小论文：基于根轨迹的直流电机数字PID调速系统
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基于根轨迹的直流电机数字PID调速系统段猛，张能（中国矿业大学（北京）机电与信息工程学院电气与自动化专业2007级）摘要直流电动机的整体性能已经较稳定，但是仍需要对其进行控制，达到性能上的快速性。
对其进行工业上常用的PID控制，并使用进行较为方便的数字PID控制，达到控制的最终系统要求。
关键词直流电动机；数字PID；电机模型Adstract Dc motor has a stable performance, but we still need to control the performance to achieve the quickness. We use more convenient digital PID control than the indutrial used PID control, to achieve the final system requirements.Keywords DC motor;Digital PID;Motor mould0前言直流电动机是跟踪速度的伺服系统，要求被控量以尽可能小的误差快速、准确无静差地跟随参数量的变化，应当具有比较好的快速性。
所以就要设计比较好的控制器对直流伺服电机进行控制。
工程上主要采用PID控制器，但是基于硬件PID控制器不容易实现，本文提出的直流电机数字调速系统，并加入PID控制器，根据系统的性能指标，采用根轨迹法确定PID控制器的参数电机系统进行调速。
1 直流电动机数学模型的建立图1是直流电机原理图图1当直流电机的输入电源电压为u，并能提供足够的功率，输出的电机转速为n，a其传递函数用()/()a N S U S 表示，推导过程如下：假设直流电机为理想空载，即图中的L M 为0。
此时的传递函数为22a a a a e a ccJ L J R d d K U K d tK dtωωω++=其中，a J 为电动机转子转动惯量，a L 为电枢绕组电感，c K 为电磁力矩常数，eK 为电动势常数，a R 为电动机电枢电阻。
这是一个二阶线性微分方程，因为电枢绕组的电感都很小，所以略去a L ，那么得到简化的一阶线性微分方程：22a a e a cJ R dn K n U K dtππ+=令初始条件为零，经过拉普拉斯变换，得到传递函数()G s 为/2()()()11e a a a c eK N s K G s J R U s T s s K K π===++将电动机相关参数带入到式中，得到电动机的传递函数：33()0.0411G s s =+可以从传递函数看出，为了方便反馈控制，将输出转速，经测速电机转化为电压。
电动机的额定电压为7.2V ，额定转速为250r/s ，每50r/s 对应1.3V 电压，得到新的传递函数0.89()0.0411G s s =+系统的阶跃响应如图2:()/()K n U =∞∞图22 PID 控制器的建立与参数整定在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、几份、微分控制，简称PID 控制。
PID 控制器就是根据系统的误差，利用比例、积分、微分计算量进行控制。
（1） 比例调节 。
比例调节是对偏差的一种既是反应，偏差一旦出现，调节器立即产生，控制作用，是输出量朝着减小偏差的方向改变，控制作用得强弱取决于比例系数。
加大比例系数可以减小稳态误差，但是，过大时会使系统的动态质量变坏，引起输出量的震荡，甚至闭环系统的不稳定。
（2） 积分调节。
在积分调解中，控制器具有累计成分，消除稳态误差的作用。
塔通过累计作用影响控制量，从而减小偏差，之大偏差为零。
如果积分时间常数大，那么积分作用弱，反之为强。
增大将减慢消除稳态误差的过程。
引入积分环节会降低真个系统的快速性。
（3） 微分调节。
为了消除自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现震荡甚至系统的不稳定才引入微分环节。
微分环节按照偏差变化的趋向进行控制，使偏差消灭在萌芽状态。
微分作用将有助于较小超调量，克服振荡，从而使系统趋于稳定。
根据上述的控制器的作用，对上述的直流伺服电动机的一阶惯性系统，加入PID 控制器之后，系统结构如图3：图3根据建立的PID 控制器，得到系统的开环传递函数：0.890.04122()()(24.39)i i d i d s s T T T T T n s U s s s ⎛⎛ --⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+根据开环传递函数，可以确定开环零点为2i d T T2i d T T根轨迹增益为0.890.0411s+，开环极点为0，-24.39。
根据系统的开环传递函数，可以确定系统的根轨迹。
开环传递函数中的开环零点位置，根轨迹增益由PID参数来决定。
根据开环传递函数的零点位置大概确定系统的主导极点，通过对主导极点的分析来确定系统的性能。
在工程中，常常使用主导极点的概念对高阶系统进行近似分析。
系统的动态性能基本上由接近虚轴的闭环极点确定。
系统地调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值；如果实数极点距离虚轴最近，并且它的周围没有实数零点，则调节时间主要取决与该实数极点的模值。
为了便于后面的计算，我们在本文中主要讨论闭环实数主导极点的作用。
闭环实数主导极点的作用，相当于增大系统的阻尼，是峰值时间推迟后，超调量下降，。
如果实数比共轭复数极点更接近原点坐标，甚至可以使振荡过程变为非振荡过程。
实数极点越接近坐标原点，意味着这种作用越强。
下面我们讨论根轨迹可能出现的形式，分析系统的性能指标。
（1）当共轭零点位于（0，-24.39）时。
一种是两个两个实极点，位于实轴上，阻尼比大于1，闭环极点的模值小于24.39，调速系统的调节时间大于未调速系统；两个共轭极点，负实部的模值小于24.39，系统的调节时间大于未调速系统。
（2）当实零点位于（0，-24.39）之间时，此时系统的闭环极点位于实轴上，阻尼比大于1，并且，闭环极点的模值小于24.39，调速系统的调节时间一定大于未调速的系统。
（3）当两个实零点位于（0，-24.39）之间和-24.39左边时，闭环极点一定位于实轴上，系统阻尼比大于1，并且一定有一个闭环极点的模值小于24.39，相当于主导极点，调速系统的调节时间会大于未调速的系统。
（4）当共轭零点实部位于-24.39左边时，系统闭环极点有两种可能。
一种是两个实极点位于实轴上，在-24.39的右边，此时阻尼比大于1，闭环极点的模值小于24.39，调速系统的调节时间大于为调节的系统。
另一种存在两个共轭极点，其负实部的模值大于24.39，调节时间变小，系统快速性变好。
（5）当实零点位于(0,-24.39)左边时，闭环极点的位置有3种可能。
第一种：两个实极点位于-24.39的右边，此时阻尼比大于1，闭环极点的模值小于71.43，调速控制后的系统调节时间大于未控制的系统。
第二种：两个共轭极点，共轭极点的负实部的模值小于24.39，调速控制后系统的调节时间大于未调速系统。
当共轭极点的实部的模值大于24.39时，调速控制后系统的调节时间小于未调速系统。
第三种：两个实极点位于-24.39的左边，实极点的模值大于24.39，调速控制系统的调节时间小于未调速的系统。
由上述分析可以得到，选取合适的参数，是的闭环极点的负实部的模值大于于直流电机负实部的模值，就可以使得调速控制后的系统快速性优于直流电机的快速性。
我们选取第五种情况下的开环零点位置，其根轨迹如图4，将系统的开环零点设置为 ，那么根据式子得到：图41212(),1/p d i d K Z Z T T Z Z T =-+=，所以只要给出d T 的值，就可以确定PID 的参数。
按照试凑的方法，设置0.05d T =，那么求得0.0053, 6.25i p T K ==，闭环极点为：1238.4522.12,38.4522.12P j P j =-+=--，阻尼比约为0.866。
加入PID 控制器后系统阶跃响应见下页图51250,75Z Z =-=-图53数字PID 控制算法与编程实现对PID 控制器不仅要进行离散化，还要在离散化的基础上进行数字PID 控制算法，对于本文中的设计，我们采用增量式PID 控制算法。
首先对要得到PID 控制器的Z 传递函数，如下：其中，离散化后的控制系数发生变化，变化如下：为数字控制中为采样周期。
同时，得到增量式控制式的算式，如下式：其中u ∆为输出增量，()e k 在k 时刻给定与输出的偏差。
增量式控制有以下几个优点：（1）计算只输出控制增量，即执行机构位置的变化部分，因而误动作比较小。
1121(1)(1)()()()1P I D K z K K z U z D z E z z ----++-==-IIT K T =,D I T K T=()()(2)(1)(2)*()*()*(2)P I D P D D u K K K e k K K e k K e k a e k b e k c e k ∆=++-+-+-=-+-T（2）在k 时刻的增量输出，只需要用到吃时刻的偏差，前一时刻的偏差和前两时刻的偏差，大大节约了内存和计算时间。
对于编程的实现，首先要选择数字控制的采样周期。
采样周期选取非常重要，采样周期应远小于过程的扰动信号的周期，在电动汽车的控制程序中一般是ms 级别。
由于由于扰动信号的周期不是很明确，但是扰动信号作用不是很明显，所以我们尽量将采样周期取值较小，主要保证采样周期必须保证中断服务程序的正常运行，由于程序设计的关系，我们将采样周期定为定时器的中断周期，为100毫秒。
将增量式控制算式中的a 、b 、c 计算得到：25.2,7.3,0.5a b c ===因此，我们得到了整体的PID 控制程序，对电动机速度控制，是通过调节CPU 输出的PWM 的占空比来调节速度：error=ideal_speed-speed;//计算误差inc=a_motor*error+b_motor*last_error+ c_motor*pre_error; last_error=error ;//保存本次误差 pre_error=last_error ;//保存上一次误差pwmout=pwmout+inc ;//输出量，改变PWM 波占空比 if(pwmout>120)//超过输出上限 pwmout=120;if(pwmout<50)//速度控制过低 pwm=50;forward(120,pwmout);//控制速度输出的子函数4 结论首先是对直流电机进行数学模型的建立，数学模型的建立主要是依靠理论公式进行推导，并在理论建模的基础上，利用实验进行验证并调整模型参数。
其次，对于PID参数的整定，利用系统根轨迹与对整体调速系统调节时间的要求进行整定，并利用MATLAB对调速后的系统进行分析。
