（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为
t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。
解：由定义，有：
)(2)0()0()}()({2)0()0()]}
()()][()({[2)]
([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D
（2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马
尔可夫过程。
证明：我们要证明：
n t t t <<<≤∀ 210，有
}
)()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P
形式上我们有：
}
)()(,,)(,)({}
)()(,,)(,)(,)({}
)(,,)(,)({}
)(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=
======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P
因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2
,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量
)0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即
有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与
2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。
（3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程，
且对每个0>t ，),(~2
t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？
解：任取n t t t <<<≤∀ 210，则有：
n k W W W k
i t t t i i k ,,2,1][1
1 =-=∑=-
由平稳增量和独立增量性，可知))(,0(~121----i i t t t t N W W i i σ并且独立 因此),,,(1121---n n t t t t t W W W W W 是联合正态分布的，由
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1121211110
011001n n n t t t t t t t t W W W W W W W W 可知是正态过程。
（4） 设}{t B 为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并
说明理由。
解：标准布朗运动的相关函数为：
},m in{),(2t s t s R B σ=
如果标准布朗运动是均方可微的，则),(/
t t R B 存在，但是：
20/0/),(),(lim ),(0
)
,(),(lim
),(σ=∆-∆+==∆-∆+=+→∆-+→∆+t
t t R t t t R t t R t
t t R t t t R t t R B
B t B B B t B
故),(/
t t R B 不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。
（5） 设t N ，0≥t 是零初值、强度0>λ的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均
方意义下，0,0
≥=
⎰t ds N Y t
s
t 是否存在，为什么？
解：泊松过程的转移率矩阵为：
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛----= λλλλ
λλ
λλ
0000
Q
其相关函数为：st t s t s R N 2
},min{),(λλ+=，由于在t ∀，),(t t R N 连续，故均
方积分存在。
（6） 在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0
表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.05.025.075.011100100
p p p p P
试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。
解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为)3/1,3/2(。
（7） 设齐次马氏链{}{
},4,3,2,1,0,=≥S n X n 一步转移概率矩阵如下： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=002/12/1002/12/12/12/1002/12/100P
（a ）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C －K 方程）； （b ）求n 步转移概率矩阵；
（c ）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？
解：（a ）略
（b ）⎩⎨
⎧====偶数
奇数
n P n P P n P n
2
)( （c ）此链不具遍历性
（8） 设0,)
1()()
(≥-=t X t Y t N ，其中}0);({≥t t N 为强度为0>λ的Poission 过程，随
机变量X 与此Poission 过程独立，且有如下分布：
0,2/1}0{,4/1}{}{>=====-=a X P a X P a X P
问：随机过程0),(≥t t Y 是否为平稳过程？请说明理由。
由于：0)}({=t Y E
{
}{}{
}
{
}{}
{}
1222)(220
)(1220
1212)()(2)()(2
)()()(22)
()(2)()(22122!)]([)1(2
})()({)()()1(2)
1(2)1(2)1()1(),(121212*********t t e a e a e n t t a n t N t N P n t N t N E a E a E a E X E X E t t R t t n t t n n
n t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N Y -===--==-=--=-=-=-=-⋅=---∞
=--∞=---+++∑∑τλλτ
λλ
故)}({t Y 是平稳过程。
（9） 设0,2≥+=t Yt X X t ，其中X 与Y 独立，都服从),0(2
σN
（a ）此过程是否是正态过程？说明理由。 （b ）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。
证明：（a ）任取 n t t t N n <<<≤∈ 210,，则有：
