2017届高考复习+数列与三角+2016年高考真题学案

4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形

1．正弦定理和余弦定理

定理 正弦定理 余弦定理

内容 ＝ ＝ ＝2R(R为△ABC外接圆半径) a2＝

；

b2＝ ；

c2＝

变形形式

a＝

，b＝ ，c＝ ；

sin A＝

，sin B＝ ，

sin C＝

；

a∶b∶c＝ ；

a＋b＋csin A＋sin B＋sin C

＝asin A cos A＝ ；

cos B＝ ；

cos C＝

2.三角形中常用的面积公式

(1)S＝12 ah(h表示边a上的高)；

(2)S＝12bcsin A＝ ＝ ；

(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

[做一做]

1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝( )

A.15 B.59

C.53 D．1

2．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cos B＝45，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝________．

1．辨明两个易误点

(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．

(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

2．三角形解的判断

A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式 a＝bsin A bsin Ab

解的个数 一解 两解 一解 一解

[做一做]

3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形( )

A．无解 B．有两解

C．有一解 D．解的个数不确定

4．(2014·高考福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________．

第二节 等差数列

2019考纲考题考情

1．等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)。

(2)等差中项

若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝a＋b2。

2．等差数列的有关公式

(1)等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d。

(2)等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋nn－12d或Sn＝na1＋an2。

3．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)。

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an。(等和性)

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d。

(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列。

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列。 (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列。

(7)S2n－1＝(2n－1)an。

(8)若n为偶数，则S偶－S奇＝nd2；

若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)。

1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。

2．等差数列的前n项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。

3．等差数列与函数的关系

(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d。若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列。

等差数列求和方法

【考点1】等差数列的前n项和公式

（1）等差数列的前n项和公式：2)(1nnaanS，或dnnnaSn2)1(1，此式还可变形为ndandSn)2(212．

（2）倒序相加法:将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n项公式的推导所用方法）．

例1在等差数列{an}中，

（1）已知S12＝84，S20＝460，求S28；

（2）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

【点拨】利用等差数列前n项和公式的变形形式ndandSn)2(212待定系数法求解．

【解析】（1）不妨设Sn＝An2＋Bn，∴172460202084121222BABABA∴Sn＝2n2－17n∴S28＝2×282－17×28＝1092．

（2）∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，又S6＝2)10(62)(6161aaa∴15＝2)10(61a即a1＝－5而d＝31616aa∴a8＝a6＋2 d＝16S8＝442)(881aa．

【答案】（1）1092；（2）44．

【小结】本题考查等差数列前n项和公式．

例2设等差数列na的第10项为23，第25项为22，求：

（1）数列na的通项公式；

（2）数列na前50项的绝对值之和．

【点拨】通过通项公式找到数列na中的正．负分界项，利用等差数列前n项和公式求解．

【解析】（1）由已知可知22,232510aa，daa151025d152322，解得3d．509101daa533nan．

（2）此数列的前17项均为正数，从第18项开始均为负数．前50项的绝对值之和

20591175442225017175017501918173211321SSSSSaaaaaaaaaaaaSnn．

（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第六单元 解三角形学案 文

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2 / 372 第六单元 解三角形

教材复习课“解三角形”相关基础知识一课过

正弦定理、余弦定理

［过双基]

1．正弦定理

错误!＝错误!＝错误!＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．

由正弦定理可以变形：

(1）a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；

(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.

2．余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos_A，

b2＝a2＋c2－2accos B，

c2＝a2＋b2－2abcos_C。

余弦定理可以变形：cos A＝错误!，cos B＝错误!，cos C＝错误!。

［小题速通]

1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若a＝2，c＝2 错误!，cos A＝错误!，且b＜c，则b＝（ ）

A．3 B．2错误!

C．2 D。错误!

解析：选C 由a2＝b2＋c2－2bccos A,得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4，∵b＜c,∴b＝2.