强化132---转化与化归综合练习

教育广角一、采取班内分层教学的方法教育不仅是知识和技能的简单传授，更是一项培养人、塑造人的活动。

“培养什么人”“为谁培养人”“怎样培养人”是教育需解决的根本性问题。

中职学校的学生大部分学习习惯差，学业基础差，学习意识差，对未来期望值不高。

另有部分学生基础一般，因中考失利，无法进入普高学习，这部分学生及其家长读中职的目的是三年后考进高职高专继续学习，成为“就业有能力，升学有基础”的中职生。

为了培养出“就业有能力，升学有基础”的中职生，中职学校必须要加强基础文化学科的教育。

为了做到“有的放矢”，笔者将结合当前中职数学教学现状来谈一谈提高中职数学教学质量的方法和举措。

中职学校学生数学基础薄弱，学生的基础也是参差不齐的。

中考时数学能达标的学生并不多，鉴于这种普遍基础薄弱的情况，在中职的数学教学过程中可以采取班内分层教学的方法。

班内分层教学模式保留传统的行政班，在前期的教学过程中，分出优（A）、良（B）、一般（C）各类学生，并确定三个不同层次的教学目标，进行不同层次的教学指导，使学生得到适合自己的教学方式，从而得到能力的提升。

二、注重中职学生数学学习兴趣的培养大部分中职学校的学生数学基础薄弱，对自己的学习能力也没信心，普遍存在厌学的情绪，而且还有很多学生对学习存在着抵触情绪，所以要想激发他们学习数学的兴趣，不应该拘泥于一种形式，可以尝试以下几个方面做起。

1.在进行数学课的教学时，精心设计导入环节。

课程开始时的一段精彩的导入能够吸引学生的注意力，从而激发学生学习新知识的兴趣。

准备一段精彩的导入有很多的方法。

根据学生自身特点及兴趣爱好，先和学生聊一些流行的网络热点、新闻等，从而使课堂气氛更加活跃，调动起学生学习数学的积极性。

依据数学教材的内容，讲一些数学家的故事，或是跟数学知识联系紧密的小故事、趣闻等。

这可以吸引学生的注意力，提高他们学习数学的兴趣。

当学生是在轻松欢快的情境下进行数学学习时，他们摒弃了精神上的负担，就不会受到外界的干扰，在课堂上就处于主动积极的学习状态。

数列的综合运用考纲要求能运用数列的等差关系式或等比关系解决实际问题.考情分析1.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式．2.常与其他知识的交汇命题，考查学生的转化化归能力如与函数、不等式、解析几何等交汇考查．3.各种题型都有可能出现.教学过程基础梳理1．等比数列与等差数列比较表2.(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n＋1的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系．双基自测1．某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是 ( ) A．800 B．820C．840 D．8602．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( ) A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟3．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数为 ( )A．0 B．1C．2 D．不能确定4．5·12汶川大地震后，山东天成书业公司于2008年8月向北川中学捐赠《三维设计》系列丛书三万册，计划以后每年比上一年多捐5 000册，则截至到2012年，这5年共捐________万册．5．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π3，公差为π36，则这个多边形的边数为________．典例分析考点一、等差数列与等比数列的综合应用[例1] (2010·福建高考)数列{a n}中，a1＝13，前n项和S n满足S n＋1－S n＝⎝⎛⎭⎪⎫13n+1(n∈N*)(1)求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和S n；(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．变式1．(2012·北京东城区综合练习)在等比数列{a n}中，a n>0(n∈N*)，公比q ∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，当S11＋S22＋S33＋…＋S nn最大时，求n的值．对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．考点二数列在实际问题中的应用【例2】在一次人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司许诺第一年月工资数为1 500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司许诺第一年月工资数为2 000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么？(3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确到1元)？并说明理由．(参考数据log1.052.3＝17.1)变式2. 银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元．两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多． (计算结果精确到千元，参考数据：1.110≈2.594,1.310≈13.786)．在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题．银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？答案：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋r)n，属于等比模型．考点三、数列与函数、不等式、解析几何的交汇问题【例3】►(2012·南昌模拟)等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n.变式3.(2011·福建)已知等比数列{a n}的公比q＝3，前3项和S3＝133.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若函数f(x)＝A sin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x＝π6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．【例4】(2011·陕西)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x 轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n.记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(2≤k≤n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.【例5】(2011·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.数列与其它知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的解析式构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题．函数与数列的综合问题主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图象研究数列问题．如恒成立，最值问题等．二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题．考题范例(12分)(2012·青岛月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)．求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.规范解答：∵a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，(2分)∴数列{1S n }是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列，∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n.(4分)将S n ＝12n代入a n ＝－2S n ·S n －1， 得a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12 n ＝1，12n －2n 2n ≥2.(7分)∵S 2n ＝14n 2<14n n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n (n ≥2)，S 21＝14， ∴当n ≥2时，S 21＋S 22＋…＋S 2n ＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋…＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1214n ；(10分) 当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1. 综上，S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n .(12分)一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解． 两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注． 三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)． (2)数列与不等式结合时需注意放缩． (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．本节检测1．(2012·长沙模拟)设{a n }、{b n }分别为等差数列与等比数列，a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则下列结论正确的是( )A ．a 2>b 2B ．a 3<b 32．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，则b 6的值为( )A ．±4 2B ．－4 2C ．4 2D ．无法确定3．(2012·青岛模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A ．(2,4)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 D ．(－1，－1)4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．645．(2011·上海高考)设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件为( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同6．(2011·江苏高考)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________． 7． (2011·浙江高考)已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R)，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．自我反思。

基础导练1.温度上升5°C,又下降7°C,后来又下降3°C,三次共上升________ °C.2.绝对值小于5的所有正整数的和为_________ .3.比一8的相反数多2的数是_________ .4._____________________________________________ 在数轴上表示一4和3//——的两点的距离是_______________________________________________ .5.若a —（―b） =0,则a与b的关系是___________ .6.如b为正数，则用“”号连接a, a-b, a+b,为__________________ .7.已知两数差是25,减数比7的相反数小5,则被减数是__________ .&当x=—1, y二一丄时，X— y= .29.________________________________ 若X与一1的差是一1,则X= .10.绝对值小于100的所有整数的和是_____________ .11.己知M是6的相反数,N比\1的相反数小2,则m — n等于（）A 4B 8C -10D 212.不改变原式的值，将6—（+3） - （-7） + （-2）中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（）A -6-3+7-2B 6-3-7-2C 6-3+7-2D 6H-3-7-213.下列说法中，正确的是（）A减去一个负数，等于加上这个数的相反数B两个负数的差，一定是一个负数C零减去一个数，仍得这个数D两个止数的差，一定是一个止数14若冇理数a的绝对值的相反数是一5,则a的值是（）A5 B -5C±5 D ± -515在正整数中，前50个偶数和减去50个奇数和的差是（）A 50B -50C 100D -10016 x<0, y>0时，则x, x+y, x—y, y中最小的数是（）A xB x —yC x+yD y17X—11y+3| =0,则y—X —-的值是 (2)A -4B-2丄 C -111 D 1 一222218计算：3(-12) - (-18) 6. 25 - (-7-)4(—1—) — ( + —) (—2.24) — (+4. 76)2 3能力提升19 一个数是8,另一个数比8的相反数小3,求两个数的和。