知识点总结4 平面向量一．平面向量向量的线性运算向量运算加法减法数乘几何表示首尾相接 指向终点起点重合 指向对顶点起点重合 指向被减向量(1)|λa |＝|λ||a |，(2)当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．平面向量基本定理e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ . 我们把不共线的向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 叫做表示这一平面的一组基底. 3．“爪”子定理形式1：在△ABC 中，D 是BC 上的点，如果|BD |＝m ，|DC |＝n ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n m+nAB⃗⃗⃗⃗⃗ +m m+nAC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 形式2：在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD →＝λBC →，则AD →＝λAC →＋(1－λ)AB →，特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 二．平面向量的坐标运算1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2.向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.3.向量加法、减法、数乘运算及向量的模：设坐标表示 a =(x 1,y 1),b⃗ =(x 2,y 2)，则 a +b ⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2)， a −b ⃗ =(x 1−x 2,y 1−y 2)， λa =(λx 1,λy 1)， |a |＝x 21＋y 21.三．平面向量的数量积 1.向量a 与b⃗ 的夹角 已知两个非零向量a 和b ⃗ .作OA ＝a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ⃗ ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b ⃗ 的夹角. 当θ＝0°时，a 与b ⃗ 同向； 当θ＝180°时，a 与b⃗ 反向. 如果a 与b ⃗ 的夹角是90°，我们说a 与b ⃗ 垂直，记作a ⊥b ⃗ . 2.平面向量的数量积(1)若a ，b ⃗ 为非零向量，夹角为θ，则a ∙b ⃗ =|a |∙|b ⃗ |cosθ. (2)设a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ∙b ⃗ =x 1x 2+y 1y 2. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a ∙b ⃗ =b ⃗ ∙a (交换律)；(2)λa ∙b ⃗ ＝λ(a ∙b ⃗ )＝a ∙(λb ⃗ ) (结合律)； (3)(a +b ⃗ )∙c =a ∙c +b ⃗ ∙c (分配律)． 4.平面向量数量积运算的常用公式 (1) (a +b ⃗ )∙(a −b ⃗ )=(a )2−(b⃗ )2． (2)(a +b ⃗ )2=(a )2+(b ⃗ )2+2a ∙b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2+2a ∙b ⃗ ． (3)(a −b ⃗ )2=(a )2+(b ⃗ )2−2a ∙b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2−2a ∙b ⃗ ． (4)极化恒等式：a ∙b ⃗ =14[(a +b ⃗ )2−(a −b ⃗ )2]； (平行四边形模式)a ∙b⃗ =14[|AC |2−|DB |2] 5.利用数量积求长度(1)若a =(x,y)，则|a |=√(a )2=√a ∙a =√x 2+y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：|AB |=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.6.利用数量积求夹角：设a ，b ⃗ 为非零向量，若a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，θ为a ，b ⃗ 的夹角， 则cosθ=a⃗ ∙b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=1212√x 1+y 1∙√x 2+y 27.向量的投影向量a 在向量b ⃗ 上的投影为:|a |cosθ=a⃗ ∙b ⃗|b ⃗ |． 向量a 在向量b ⃗ 上的的投影向量为：|a |cosθ∙b ⃗|a ⃗ |=a ⃗ ∙b ⃗|b⃗ |∙b ⃗|b ⃗ |. 四．平面向量的平行与垂直1.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a =(x 1,y 1),b⃗ =(x 2,y 2)，则 (1)a ∥b ⃗ ⇔a ＝λb ⃗ (b ⃗ ≠0⃗ )⇔x 1x 2＝y 1y 2⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ⃗ ⇔a ·b ⃗ ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)与a 同方向的单位向量为：a⃗ |a ⃗ |=√x 2+y2y)=(√x 2+y2√x 2+y 2),与a 共线的单位向量为：±a ⃗ |a ⃗ |=√x 2+y 2y)=√x 2+y 2√x 2+y 2).2.三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 五．奔驰定理与三角形“四心”1.奔驰定理:如图，已知P 为ABC 内一点，则有0PBCPACPABSPA SPB SPC ++=.2.奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC 内的一点,且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=,则::::BOCCOAAOBS SSx y z =已知点O 在ABC 内部，有以下四个推论： ①若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=；①若O 为ABC 的外心，则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；或OA OB OC == ①若O 为ABC 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=；备注：若O 为ABC 的内心，则sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=也对.①若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，或OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅。
特别提醒：①,sin()sin ,sincos 22A B C A B C A B C π++=-+==： ②锐角三角形⇒sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭⇒sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.（2）正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径). 注意：①正弦定理的一些变式： ()sin sin i a b A B :=:；()sin 2a ii A R =；()2sin iii a R A =； ②已知三角形两边及一边的对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. （3）余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-=等， 解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.（4）面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）. （5）大边对大角：当出现多个解时，常用于判断哪些是符合题意的解、哪些不是.在三角形中，sin sin A B A B >⇔>，这是“正弦定理+大边对大角”的应用.14. 致命易错点提示：（1）特殊角三角函数值、诱导公式和三角变换公式使用错误；（2）大题第一步化简错误（应在化简完后立刻检验）；（3）已知三角函数值求角、同角三角函数之间的互化、三角函数值域和最值的研究经常会忽略角的范围.第五部分 平面向量1. 向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，叫向量. 向量常用有向线段来表示.注意向量和数量的区别.（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量.(与AB 共线的单位向量有两个：AB±,一个同向，一个反向).（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性.（5）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量, a 的相反向量是－a .（6）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行.提醒：①两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念，两个向量平行包含基线平行与重合两种情况, 但两条直线平行不包含两条直线重合.②三点A B C 、、共线⇔AB ∥AC .2. 向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意前为起点，后为终点.（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等.（3）坐标表示法：在平面直角坐标系内，以与x 轴、y 轴正方向同向的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示.如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.3. 平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2.如:（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（用,a b 表示）（答：1322a b -）. （2）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）.4. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：（1）;a a λλ=（2）当λ0>时，λa 的方向与a 的方向相同;当λ0<时，λa 的方向与a 的方向相反;当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0. 5. 平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角.当θ＝0时，a ，b 同向;当θ＝π时，a ，b 反向;当θ＝2π时，a ，b 垂直.（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积，或点积），记作：b a ⋅，即b a ⋅＝cos a b θ.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注意数量积是一个实数，不再是一个向量.如：①2=5=，3-=⋅b a ，则a b +等于____.） ②已知非零向量,a b 满足a b a b ==-，则,a a b 〈+〉的大小为____.（答：30）（3）b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0. 如:已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在→b 上的投影为____.(答：512) （4）b a ⋅的几何意义：数量积b a ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影数量的积.（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：①0=⋅⇔⊥b a b a .②当a ，b 同向时，b a ⋅＝a b ，特别地，22||a a a a =⋅=，||a = 当a 与b 反向时，b a ⋅＝－a b .当θ为锐角时，b a ⋅＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件.当θ为钝角时，b a ⋅＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件.③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：||||cos b a b a =θ ④||||||b a b a ≤⋅.如 ：已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______.（答：43λ<-或0λ>且13λ≠） 6．向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行.向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=.②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么， 由减向量的终点指向被减向量的终点.注意：此处减向量与被减向量的起点相同.（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±.②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==.③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.④平面向量数量积：2121y y x x b a +=⋅.⑤向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+.⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则||AB =.7. 向量的运算律： （1）交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ⋅=⋅.( 2 ) 结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅.（3）分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+， c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(.如:在下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(.② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(. ③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+. ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b . ⑤ 若,a b c b ⋅=⋅则a c =.⑥22a a =. ⑦2a bb a a ⋅=.⑧222()a b a b ⋅=⋅. ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+.其中正确的是______.（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约). （2）向量的“乘法”不满足结合律，即c b a c b a )()(⋅≠⋅.(为什么？)8. 向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔=22()(||||)a b a b ⇔⋅=1212x y y x ⇔-＝0.如:(1)已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝___.（答：4）.(2)设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 三点共线.（答：－2或11）9. 向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=.如：已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m = .（答：32）10．向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用.（2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+，特别地，当 a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-. 当 a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.当 a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+. (这些和实数比较类似)（3）在ABC ∆中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心坐标为123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 如 ：若ABC ∆的三边的中点坐标分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC ∆的重心坐标为_______.（答：24(,)33-） ②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心， 特别地，0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心.③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心.④向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠的基线经过ABC ∆的内心. （4）P 为12P P 的中点122MP MP MP +⇔=. （5）向量 PA PB PC 、、的终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、，使得PA PB PC αβ=+，且1αβ+=.如：平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是____. （答：直线AB ） 第六部分 数列1．数列的定义：数列是一个定义域为正整数集*N （或它的有限子集{}n ,,3,2,1 ）上 的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.2. 一般数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 3. 等差数列的概念：（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）.（2）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-.（3）等差数列的前n 项和：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+， 注意n S 与中间项的关系.（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,2a b A +=. 4．等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是。
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。
考点：平面向量的基本概念1．下列命题中，正确的是( )． A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b B ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 C ．若k a ＝0，则k ＝0或a ＝0D ．若a ，b 都是非零向量，则|a ＋b |＞|a －b |解析 对于A ，显然不能得知a ＝b 或a ＝－b ，因此选项A 不正确；对于B ，易知不正确；对于C ，易知正确；对于D ，注意到(a ＋b )2－(a －b )2＝4a ·b ，显然a ·b 与零的大小关系不确定，因此选项D 不正确．综上所述，选C. 答案 C2．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上． 其中不正确命题的序号是________． 解析 ①中，∵向量AB →与BA →为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误． ③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确． ④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 ②④⑤考点：平面向量的线性运算1、如图，在平行四边形OADB 中，设OA →＝a ， OB →＝b ，B M →＝13BC →， CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →， O N→及MN →.解 由题意知，在平行四边形OADB 中， BM →＝13B C →＝16 BA →＝16( OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ， 则OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .ON →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .2、(1) (2013·四川卷)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λ AO →，则λ＝________.(2)已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且PA →＋PB →＋PC →＝AC →，那么一定有 ( )． A.PB →＝2CP → B.CP →＝2PB → C.AP →＝2PB → D.PB →＝2AP → 解析 (1)∵AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2. (2)∵PA →＋PB →＋PC →＝AC →＝PC →－PA →，∴PB →＝－2PA →＝2AP →. 答案 (1)2 (2)D3、在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ＝ ( )． A.a ·a －b |a －b | B.a ·b －a |a －b | C.a ·a －b|a －b |2D.a ·b －a|a －b |2解析 由AD →＝λAB →，∴|AD →|＝λ|AB →|.又∵|AD →|＝|a |cos A ＝|a |·a ·a －b |a ||b －a |＝a ·a －b |b －a |，|AB →|＝|b －a |，∴λ＝a ·a －b |b －a |2＝a ·a －b|a －b |2.故选C. 答案 C4．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE → 解析 由图可知EF →＝OF →－OE →.答案 B5．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )． A.15 B.25 C.35 D.45解析设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C6．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)． 解析 由AN →＝3NC →，得4AN →＝3 AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .答案 －14a ＋14b7．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ；AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 8．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛ 12OA →＋12OB →＋⎭⎫2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )． A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B 9.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →. 解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b .又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b .考点：向量共线定理及其应用1、设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b . 又a ，b 是两不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.2、已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为_____． 解析 由于c 与d 同向，所以c ＝k d (k ＞0)， 于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又因为k ＞0，所以λ＞0，故λ＝1. 答案 13．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 答案 A4．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________．解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.答案 －1。
