2019-2020年高三数学一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及其分布第5节古典概型与几何概型基丛点练理

2019-2020年高三数学一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及其分布第5节古典概型与几何概型基丛点练理

【选题明细表】

知识点、方法 题号

古典概型 1,2,3,7,8,9,10,12,13,15,16

几何概型 4,5,6,11,14,16

1.(xx石家庄高三下学期二模)投掷两枚骰子,则点数之和是8的概率为( A )

(A) (B) (C) (D)

解析:基本事件的总数为36,点数之和为8的有(2,6),(3,5),

(4,4),(5,3),(6,2)共5种情况,故其概率为.

2.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则取出的3个数可作为三角形三边边长的概率是( A )

(A) (B) (C) (D)

解析:基本事件的总数为=10,其中能构成三角形三边长的数组为(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),故其概率为.

3.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标,则点P落在圆x2+y2=16 内的概率为( A )

(A) (B) (C) (D)

解析:基本事件的总数是36,点P落在圆内的基本事件是(1,1),

(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个,故所求的概率是=.

4.如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外矩形内的黄豆为96颗,以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( C )

(A)7.68 (B)8.68 (C)16.32 (D)17.32

解析:由随机模拟的思想方法,可得黄豆落在椭圆内的概率为=0.68.

由几何概型的概率计算公式,

可得=0.68,

而S矩形=6×4=24,

则S椭圆=0.68×24=16.32.

5.(xx山西省康杰中学等四校第三次联考)在面积为S的△ABC内部任取一点P,则△PBC的面积大于的概率为( D )

(A) (B) (C) (D)

解析:记事件A=(△PBC的面积超过),基本事件是三角形ABC的面积,如图,事件A的几何度量为图中阴影部分的面积(DE∥BC并且AD∶AB=3∶4),

因为阴影部分的面积是整个三角形面积的()2=,所以P(A)==.故选D.

6.(xx湖北七市3月联考)甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面,并约定谁先到后必须等10分钟,若等待10分钟后另一人还没有来就离开.如果甲是8:30分到达的,假设乙在8点到9点内到达,且乙在8点到9点之间何时到达是等可能的,则他们见面的概率是( C )

(A) (B) (C) (D)

解析:只要乙在8:20～8:40内到达即可,由于乙在8:00～9:00到达是等可能的,故他们能够见面的概率是=.

7.一个骰子连续投2次,点数和为i(i=2,3,…,12)的概率记作Pi,则Pi的最大值是( B )

(A) (B) (C) (D)

解析:基本事件是

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6);

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6);

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6);

(4,1),(4,2),(4,3),( 4,4),(4,5),(4,6);

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6);

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

共有36个.其中两数之和等于7的有6个,两数之和等于其余数字的都少于6个,故P7==最大.

8.(xx兰州高三模拟)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为 .

解析: 基本事件甲取红、白、蓝,乙取红、白、蓝,对应组合共9个基本事件,颜色相同的共3个基本事件,故所求的概率为=.

答案:

9.(xx高考天津卷)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.

(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;

(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.

①用所给编号列出所有可能的结果;

②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.

解:(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.

(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},

{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.

②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},

{A5,A6},共9种.

因此,事件A发生的概率P(A)==.

10.现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品.

(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率.

(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.

解:(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,

所以基本事件总数为10×10×10=103(种);

设事件A为“连续3次都取出正品”,则包含的基本事件共有8×8×8=83种,因此P(A)==0.512.

(2)可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),

则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,

所以基本事件总数为10×9×8. 设事件B为“3件都是正品”,

则事件B包含的基本事件总数为8×7×6,

所以P(B)==.

能力提升练(时间:15分钟)

11.(xx湖北省高三检测)如图,大正方形的面积是34,四个全等直角三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为3,向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为( B

)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为大正方形的面积是34,所以大正方形的边长是,由直角三角形的较短边长为3,得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3,则小正方形边长为2,面积为4.所以小花朵落在小正方形内的概率为P==.

12.考察正方体6个面的中心,从中任意选3个点连成三角形,再把剩下的3个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于( A )

(A)1 (B) (C) (D)0

解析:如图所示,正方体6个面的中心构成一个八面体,如果选取的是表面上的一个面上的三个点,则剩余的是另一个侧面上的三个点,这两个三角形都是边长相等的正三角形,两三角形全等;如果选取的是图中正方形中四个点中的三个,这个三角形是等腰直角三角形,此时剩下的三个点是与上面正方形全等的正方形中四个点的三个,这三个点构成一个和上面三角形全等的等腰直角三角形.综上可知,这是一个必然事件,其概率值为1.

13.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为

.

解析:基本事件的总数就是从15个元素中任取4个元素的组合数,随机事件“每种汤圆都至少取到1个”可以分为三类: “芝麻馅汤圆1个,花生馅汤圆1个,豆沙馅汤圆2个”,“芝麻馅汤圆1个,花生馅汤圆2个,豆沙馅汤圆1个”,“芝麻馅汤圆2个,花生馅汤圆1个,豆沙馅汤圆1个”,分别计算其包含的基本事件的个数即可.因为总的舀法,根据分析随机事件“每种汤圆都至少取到1个”所包含的基本事件的个数是××+××+××,

故所求概率为=.

答案:

14.(xx山西大学附中高三上模块诊断)向曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的区域内任投一点,这点正好落在y=1-x2与x轴所围成区域内的概率为 .

解析:x2+y2=|x|+|y|所围成的区域是如图所示的四个圆弧围成的图形,其面积S=×+2×()2×π=2+π,y=1-x2与x轴所围成的区域的

面积.

S1=(1-x2)dx=(x-x3) |=, 所以概率P===.

答案:

15.(xx高考重庆卷)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图:

(1)求频率分布直方图中a的值;

(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;

(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.

解:(1)据频率分布直方图知组距为10.

由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,

解得a==0.005.

(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为

2×0.005×10×20=2.

成绩落在[60,70)中的学生人数为3 ×0.005×10×20=3.

(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A1,A2,成绩落在[60,70)中的3人为B1,B2,B3,则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个:(A1, A2),(A1,B1),(A1,

B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),

故所求概率为P=.

16.设O为坐标原点,点P的坐标(x-2,x-y).

(1)在一个盒子中,放有标号为1,2,3的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x,y,求事件“|OP|取到最大值”的概率;

(2)若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为x,y,求P点在第一象限的概率.

解:(1)记抽到的卡片标号为(x,y),所有的情况分别如下表:

(x,y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2)

(3,3)

P(x-2,

x-y) (-1,

0) (-1,

-1) (-1,

-2) (0,1) (0,0) (0,

-1) (1,2) (1,1) (1,0)

|OP| 1 1 0 1 1

其中基本事件总数为9,随机事件A“|OP|取最大值”包含2个基本事件,故所求的概率为P

(A)=.

(2)设事件B为“P点在第一象限”.

若则其所表示的区域面积为3×3=9.