右平移

个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐

标不变）得到y

＝f

（x

）的图象，则f

（x

）等于（）

A．2sin（x

﹣）B．2sin（x

﹣）C．2sin（4x

﹣）D．2sin（4x

﹣）

4．已知曲线C

1：y

＝cosx

，C

2：y

＝sin（2x

+），则下面结论正确的是（）

A．把C

1上各点的横坐标伸长到原来的2

倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C

2

B．把C

1上各点的横坐标伸长到原来的2

倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C

2

C．把C

一轮复习数学导学案

- 1 - 学科 数学 班级 设计教师 课时 6

课题 三角函数及函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质

知识储备：

一.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域 x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z

值域

单调性 递增区间是

[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)，

递减区间是

[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z) 递增区间是

[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，

递减区间是

[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 递增区间是

(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)

最值 ymax＝1；ymin＝－1 ymax＝1；ymin＝－1 无最大值和最小值

奇偶性

对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z kπ＋π2，0，k∈Z kπ2，0，k∈Z

对称轴 x＝kπ＋π2，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴

最小正周期

一、三角函数奇偶性的判断技巧

1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

2．若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)．

二、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝ f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

三、由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象

(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移 一轮复习数学导学案

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小试牛刀：

1．函数y＝tan 3x的定义域为( )