专题01 全等模型-倍长中线与截长补短(解析版)

专题01 全等模型-倍长中线与截长补短

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三

角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添

加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角

形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】

1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.

证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则BDECDA

；若连结EC，则

ABDECD

；

2、中点型:如图2，C

为AB

的中点.

证明思路：若延长EC

至点F

，使得CFEC=

，连结AF

，则BCEACF

;

若延长DC

至点G

，使得CGDC=

，连结BG

，则ACDBCG.

3、中点+平行线型：如图3, //ABCD

，点E

为线段AD

的中点.

证明思路：延长CE

交AB

于点F

(或交BA

延长线于点F

)，则EDCEAF

.

例1．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD

的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根

据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到ADCEDB≌△△

的理由是（

）．

A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA

(2)AD的取值范围是（

）．

A．68AD<<

B．

1216AD<<

C．17AD<<

D．

214AD<<

(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知

条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．

【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．

【答案】(1)B(2)C(3)见解析

【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；

（2）根据全等得出BE=AC

=6

，

AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；

（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据

AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．

（1）∵在△ADC和△EDB中ADDE

ADCBDE

BDCDì

ï

ÐÐ

í

ï

î＝

＝

＝，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；

（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，

∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选：C．

（3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．

∵AD是△ABC中线∴CD＝BD

∵在△ADC和△MDB中DCDB

ADCMDB

DADM=

ì

ï

Ð=

Ð

í

ï

=

î∴

SASADCMDB≌△△

∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）

∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）

∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）

∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角对等边）

又∵BM＝AC，∴AC＝BF．

【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质

和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．

例2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：

如图，在ABCV

中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使//CEAB

，交AD的延长线于点E，求证：

ADED=

证明∵//CEAB

（已知）

∴ABDECDÐ=Ð

，BADCEDÐ=Ð（两直线平行，内错角相等）．

在ABD△

与ECDV

中，

∵ABDECDÐ=Ð

，BADCEDÐ=Ð（已证），

BDCD=

（已知），

∴

A.A.SABDECD△△≌

，∴ADED=（全等三角形的对应边相等）．

（1）【方法应用】如图①，在ABCV

中，6AB=

，4AC=

，则BC边上的中线AD长度的取值范围是

______．

（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，//ABCD

，点E是BC的中点，若AE是

BADÐ的平分线，

试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如图③，已知//ABCF

，点E是BC的中点，点D在线段AE上，EDFBAEÐ=Ð，若

5AB=

，

2CF=，求出线段DF的长．

【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD=

AB

+DC．理由见解析；（3）DF=3．

【分析】（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=4，在△ABE中，根据

三角形三边关系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可；

（2）结论：AD=AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB=CF，再证明DA=DF

即可解决问题；（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB=DF+CF，可得结论．

【详解】解：（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，

∵

AD

是BC边上的中线，∴BD=CD，

在△ADC和△EDB中，ADDE

ADCEDB

DCDB=

ì

ï

Ð=Ð

í

ï

=

î，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，

在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，

∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；

（2）结论：AD=AB+DC．理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，

∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，

在△ABE和△FCE中，AEBFEC

BAEF

BECEÐ=Ð

ì

ï

Ð=Ð

í

ï

=

î，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，

∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，

∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD；

（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，

在△AEB和△GEC中，BAEG

AEBGEC

BECEÐ=Ð

ì

ï

Ð=Ð

í

ï

=

î，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，

∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，

∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边

关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得

到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并

说明理由．

【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析

【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，

在△ADC和△EDB中∵ADDE

ADCEDB

CDDB=

ì

ï

Ð=Ð

í

ï

=

î，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．

∵AB-BE

．

（

2）AC=BF，理由如下：延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，

在△ADC和△GDB中，ADDG

ADCGDB

BDCD=

ì

ï

Ð=Ð

í

ï

=

î，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．

∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE． ∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．

【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，

构造全等三角形是解题的关键．