数值分析期中复习题

数值分析期末考试复习题及其答案

1. 已知都有6位有效数字，求绝对误差限.（4分）

解:

由已知可知,n=6

2分

2分

2. 已知 求 （6分）

解：

1分

1分

1分

= 2分

1分

3. 设 （6分）

① 写出f(x)=0解的Newton迭代格式

② 当a为何值时， （k=0,1……)产生的序列收敛于

解:

①Newton迭代格式为： 3分

② 3分

4. 给定线性方程组Ax=b，其中： ，用迭代公式（k=0，1……）求解Ax=b,问取什么实数，可使迭代收敛 （8分)

解：

所给迭代公式的迭代矩阵为 2分

其特征方程为 2分

即，解得 2分

要使其满足题意，须使,当且仅当 2分

5. 设方程Ax=b，其中 ，试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收敛性，并建立Gauss—Seidel迭代格式 （9分）

解：

3分

2分

本章习题中有几道题不会做，待再复习时完善。

第3章

复习与思考题

1、设f C [a , b]，写出三种常用范数

12||||,|||,|||.fff



答：

1|||||()|b

affxdx

2

2||||()b

affxdx

||||max|()|

axbffx





2、f , g C [a , b]，它们的内积是什么？如何判断函数族{

0, 

1, …, 

n}C [a , b]在[a ,b]上线

性无关？

解：f , g C [a , b]，其内积为

(,)()()b

afgfxgxdx

函数族{

0, 

1, …, 

n}C [a , b]在[a ,b]上线性无关，必须满足矩阵G的行列式不等于0

11121

21222

12(,)(,)...(,)

(,)(,)...(,)

............

(,)(,)...(,)n

n

nnnnG















 ，det0G

。

3、什么是函数f C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳一致逼近多项式？

解：

设()

npx

为最佳逼近函数，则f C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳一致逼近多项式

*

||()()||min||()()||

nfxpxfxpx

取∞-范数，则

*

||()()||min{max|()()|}

n

axbfxpxfxpx



4、什么是f 在[a , b] 上的n次最佳平方逼近多项式？什么是数据

m

if

0的最小二乘曲线拟

合？

解：

设()

npx

为最佳逼近函数，则f C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳平方逼近多项式

*22

||()()||min||()()||

nfxpxfxpx

取2-范数，则

*22

||()()||min{()()}b

n

afxpxfxpxdx

问题：为什么选择不同的范数求解？

由于各种范数的收敛性保持一致，因此可以选择最有利于求解的范数进行求解。

数值分析复习资料

一、重点公式

第一章 非线性方程和方程组的数值解法

1）二分法的基本原理，误差：~12kbax

2）迭代法收敛阶：1lim0ipiic，若1p则要求01c

3）单点迭代收敛定理：

定理一：若当,xab时，(),xab且'()1xl，,xab，则迭代格式收敛于唯一的根；

定理二：设()x满足：①,xab时，(),xab，

②121212,,, ()(),01xxabxxlxxl有

则对任意初值0,xab迭代收敛，且：

110111iiiiixxxllxxxl

定理三：设()x在的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1，则迭代格式具有局部收敛性；

定理四：假设()x在根的邻域内充分可导，则迭代格式1()iixx是P阶收敛的()()()0,1,,1,()0jPjP（Taylor展开证明）

4）Newton迭代法：1'()()iiiifxxxfx，平方收敛

5）Newton迭代法收敛定理：

设()fx在有根区间,ab上有二阶导数，且满足：

①：()()0fafb；

②：'()0,,fxxab；

③：'',,fxab不变号 ④：初值0,xab使得''()()0fxfx；

则Newton迭代法收敛于根。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiifxfxfxxxxxfxfxfxfxfxfxxx

收敛阶：152P

7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改

①：已知根的重数r，1'()()iiiifxxxrfx（平方收敛）

②：未知根的重数：1''()(),()()()iiiiuxfxxxuxuxfx，为()fx的重根，则为()ux的单根。

1数值分析总复习提纲

数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概

括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与

数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭

代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。

一、误差分析与算法分析

误差分析与算法设计包括这样几个方面：

（一）误差计算

1、截断误差的计算

截断误差根据泰勒余项进行计算。 基本的问题是(1)

1()

(01)

(1)!n

nfx

x

n





，已知ε求n。

例1．1：计算e的近似值，使其误差不超过10－6

。

解：令f(x)=ex

,而f（k)

(x)=ex

,f（k)

(0)=e0=1。由麦克劳林公式，可知

2

1

1(01)

2!!(1)!nx

xnxxe

exx

nn







当x=1时，11

11(01)

2!!(1)!e

e

nn





 故3

(1)

(1)!(1)!ne

R

nn



。

当n＝9时，R

n(1)<10－6

，符合要求。此时，

e≈2.718 285。

2、绝对误差、相对误差及误差限计算

绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。

基本的计算公式是：

①e(x)＝x

*

－x＝△x＝dx

②

*()()

()ln

rexexdx

exdx

xxx

③(())()()()efxfxdxfxex



④(())(ln())

refxdfx

⑤

121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()

xxxxefxxfxxdxfxxdxfxxexfxxex

 ⑥12

12

12((,))

((,))

(,)fxx

fxx

fxx



 2⑦

x





注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系

而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式

()

()

rex

ex

x或

x