指数函数及对数函数知识点及习题

1 3 8
（1） 2a 3b 2 6a 2b3 3a 6b6 ；（2） m4n 8 ；
2 1 1 1 1 5
解（1） 2a 3b 2 6a 2b3 3a 6b6
211 115
= 2 6 3 a 3 2 6b 2 3 6
（2）
1
m4
3
n8
8
=
5 4
a4
a5
，
∴ 3 a2
2
a3
4 a5
4
a5．
m
规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是 a n n am a 0,m,n N ,n 1 ；
m
（2）正数的负分数指数幂的意义是 a n
1
m
an
n
1 am
a 0,m,n N ,n 1 ．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：
1
m4
8
3
n8
8
=
m2n3
m2 n3
．
= 4ab0 4a ；
例 3．计算下列各式：
（1） 3 5 125 4 5
（2） a2 a 0 ．
a 3 a2
解：（1） 3 5
125
4
5
2 =53
3
52
1
54
2
=53
1
54
3
52
1
54
5
5
= 512 54 = 12 55 5 4 5 ；
指数函数和对数函数的知识点及典型例题
一、指数的性质
（一）整数指数幂
1．整数指数幂概念： a n aa a (n N ) a0 1a 0
n个a

基本初等函数知识点：1.指数(1)n 次方根的定义：若nx a =，则称x 为a 的n 次方根，在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根。

(2)方根的性质：①na =②当n 是奇数时，a a n n =；当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n(3)分数指数幂的意义：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm(4)实数指数幂的运算性质： 2.对数(1)对数的定义：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 常用对数：以10为底的对数______；自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数______． (2)指数式与对数式的关系：__________x a N =⇔（0>a ，且1≠a ，0N >）(3)对数的运算性质：如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①M a (log ·=)N ____________________；②=N Malog __________________________； ③log na M =_________________________)(R n ∈．注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．(4)几个小结论：①log _____n na b =；②log ______a=；③log _______n ma b =；④log log ____a b b a ⋅= (5)对数的性质：负数没有对数；log 1____;log _____a a a ==.3.指数函数及其性质 (1)指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． (1)对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 （0，+∞）．(2)5.幂函数(1)幂函数定义：一般地，形如αx y =()R α∈的函数称为幂函数，其中α为常数．(2)幂函数性质归纳：①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图像都过点（1，1），不过第四象限； ②0>α时，幂函数的图像通过原点，并且在区间(0,)+∞上是增函数； ③0<α时，幂函数的图像在区间),0(+∞上是减函数．与x 轴、y 轴没有交点； ④当α为奇数时，αx y =为奇函数；当α为偶数时，αx y =为偶函数。

指数函数与对数函数知识精讲+核心素养练习一知识结构图二.学法指导1.正确区分na n与(na)n:(1)(na)n已暗含了na有意义,据n的奇偶性可知a的范围;(2)na n中的a可以是全体实数,na n的值取决于n的奇偶性.2. 带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方､拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.3.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.4.判断一个函数是否为指数函数,要牢牢抓住三点:(1)底数是大于0且不等于1的常数; (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上; (3)a x 的系数必须为1.5.求指数函数的解析式常用待定系数法.6.利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.7.解不等式a f (x )>a g (x )(a >0,a ≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.8.性质a log a N=N 与log a a b =b 的作用(1)alog a N=N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式.(2)log a a b =b 的作用在于能把以a 为底的指数转化为一个实数.9.利用对数性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,底数不同时,利用换底公式把底数换成相同,再找真数间的联系. 10.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同,找中间量. 11.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x >log a b 的不等式,借助y =log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a >1与0<a <1两种情况讨论;(2)形如log a x >b 的不等式,应将b 化为以a 为底数的对数式的形式,再借助y =log a x 的单调性求解; (3)形如log a x >log b x 的不等式,可利用图象求解.12.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围,要结合复合函数的单调性规律,注意函数的定义域求解;若是分段函数,则需注意两段函数最值的大小关系.13.求对数型函数的值域一般是先求真数的范围,然后利用对数函数的单调性求解.三.知识点贯通知识点1 根式运算1.a a nn =)(;2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a nn例题1.(1)若x <0,则x +|x |+x 2x=________.(2)若-3<x <3,求x 2－2x ＋1-x 2＋6x ＋9的值.知识点二 利用分数指数幂的运算性质化简求解1.正分数指数幂:规定:a m n =a >0,m ,n ∈N *,且n >1)2.负分数指数幂:规定:a -m n =1a m n =1(a >0,m ,n ∈N *,且n >1)3.幂的运算性质(1)a r a s =a r +s (a >0,r ,s ∈R ). (2)(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈R ). (3)(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈R ). 例题2:化简求值:知识点三 指数函数的概念1.一般地,函数y =a x (a >0,且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 例题3 .已知函数f (x )为指数函数,且f ⎝⎛⎭⎫－32=39,则f (-2)=________.知识点四 指数函数的性质及运用 1.指数函数的性质R例题4.求下列函数的定义域和值域:(1)y =1－3x ; (2)y =⎝⎛⎭⎫12x 2-2x -3;(3)y =4x +2x +1+2.例题5. 比较下列各组数的大小:(1)1.52.5和1.53.2; (2)0.6-1.2和0.6-1.5; (3)1.70.2和0.92.1;(4)a 1.1与a 0.3(a >0且a ≠1).知识点五 对数运算性质的应用对数的运算性质如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么: (1)log a (MN )=log a M +log a N ; (2)log a MN =log a M -log a N ;(3)log a M n =n log a M (n ∈R ). 例题6.计算下列各式的值: (1)12lg 3249-43lg 8+lg 245; (2)lg 52+23lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2;(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.知识点六 对数的换底公式1.若a >0且a ≠1;c >0且c ≠1;b >0,则有log a b =log c blog c a .例题7.(1)计算:(log 2125+log 425+log 85)·(log 1258+log 254+log 52). (2)已知log 189=a,18b =5,求log 3645(用a ,b 表示).知识点七 对数函数的概念1.函数y =log a x (a >0,且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 例题8.若函数y =log (2a -1)x +(a 2-5a +4)是对数函数,则a =________.知识点八 对数函数的图象与性质(0,+∞)例题9.求下列函数的定义域:(1)f (x )=1log 12x ＋1; (2)f (x )=12－x +ln(x +1);例题10.比较下列各组值的大小:(1)log 534与log 543;(2)log 132与log 152;(3)log 23与log 54.五 易错点分析易错一 指数幂运算中的条件求值 例题11.已知a 12+a －12=4,求下列各式的值:(1)a +a -1;(2)a 2+a -2.易错二 利用指数函数的单调性解不等式例题12.解不等式⎝⎛⎭⎫123x -1≤2;(2)已知a x 2-3x +1<a x +6(a >0,a ≠1),求x 的取值范围.易错三 对数的运算 例题13.求值:(1)log 23·log 35·log 516; (2)(log 32+log 92)(log 43+log 83).易错四 函数的图象例题14.函数y =a -x 与y =log a (-x )的图象可能是( )易错五 解对数不等式例题15. 已知log 0.7(2x )<log 0.7(x -1),求x 的取值范围.一､核心素养聚焦考点一 逻辑推理-指数函数､对数函数性质的综合运用 例题16.(1)判断f (x )=⎝⎛⎭⎫13x 2-2x的单调性,并求其值域.(2)已知y =log a (2-ax )是[0,1]上的减函数,则a 的取值范围为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2)D.[2,+∞)(3)函数f (x )=log 12(x 2+2x +3)的值域是________.考点二 数学运算-幂的运算例题17､计算:⎝⎛⎭⎫2350+2-2×⎝⎛⎭⎫214－12-(0.01)0.5;(2)化简:3a 72a －3÷3a －8·3a 15÷3a －3·a －1(a >0).例题18. 求下列函数的定义域:(1)f(x)=lg(x-2)+1x－3;(2)f(x)=log(x+1)(16-4x).考点三直观想象-指数函数､对数函数的图象的应用例题19.(1)函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log a x的图象为( )A B C D。

学员姓名年级高一辅导科目数学课程类型1对1任课老师班组课题指数函数与对数函数课型□预习课□同步课□复习课□习题课课次11 授课日期及时段教学目标重难点重点：难点：教学及学习方法教学方法：学习方法：教学内容【基础知识网络总结与巩固】本节考点：考点回顾考点一考点二考点三【上节知识回顾】【本节知识要点】1. 指数函数的图象和性质函数y＝a x(a>0，且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)性质定义域值域单调性函数值变化规律R(0，＋∞)减函数增函数当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>12．对数函数的图象和性质y ＝log a xa >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.求解与指数函数、对数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数、对数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．【重难点例题启发与方法总结】典型例题剖析例1 求下列函数的定义域 (1)f (x )＝1－2log 6x ； (2)y ＝32x －1－19.【解析】(1)由1－2log 6x ≥0，解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．(2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 变式训练 函数f (x )＝4－x 2＋log 2(x －1)的定义域是( ) A ．(1,2] B ．[1,2] C ．(1，＋∞) D ．[2，＋∞)【答案】A【解析】要使函数有意义，则⎩⎨⎧4－x 2≥0x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x >1，∴1＜x ≤2，即函数的定义域为(1,2]， 故选A.例2 (1)已知函数f (x )＝(23)|x |－a ，则函数f (x )的单调递增区间为________，单调递减区间为________．2．(2018·湖南衡阳期末)已知集合A ＝{x |log 12x >－1}，B ＝{x |2x >2}，则A ∪B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(0，＋∞) D ．(0,2) 答案：C解析：由A ＝{x |log 12x >－1}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x >2}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，则A ∪B ＝(0，＋∞)．故选C. 3．(2018·福建福州外国语学校期中)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，且f (x )是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 答案：B解析：因为函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m＝－1.又因为幂函数在(0，＋∞)上单调递增，所以－5m －3>0，即m <－35，所以m ＝－1，故选B.方法点拨：求有关幂函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出解析式后，利用已知条件，求出待定系数．注意幂函数中自变量的系数为1.4．(2018·重庆第一中学一诊模拟)设a ＝213，b ＝log 43，c ＝log 85，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b [来源:学科网]C ．b >c >aD ．c >b >a [来源:学科网ZXXK] 答案：A解析：由指数函数的性质知a >1，由对数函数的性质得0<b <1,0<c <1.c 可化为log 235；b 可化为log 23，∵(35)6<(3)6，∴b >c ，∴a >b >c ，故选A.5．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )答案：D解析：当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a的图象，A ，B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，而1a大于1，故选D.6．若函数y ＝f (x )的定义域为[2,4]，则y ＝f (log 12x )的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1 B ．[4,16] C.⎣⎡⎦⎤116，14 D ．[2,4] 答案：C解析：令log 12x ＝t ，则y ＝f (log 12x )＝f (t )，因为函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，所以y ＝f (t )的定义域是[2,4]，即2≤t ≤4，所以2≤log 12x ≤4，解得116≤x ≤14，所以y ＝f (log 12x )的定义域是⎣⎡⎦⎤116，14. 7．(2018·武汉二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案：C解析：通解 当a <0时，不等式f (a )<1为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.优解 取a ＝0，f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D.8．(2018·怀化二模)已知函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,2 016]内的企盼数的个数是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：B解析：因为函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，所以f (1)＝log 23，f (2)＝log 34，…，f (k )＝log k ＋1(k ＋2)，所以f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )＝log 23·log 34·…·log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，若f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数，则k ＋2＝2m ，m ∈Z ，又k ∈[1,2 016]，所以k ∈{2,6,14,30,62,126,254,510,1 022}，故在区间[1,2 016]内的企盼的个数是9.二、填空题[来源:学科网]9．log 327－log 33＋(5－1)0－⎝⎛⎭⎫9412＋cos 4π3＝________. 答案：0解析：原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.10．(2018·江西自主招生)方程log 3(1＋2·3x)＝x ＋1的解为________． 答案：0解析：由方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1可得1＋2·3x ＝3x ＋1，化简可得3x ＝1，故x ＝0.11．(2018·山西一模，13)已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________. 答案：－1解析：由题意得m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，f (x )＝x －1，[－3－m ，m 2－m ]为[－6,6]，f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．[来源:学科网] 三、解答题12．已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[]0，2，求m ，n 的值．解析：由y ＝f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得3y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1，即()3y －m ·x2－8x ＋3y －n ＝0[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(3y －m )(3y －n )≥0，即32y －(m ＋n )·3y ＋mn －16≤0由0≤y ≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1＋9mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.【课后强化巩固练习与方法总结】1．已知集合M ＝{}x |y ＝x －1，N ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，则∁R (M ∩N )等于( ) A ．[1,2) B ．(－∞，1)∪[2，＋∞) C ．[0,1] D ．(－∞，0)∪[2，＋∞)2．已知a ＝23log 4.1，b ＝23log 2.7，c ＝⎝⎛⎭⎫123log 0.1，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b3．函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，32)D ．(32，＋∞)学管签字：学管主任签字：。